Mais sobre derivados
Na segunda parte deste tutorial, trabalharemos em alguns outros exemplos um pouco mais complicados.
Exemplo: Dada a função \(f(x) = x^3 + 2x+1\), calcule a derivada \(f'(x)\) para cada ponto onde ela é definida.
Solução: Observe que, neste problema, eles não estão nos fornecendo um ponto específico para calcular a derivada. Precisamos calcular em um ponto arbitrário \(x_0\). Como fazemos isso? Bem, nós apenas seguimos a definição:
\[f'(x_0) = \lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\]e agora usamos a definição de \(f(x)\). Na verdade, obtemos:
\[f'(x_0) = \lim_{x\to x_0} \frac{(x^3+2x+1)-(x_0^3+2x_0 +1)}{x-x_0} =\lim_{x\to 0} \frac{x^3+2x+1-x_0^3-2x_0 -1}{x-x_0} \] \[= \lim_{x\to x_0} \frac{x^3-x_0^3 + 2x-2x_0}{x-x_0} \]Agora usamos um pequeno truque algébrico:
\[x^3 - x_0^3 = (x-x_0)(x^2+xx_0+x_0^2)\]Agora preste atenção. Usamos este pequeno truque na última parte do cálculo da derivada, e descobrimos que
\[f'(x_0) = \lim_{x\to x_0} \frac{x^3-x_0^3 + 2x-2x_0}{x-x_0} = \lim_{x\to 0} \frac{(x-x_0)(x^2+xx_0+x_0^2) + 2x-2x_0}{x-x_0} \]Como você pode observar, podemos cancelar \(x-x_0\) e finalmente obter
\[f'(x_0) = \lim_{x\to x_0} (x^2+xx_0+x_0^2 + 2) = x_0^2 + x_0^2+x_0^2+2 = 3x_0^2 +2\]Em outras palavras, a função derivada é \(f'(x) = 3x^2+2\). Entende? Isso é o que eu quis dizer quando disse que a derivada também é uma função. Neste caso, a derivada está bem definida para todos \(x\in \mathbb R\).
Sim, é verdade que precisávamos de alguns truques para calcular a derivada. Então, como você vai fazer isso ?? Deixe-me dizer uma coisa, você não estará computando derivadas manualmente assim na maioria das vezes. No próximo tutorial, vou apresentá-lo com alguns ferramentas que facilitam muito o cálculo das derivadas .
Então, espere até o próximo.