Questão 1: Em um estudo clássico de apego infantil, Harlow (1959) colocou macacos bebês em gaiolas com duas mães substitutas artificiais. Uma “mãe” era feita de tela de arame e continha uma mamadeira da qual os bebês podiam se alimentar. A outra mãe era feita de pano macio e não dava acesso à comida. Harlow observou os macacos bebês e registrou quanto tempo por dia passava com cada mãe. Em um dia normal, os bebês passaram um total de 18 horas agarrados a uma das duas mães. Se não houvesse preferência entre os dois, seria de se esperar que o tempo fosse dividido igualmente, com média de µ = 9 horas para cada uma das mães. No entanto, o macaco típico passava cerca de 15 horas por dia com a mãe de pano turco, indicando uma forte preferência pela mãe macia e fofa. Suponha que uma amostra de n = 9 macacos bebês tenha em média M = 15,3 horas por dia com SS = 216 com a mãe de pano turco. Este resultado é suficiente para concluir que os macacos passaram significativamente mais tempo com a mãe mais dócil do que seria de esperar se não houvesse preferência? Use um teste bicaudal com \(\alpha = .05\).

Solução: Queremos testar a seguir hipóteses nulas e alternativas

\[\begin{align}{{H}_{0}}:\mu {=} {9}\, \\ {{H}_{A}}:\mu {\ne} {9} \\ \end{align}\]

Uma vez que o desvio padrão da população $ \ sigma $ é desconhecido, temos que usar um teste t com a seguinte fórmula:

\[t=\frac{M-\mu }{s/\sqrt{n}}\]

Isso corresponde a um teste t bicaudal.

\[s=\sqrt{\frac{SS}{n-1}}=\sqrt{27}=5.196152\]

A estatística t é calculada pela seguinte fórmula:

\[t=\frac{M-\mu }{s/\sqrt{n}}=\frac{15.3-9}{5.1962/\sqrt{9}}=3.6373\]

O valor crítico para \(\alpha = 0.05\) e para df = n- 1 = 9 -1 = 8 graus de liberdade para este teste bicaudal é \(t_{c} = 2.31\). A região de rejeição é dada por

\[R=\left\{ t:\,\,\,|t|>{2.31} \right\}\]

Desde \(|t| = 3.6373 {>} t_c = 2.31\), então rejeitamos a hipótese nula H ₀ .

Portanto, temos evidências suficientes para apoiar a afirmação de que os macacos passaram muito mais tempo com a mãe mais dócil do que seria de esperar se não houvesse preferência.

Questão 2: Dado um tamanho de amostra de 38, com média de amostra de 660,3 e desvio padrão de amostra de 95,9, devemos realizar o seguinte teste de hipótese.

Hipótese nula H0: μ = 700

Hipótese Alternativa H0: μ ≠ 700

No nível de significância 0,05

uma. Calcule as estatísticas de teste
(Dica: este é o caso quando testamos a afirmação sobre a média da população com o desvio padrão da população desconhecido; 95,9 é um desvio padrão da amostra, não um desvio padrão da população).

b. Use a Tabela A-3 para encontrar o valor crítico para este teste e tomar uma decisão:
rejeite ou não rejeite a hipótese nula

Solução: a) Nosso interesse é testar as seguintes hipóteses nulas e alternativas

\[\begin{align}{{H}_{0}}:\mu {=} {700}\, \\ {{H}_{A}}:\mu {\ne} {700} \\ \end{align}\]

Como o desvio padrão da população \(\sigma\) é desconhecido, temos que usar um teste t com a seguinte expressão:

\[t =\frac{\bar{X}-\mu }{s / \sqrt{n}}\]

Isso corresponde a um teste t bicaudal. A estatística t é calculada pela seguinte fórmula:

\[t=\frac{\bar{X}-\mu }{s /\sqrt{n}}=\frac{{660.3}-700}{95.9/\sqrt{38}}={-2.5519}\]

b) O valor crítico para \(\alpha = 0.05\) e para \(df = n- 1 = 38 -1 = 37\) graus de liberdade para este teste bicaudal é \(t_{c} = 2.026\). A região de rejeição é dada por

\[R=\left\{ t:\,\,\,|t|>{2.026} \right\}\]

Desde \(|t| = 2.5519 {>} t_c = 2.026\), então rejeitamos a hipótese nula H ₀ .

Portanto, temos evidências suficientes para apoiar a afirmação de que a média da população é diferente de 700.

Questão 3: Um agente imobiliário deseja determinar se os assessores fiscais e os avaliadores imobiliários concordam com os valores das casas. Uma amostra aleatória dos dois grupos avaliou 10 casas. Os dados são mostrados aqui. Existe uma diferença significativa nos valores das casas para cada grupo? Use a = 0,05.

	Avaliadores imobiliários	Tax assessors
Mean	$ 83.256	$ 88.354
Desvio padrão	$ 3256	$ 2340
Sample size	10	10

Solução: Estamos interessados ​​em testar

\[\begin{align}{{H}_{0}}:{{\mu }_{1}} {=} {{\mu }_{2}} \\ {{H}_{A}}:{{\mu }_{1}} {\ne} {{\mu }_{2}} \\ \end{align}\]

que corresponde a um teste t de amostras independentes bicaudais. Antes de aplicar o teste t, é necessário testar se as variâncias podem ser consideradas iguais ou não. Precisamos testar

\[\begin{align}{{H}_{0}}:\sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2} \\{{H}_{A}}:\sigma _{1}^{2}\ne \sigma _{2}^{2} \\ \end{align}\]

A estatística F é calculada como

\[F=\frac{s_{1}^{2}}{s_{2}^{2}}=\frac{{3256}^{2}}{{2340}^{2}}=1.9361\]

Os valores críticos inferior e superior para \(\alpha =0.05\) e df ₁ = 9 e df ₂ = 9 são

\[{{F}_{lower}}=0.2484,\,\,\,{{F}_{upper}}=4.026\]

o que significa que deixamos de rejeitar a hipótese nula de variâncias iguais. Observe que estamos assumindo que as variâncias são iguais, então a estatística t é calculada como:

\[t=\frac{{{{\bar{X}}}_{1}}-{{{\bar{X}}}_{2}}}{{{s}_{p}}\sqrt{\frac{1}{{{n}_{1}}}+\frac{1}{{{n}_{2}}}}}\]

onde o desvio padrão combinado é calculado como

\[{{s}_{p}}=\sqrt{\frac{\left( {{n}_{1}}-1 \right)s_{1}^{2}+\left( {{n}_{2}}-1 \right)s_{2}^{2}}{{{n}_{1}}+{{n}_{2}}-2}}=\sqrt{ \frac{9\times {3256}^{2}+9 \times {2340}^{2}}{9+9}}= {2835.2369}\]

Isso significa que a estatística t é

\[t=\frac{{{{\bar{X}}}_{1}}-{{{\bar{X}}}_{2}}}{{{s}_{p}}\sqrt{\frac{1}{{{n}_{1}}}+\frac{1}{{{n}_{2}}}}}=\frac{{83256}-{88354}}{2835.2369\sqrt{\frac{1}{10}+\frac{1}{10}}}={-4.0206}\]

O valor crítico para \(\alpha = 0.05\) e para \(df = 18\) graus de liberdade para este teste bicaudal é \(t_{c} = 2.1\). A região de rejeição é dada por

\[R=\left\{ t:\,\,\,|t|>{2.1} \right\}\]

Desde \(|t| = 4.0206 {>} t_c = 2.1\), então rejeitamos a hipótese nula H ₀ .

Assim, temos evidências suficientes para apoiar a afirmação de que existe uma diferença significativa nos valores das casas para cada grupo.