Una sequenza \(a_n\) corrisponde alla matrice infinita o all'elenco di numeri del modulo

dove \(a_1, a_2, a_3, ...\) sono numeri reali. Ad esempio, la sequenza

è rappresentato dalla lista

perché questi sono i valori che l'espressione \(a_n = \frac{1}{n}\) assume quando \(n\) assume i valori 1, 2, 3, ... ecc.

Convergenza di sequenze

Un concetto che è tipicamente difficile da afferrare è la convergenza di una sequenza. L'idea è però molto banale: una sequenza \(a_m\) converge a un valore \(a\) se i valori della sequenza si avvicinano sempre di più a \(a\) (infatti si avvicinano quanto vogliamo) man mano che \(n\) si avvicina all'infinito.

Per esempio: La sequenza \(a_n = 1/n\) è tale

perché il valore di \(1/n\) diventa "il più vicino allo zero che vogliamo" man mano che \(n\) si avvicina all'infinito.

Definizione formale di convergenza:

La sequenza \(a_n \to a\) come \(n \to \infty\) o altrimenti detta \(\lim_{n \to \infty}{a_n} = a\) se

• Per tutti \(\varepsilon >0\), esiste \(n_0\) tale che \(n \geq n_0 \,\,\, \Rightarrow \,\,\, |a_n - a|< \varepsilon \)

Questo vuol dire che non importa quanto vicino si desidera la sequenza da \(a\), c'è sempre un punto nella sequenza tale che tutti i punti oltre questo, siano abbastanza vicini a \(a\). In altre parole la convergenza di una sequenza non afferma che un certo numero della sequenza si avvicini abbastanza al limite \(a\), ma indica invece che se andiamo abbastanza in profondità nella sequenza, tutti i valori di if saranno abbastanza vicini.

Algebra dei limiti

Operare con i limiti non è così complicato una volta che ne conosciamo alcuni. Esistono infatti regole semplici che consentono di calcolare limiti più complicati basati su limiti più semplici. Queste regole sono mostrate di seguito:

Se \(\displaystyle\lim_{n \to \infty}{a_n} = a\) e \(\displaystyle\lim_{n \to \infty}{b_n} = b\) allora abbiamo:

(1) \(\displaystyle\lim_{n \to \infty}(a_n + b_n) = \displaystyle\lim_{n \to \infty}{a_n}+\displaystyle\lim_{n \to \infty}{b_n} = a + b \)

(2) \(\displaystyle\lim_{n \to \infty}{a_n b_n} = \displaystyle\lim_{n \to \infty}{a_n}\times\displaystyle\lim_{n \to \infty}{b_n} = a b \)

(3) \(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{b_n} = \frac{\displaystyle\lim_{n \to \infty}{a_n}}{\displaystyle\lim_{n \to \infty}{b_n}} = \frac{a}{b} \)

(dove la proprietà (3) vale fintanto che \(b \ne 0 \).)

Esempio: Il limite

viene calcolato moltiplicando prima sia il numeratore che il denominatore per \(\frac{1}{n^2}\), il che significa

perché \( \displaystyle\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^2} = 0\).