Question 1: Dans une étude classique de l'attachement des nourrissons, Harlow (1959) a placé des bébés singes dans des cages avec deux mères porteuses artificielles. Une «mère» était faite de grillage nu et contenait un biberon à partir duquel les nourrissons pouvaient se nourrir. L'autre mère était en tissu éponge doux et ne permettait pas d'accéder à la nourriture. Harlow a observé les bébés singes et a noté combien de temps par jour était passé avec chaque mère. Dans une journée typique, les nourrissons ont passé un total de 18 heures accrochés à l'une des deux mères. S'il n'y avait pas de préférence entre les deux, on s'attendrait à ce que le temps soit divisé également, avec une moyenne de µ = 9 heures pour chacune des mères. Cependant, le singe typique passait environ 15 heures par jour avec la mère en tissu éponge, indiquant une forte préférence pour la mère douce et câline. Supposons qu'un échantillon de n = 9 bébés singes en moyenne M = 15,3 heures par jour avec SS = 216 avec la mère en tissu éponge. Ce résultat est-il suffisant pour conclure que les singes ont passé beaucoup plus de temps avec la mère la plus douce que ce à quoi on pourrait s'attendre s'il n'y avait pas de préférence? Utilisez un test bilatéral avec \(\alpha = .05\).

Solution: Nous voulons tester la suite hypothèses nulles et alternatives

\[\begin{align}{{H}_{0}}:\mu {=} {9}\, \\ {{H}_{A}}:\mu {\ne} {9} \\ \end{align}\]

Puisque l'écart-type de population $ \ sigma $ est inconnu, nous devons utiliser un test t avec la formule suivante:

\[t=\frac{M-\mu }{s/\sqrt{n}}\]

Cela correspond à un test t bilatéral.

\[s=\sqrt{\frac{SS}{n-1}}=\sqrt{27}=5.196152\]

La statistique t est calculée par la formule suivante:

\[t=\frac{M-\mu }{s/\sqrt{n}}=\frac{15.3-9}{5.1962/\sqrt{9}}=3.6373\]

La valeur critique pour \(\alpha = 0.05\) et pour df = n- 1 = 9 -1 = 8 degrés de liberté pour ce test bilatéral est \(t_{c} = 2.31\). La région de rejet est donnée par

\[R=\left\{ t:\,\,\,|t|>{2.31} \right\}\]

Depuis \(|t| = 3.6373 {>} t_c = 2.31\), alors nous rejetons l'hypothèse nulle H ₀ .

Par conséquent, nous avons suffisamment de preuves pour étayer l'affirmation selon laquelle les singes ont passé beaucoup plus de temps avec la mère la plus douce que ce à quoi on pourrait s'attendre s'il n'y avait pas de préférence.

Question 2: Étant donné une taille d'échantillon de 38, avec une moyenne d'échantillon de 660,3 et un écart type de l'échantillon de 95,9, nous devons effectuer le test d'hypothèse suivant.

Hypothèse nulle H0: μ = 700

Hypothèse alternative H0: μ ≠ 700

Au niveau de signification 0,05

une. Calculer les statistiques de test
(Conseil: c'est le cas lorsque nous testons l'allégation concernant la moyenne de la population avec un écart-type de population inconnu; 95,9 est un écart-type d'échantillon et non un écart-type de population).

b. Utilisez le tableau A-3 pour trouver la valeur critique de ce test et prendre une décision:
rejeter ou ne pas rejeter l'hypothèse nulle

Solution: a) Notre intérêt est de tester les hypothèses nulles et alternatives suivantes

\[\begin{align}{{H}_{0}}:\mu {=} {700}\, \\ {{H}_{A}}:\mu {\ne} {700} \\ \end{align}\]

Comme l'écart-type de la population \(\sigma\) est inconnu, nous devons utiliser un test t avec l'expression suivante:

\[t =\frac{\bar{X}-\mu }{s / \sqrt{n}}\]

Cela correspond à un test t bilatéral. La statistique t est calculée par la formule suivante:

\[t=\frac{\bar{X}-\mu }{s /\sqrt{n}}=\frac{{660.3}-700}{95.9/\sqrt{38}}={-2.5519}\]

b) La valeur critique de \(\alpha = 0.05\) et de \(df = n- 1 = 38 -1 = 37\) degrés de liberté pour ce test bilatéral est \(t_{c} = 2.026\). La région de rejet est donnée par

\[R=\left\{ t:\,\,\,|t|>{2.026} \right\}\]

Depuis \(|t| = 2.5519 {>} t_c = 2.026\), alors nous rejetons l'hypothèse nulle H ₀ .

Par conséquent, nous avons suffisamment de preuves pour étayer l'affirmation selon laquelle la moyenne de la population est différente de 700.

Question 3: Un agent immobilier souhaite déterminer si les évaluateurs fiscaux et les évaluateurs immobiliers s'entendent sur la valeur des maisons. Un échantillon aléatoire des deux groupes a évalué 10 maisons. Les données sont affichées ici. Y a-t-il une différence significative dans les valeurs des maisons pour chaque groupe? Utilisez a = 0,05.

	Évaluateurs immobiliers	Tax assessors
Mean	83 256 $	88 354 $
Écart-type	3256 $	2340 $
Sample size	dix	dix

Solution: Nous sommes intéressés à tester

\[\begin{align}{{H}_{0}}:{{\mu }_{1}} {=} {{\mu }_{2}} \\ {{H}_{A}}:{{\mu }_{1}} {\ne} {{\mu }_{2}} \\ \end{align}\]

ce qui correspond à un test t bilatéral sur échantillons indépendants. Avant d'appliquer le test t, il est nécessaire de tester si les variances peuvent être supposées égales ou non. Nous devons tester

\[\begin{align}{{H}_{0}}:\sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2} \\{{H}_{A}}:\sigma _{1}^{2}\ne \sigma _{2}^{2} \\ \end{align}\]

La statistique F est calculée comme

\[F=\frac{s_{1}^{2}}{s_{2}^{2}}=\frac{{3256}^{2}}{{2340}^{2}}=1.9361\]

Les valeurs critiques inférieure et supérieure pour \(\alpha =0.05\) et df ₁ = 9 et df ₂ = 9 sont

\[{{F}_{lower}}=0.2484,\,\,\,{{F}_{upper}}=4.026\]

ce qui signifie que nous ne parvenons pas à rejeter l'hypothèse nulle de variances égales. Observez que nous supposons que les variances sont égales, donc la statistique t est calculée comme suit:

\[t=\frac{{{{\bar{X}}}_{1}}-{{{\bar{X}}}_{2}}}{{{s}_{p}}\sqrt{\frac{1}{{{n}_{1}}}+\frac{1}{{{n}_{2}}}}}\]

où l'écart type groupé est calculé comme

\[{{s}_{p}}=\sqrt{\frac{\left( {{n}_{1}}-1 \right)s_{1}^{2}+\left( {{n}_{2}}-1 \right)s_{2}^{2}}{{{n}_{1}}+{{n}_{2}}-2}}=\sqrt{ \frac{9\times {3256}^{2}+9 \times {2340}^{2}}{9+9}}= {2835.2369}\]

Cela signifie que la statistique t est

\[t=\frac{{{{\bar{X}}}_{1}}-{{{\bar{X}}}_{2}}}{{{s}_{p}}\sqrt{\frac{1}{{{n}_{1}}}+\frac{1}{{{n}_{2}}}}}=\frac{{83256}-{88354}}{2835.2369\sqrt{\frac{1}{10}+\frac{1}{10}}}={-4.0206}\]

La valeur critique pour \(\alpha = 0.05\) et pour \(df = 18\) degrés de liberté pour ce test bilatéral est \(t_{c} = 2.1\). La région de rejet est donnée par

\[R=\left\{ t:\,\,\,|t|>{2.1} \right\}\]

Depuis \(|t| = 4.0206 {>} t_c = 2.1\), alors nous rejetons l'hypothèse nulle H ₀ .

Par conséquent, nous avons suffisamment de preuves pour soutenir l'affirmation selon laquelle il existe une différence significative dans les valeurs des maisons pour chaque groupe.