Тест горизонтальной линии

Этот калькулятор позволит вам запустить тест горизонтальной линии для любой предоставленной вами функции, показывая шаги. Предоставленная вами функция может быть чем-то вроде 'y = 2x - 1', что является простейшим видом линейная функция вы можете найти или предоставить более сложную функцию, например "y = (2x-1)/(x+1)", которая включает в себя рациональная функция .

После того как вы предоставите действительную функцию, вы можете нажать кнопку "Рассчитать", и вам будут предоставлены все этапы процесса, указывающие, проходит ли функция тест горизонтальной линии (HLT).

Этот калькулятор работает следующим образом: устанавливает общую горизонтальную линию и проверяет, сколько раз (если вообще когда-либо) линия пересекает данную произвольную горизонтальную линию. Это включает в себя Решение для х уравнение y = f(x).

Что такое тест горизонтальной линии?

HLT — это тест, который позволяет оценить, является ли функция взаимно однозначной. Он состоит в том, чтобы нарисовать горизонтальные линии на разной высоте и посмотреть, где они пересекают график заданной функции f(x), если вообще пересекают.

Если ни одна горизонтальная линия, которую вы можете себе представить, не пересечет график функции f(x) более одного раза, то функция один к одному . С другой стороны, если вы сможете найти горизонтальную линию, которая пересечет график функции f(x) БОЛЬШЕ РАЗ, то вы доказали, что функция НЕ является взаимно однозначной

Итак, вы можете подумать: "Подождите минутку", этот инструмент на самом деле работает не для того, чтобы доказать, что функция является взаимно однозначной, с помощью теста горизонтальной линии, а скорее для того, чтобы доказать, что ЭТО НЕ однозначно с его помощью. .

Потому что на практике я не могу построить график ВСЕХ горизонтальных линий, чтобы проверить, сколько раз они пересекают график f(x), но если я найду ОДНУ горизонтальную линию, которая пересекает график f(x) слишком много раз, тогда я знаю, что это не один к одному. Итак, хорошенько подумав, вы наткнулись на что-то хорошее.

Использование теста горизонтальной линии на практике

Например, если у вас есть функция \(f(x) = x^2\), то график будет выглядеть примерно так:

В этом случае мы сразу видим, что эта функция не проходит тест горизонтальной линии. Почему? Потому что горизонтальная линия y = 10, показанная на графике ниже, пересекает график f(x) дважды (более одного раза)

В этом случае функция \(f(x) = x^2\) не проходит проверку горизонтальной линии и, следовательно, не является функция "один к одному" .

Теперь, поскольку невозможно проверить ВСЕ возможные горизонтальные линии, HLT необходимо попытаться использовать алгебраические средства, если только вы визуально не увидите явный случай горизонтальной линии, из-за которой функция не выдержит тест.

Использование теста горизонтальной линии (аналитически)

• Шаг 1: Начните с заданной допустимой функции f(x), вы установите уровень горизонтальной линии на произвольное значение y
• Шаг 2: Итак, вы задаете уравнение: y = f(x), и цель состоит в том, чтобы найти x
• Шаг 3: Не существует одной стратегии, решить это уравнение , так как это зависит от характера функции f(x). Если f(x) — простая линейная или квадратичная функция, то найти x довольно легко. Если нет, то необходимо протестировать разные методы
• Шаг 4: Если при решении x вы найдете более одного решения для произвольного y, то функция не проходит HLT. В противном случае, если есть одно решение или нет решения, оно проходит.

Вычитание дробей - это просто производная от суммы дробей: Чтобы вычесть две дроби, нужно просто умножить вторую на -1, а затем прибавить ее к первой .

Может ли горизонтальная линия принимать отрицательные или положительные значения?

Основным ключом аналитической реализации HLT является выбор произвольной горизонтальной линии. Это может быть произвольное значение, как положительное, так и отрицательное. Затем используемое произвольное значение y МОЖЕТ определить, являются ли предложенные решения четко определенными или нет, но это не ДОБАВЛЯЕТ больше решений, а вместо этого потенциально может вычитать решения.

Например, если вы начнете с \(f(x)= \frac{2x+1}{x-1}\) и решите для x следующее: \(y = \frac{2x+1}{x-1}\), вы получите

\(x = \frac{y+1}{y-2}\)

это означает, что для данного \(y\) у вас есть МАКСИМАЛЬНО одно решение. Почему максимум одно решение? Потому что при y = 2 решения фактически нет, а при любом другом y решение только одно. Это прекрасно показывает, что функция проходит проверку горизонтальной линии.

Пример: прохождение hlt

Проходит ли HLT следующая функция: \(f(x) = \frac{1}{3} x + \frac{5}{4}\) ?

Решение:

Предоставленная функция:

\[f\left(x\right) = \frac13x+\frac54\]

Затем, чтобы оценить, проходит ли данная функция тест на горизонтальную линию, нам нужно найти \(x\) и определить, существует ли решение, одно решение или несколько решений. Исходное уравнение:

\[y=\frac{1}{3}x+\frac{5}{4}\]

Решение линейного уравнения

Поместив \(x\) слева и \(y\) и константу справа, мы получим

\[\displaystyle -\frac{1}{3}x = -y -\left(-\frac{5}{4}\right)\]

Теперь, решая \(x\), разделив обе части уравнения на \(-\frac{1}{3}\), получаем следующее:

\[\displaystyle x=-\frac{1}{-\frac{1}{3}}y+\frac{\frac{5}{4}}{-\frac{1}{3}}\]

и упрощая окончательно получаем следующее

\[\displaystyle x=3y-\frac{15}{4}\]

Следовательно, решение \(x\) для данного линейного уравнения приводит к \(x = 3y-\frac{15}{4}\).

Мы обнаруживаем, что, поскольку при решении \(x\) мы находим решение, и это только одно решение, данная функция проходит тест на горизонтальную линию.

Результаты теста горизонтальной линии

На основании показанной выше работы можно сделать вывод, что данная функция проходит тест горизонтальной линии.

Графически ситуацию можно изобразить следующим образом:

Пример. является ли эта функция "один к одному"?

Используя тест горизонтальной линии, определите, является ли следующая функция взаимно однозначной: \(f(x) = x^3 - 1\)

Решение: Чтобы оценить, проходит ли данная функция тест на горизонтальную линию, нам нужно решить уравнение \(y = x^3 - 1\) для \(x\) и определить, существует ли решение, одно решение или несколько решений.

Начальный Этап: В этом случае нам сначала необходимо упростить данное уравнение, и для этого мы проводим следующие шаги упрощения:

Тогда получим решения:

\[x_1=\left(y+1\right)^{\frac{1}{3}} \] \[x_2=\frac{1}{2}\left(y+1\right)^{\frac{1}{3}}\left(i\sqrt{3}-1\right) \] \[x_3=-\frac{1}{2}\left(y+1\right)^{\frac{1}{3}}\left(i\sqrt{3}+1\right) \]

Из этих решений у нас есть только одно реальное решение — \(x_1=\left(y+1\right)^{\frac{1}{3}}\). Следовательно, и поскольку при решении \(x\) мы находим решение, и это только одно реальное решение, данная функция проходит тест на горизонтальную линию.