Подробнее о линейных функциях

Этот калькулятор линейных функций позволит вам вычислить линейная функция путем предоставления определенной необходимой информации о функции.

Это можно сделать несколькими способами. Вы можете либо (1) предоставить линейное уравнение в x и y, которое можно решить для y, либо (2) предоставить непосредственно наклон и Y-перехват или (3) можно указать наклон и точку, через которую проходит линия, или (4) можно указать 2 точки, через которые проходит линия.

Какую информацию вы предоставите? Это во многом зависит от того, какой информацией вы располагаете, а также от конкретного случая.

Одним из распространенных случаев является нахождение линейной функции, проходящей через две заданные точки, но другие способы определения линии тоже встречаются.

Что такое линейная функция?

Ответ зависит от того, сколько переменных вы рассматриваете, но для одной переменной x линейная функция - это функция вида

\[f(x) = a + b x \]

Просто техническая деталь: в более продвинутой математике это линейная аффинная функция, и она не является строго линейной, если a = 0, но эта идея выходит за рамки данного изложения. Для нас \(f(x) = a + b x \) - это линейная функция в x.

Значение a в \(f(x) = a + b x \) известно как Y-перехват , а b известен как наклон . Иногда можно встретить соглашение \(f(x) = mx + n \), где m - наклон, а n - y-интерцепт.

Но это условность названия, вам просто нужно запомнить, что константа, на которую умножается переменная x, - это наклон, а другая - y-интерцепт. Почему так? Потому что когда x = 0, мы получаем \(f(0) = m \cdot 0 + n = n\), что говорит о том, что n - это именно у-перехват.

Каковы этапы вычисления линейной функции?

• Шаг 1: Определите, какой тип информации вы предоставили
• Шаг 2: Если имеющаяся у вас информация представляет собой линейное уравнение в x и y, вам нужно решить y, и тогда вы автоматически получите линейную функцию, задающую f(x) = y
• Шаг 3: Если у вас есть наклон b и y-перехват a, то линейная функция имеет вид f(x) = a + b x
• Шаг 5: Если у вас есть две точки \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\), через которые проходит линия, то вы можете использовать формулу: \(\displaystyle f(x) = y_1 + \left(\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \right)(x-x_1)\) для линейной функции
• Шаг 6: Если вместо этого у вас есть одна точка \((x_1, y_1)\), через которую проходит линия, и наклон, то вы можете использовать формулу: \(\displaystyle f(x) = y_1 + m(x-x_1)\) для линейной функции

Приведенный выше список шагов является исчерпывающим и учитывает все возможные случаи. В конечном итоге, самая простая и менее сложная ситуация соответствует случаю, когда известны наклон и y-интерцепт, где мы можем вычислить форма пересечения склона немедленно, но это не всегда так.

Что такое формула линейной функции

В конечном счете, независимо от предоставленной вами информации, вы можете прийти к формуле линейной функции, известной как форма "наклон-пересечение":

\[y = a + bx \]

Теперь, поскольку вы определяете функцию, вы также можете написать \(f(x) = a + b x\).

Каковы шаги для нахождения формулы линейной функции?

• Шаг 1: Определите предоставленную информацию
• Шаг 2: Приведите соответствующую формулу y = a + bx, определив наклон b и y-перехват a
• Шаг 3: Замените y на f(x) и напишите f(x) = a + bx

Геометрически график линейной функции будет прямой, которая фактически пересекает ось y в точке (0, a), а наклон b будет отражать степень наклона прямой.

Почему полезно вычислять линейные функции?

Линейная связь между переменными встречается очень часто во многих приложениях, поэтому становится необходимым полное понимание того, как работают линейные функции.

Кроме того, мы можем определять линейные функции для большего числа переменных, что делает их еще более мощным объектом.

Пример: калькулятор линейных функций

Вычислите уравнение линейной функции, проходящей через точки: \( (\frac{22}{3}, \frac{7}{4})\) и \((-1, \frac{5}{6})\)

Отвечать: Основная задача - построить линейную функцию на основе предоставленной информации, если это возможно.

Информация о линии заключается в том, что линия проходит через точки \(\displaystyle \left( \frac{22}{3}, \frac{7}{4}\right)\) и \(\displaystyle \left( -1, \frac{5}{6}\right)\).

Поэтому первый шаг состоит в вычислении наклона. Формула наклона: \[\displaystyle b = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \]

Теперь, подставив соответствующие числа , получим, что наклон равен: \[\displaystyle b = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{ \displaystyle \frac{5}{6} - \frac{7}{4}}{ \displaystyle -1 - \frac{22}{3}} = \frac{ \displaystyle \frac{5}{6}-\frac{7}{4}}{ \displaystyle -1-\frac{22}{3}} = \frac{11}{100}\]

Итак, теперь мы знаем, что наклон равен \(\displaystyle m = \frac{11}{100}\) и что линия проходит через точку \(\displaystyle \left( \frac{22}{3}, \frac{7}{4}\right)\).

Следовательно, с имеющейся у нас информацией мы можем напрямую построить форму точки-наклона линии, которая

\[\displaystyle y - y_1 = b \left(x - x_1\right)\]

а затем подставляя известные значения \(\displaystyle b = \frac{11}{100}\) и \(\displaystyle \left( x_1, y_1 \right) = \left( \frac{22}{3}, \frac{7}{4}\right)\), мы получаем, что

\[\displaystyle y-\frac{7}{4} = \frac{11}{100} \left(x-\frac{22}{3}\right)\]

Теперь нам нужно расширить правую часть уравнения, распределив наклон, чтобы мы получили \[\displaystyle y = \frac{11}{100} x + \frac{11}{100} \left(-\frac{22}{3}\right) + \frac{7}{4}\]

и упрощая, получаем, что \[\displaystyle y=\frac{11}{100}x+\frac{283}{300}\]

Вывод : Исходя из представленных данных, делаем вывод, что уравнение линии \(\displaystyle f(x)=\frac{11}{100}x+\frac{283}{300}\), и оно соответствует линии с наклоном \(\displaystyle b = \frac{11}{100}\) и y-пересечением \(\displaystyle a = \frac{283}{300}\).

Исходя из этой информации, график является:

Пример: еще одно вычисление линейной функции

Вычислите линейную функцию, связанную с : \(\frac{1}{3}x + \frac{5}{4}y - \frac{5}{6} = 0\)

Отвечать:

Теперь для этого примера мы определили линейную функцию через общее линейное уравнение:

\[\displaystyle \frac{1}{3}x+\frac{5}{4}y-\frac{5}{6}=0\]

Мы можем упростить константы:

\[\displaystyle \frac{1}{3}x+\frac{5}{4}y-\frac{5}{6}=0\]

Теперь, положив \(y\) в левой части, \(x\) и константу в правой части, получим

\[\displaystyle \frac{5}{4}y = -\frac{1}{3}x + \frac{5}{6}\]

Теперь, находя \(y\) путем деления обеих частей уравнения на \(\frac{5}{4}\), получается следующее

\[\displaystyle y=-\frac{\frac{1}{3}}{\frac{5}{4}}x+\frac{\frac{5}{6}}{\frac{5}{4}}\]

и упрощая окончательно получаем следующее

\[\displaystyle y=-\frac{4}{15}x+\frac{2}{3}\]

Вывод : Теперь мы можем сказать, что на основании представленных данных можно сделать вывод, что уравнение линии \(\displaystyle f(x)=-\frac{4}{15}x+\frac{2}{3}\), и оно соответствует линии с наклоном \(\displaystyle b = -\frac{4}{15}\) и y-пересечением \(\displaystyle a = \frac{2}{3}\).

Исходя из этой информации, график является:

Пример: больше калькуляторов линейных функций

Вычислите линейную функцию с наклоном m = 0, которая пересекает ось y в точке (0, 4).

Отвечать: В данном случае мы задали наклон, который равен m = 0, и y-пересечение, которое равно (0, 4). Поскольку наклон равен 0, линия горизонтальна, поэтому в данном случае уравнение линии равно \(f(x) = 4\).

Другие калькуляторы линейных функций

Интересными калькуляторами являются калькулятор наклона и калькулятор y-интерцепта. Также вас могут заинтересовать нахождение перпендикуляра к заданной прямой .

Другой распространенной формой для линии является стандартная форма , и вы можете определенно конвертировать из одной формы в другую.