Функциональный калькулятор

Этот калькулятор позволит вам вычислить, упростить и построить график любой заданной вами действительной функции, показывая все этапы упрощения. Вы должны предоставить калькулятору действительную функцию. Это может быть что-то уже упрощенное, например, f(x) = 2x + 3, а может быть что-то более сложное, требующее упрощения, например, f(x) = (1/3+1/4)x + x^2 - sin(1/5+1/6) + 3/4'.

Если задана действительная функция, то можно просто нажать кнопку "Вычислить", и процесс упрощения и построение графика функции будет показан вам.

Функции являются наиболее важными объектами в алгебре и исчислении, и умение правильно вычислять и упрощать выражения может иметь большое значение.

Как вычислить функцию?

Идея вычисления функции просто основана на определении функции, где для данного значения \(x\) присваивается один "образ", который называется \(f(x)\).

На графике ниже вы можете видеть, как одному значению "x" на оси x присваивается точка "f(x)" на оси y:

Итак, идея вычисления функции заключается в том, чтобы получить значение "x" и иметь возможность вычислить значение "f(x)". Иногда это возможно для некоторых значений x, иногда - для всех значений x на вещественной прямой. Набор значений x, при которых можно вычислить f(x), называется домен функции.

Каковы этапы вычисления функции?

• Шаг 1: Определите выражение, определяющее функцию
• Шаг 2: Упростите функцию настолько, насколько это возможно, но помните о потенциальном делении на ноль
• Шаг 3: Запишите, где функция может и не может быть вычислена

Так что по мере продвижения процесс упрощения вы отметите все значения, при которых функция не может быть оценена (если таковые имеются). Таким образом, вы косвенно нашли область функции.

Например, если у вас есть такая функция, как f(x) = 2x + 1, то независимо от того, какую точку вы выберете для x, выражение '2x + 1' всегда можно вычислить. Но вместо этого, если у вас есть функция f(x) = 1/x, то при выборе x = 0 вы не сможете вычислить функцию при x = 0, потому что она станет 1/0, а деление на ноль не определено.

Как упростить функции?

Процесс упрощения функции происходит так же, как и любой другой упрощение выражений : вы используете критерии, определенные Правило PEMDAS для проведения любого потенциального упрощения.

Но есть пара предостережений при использовании PEMDAS: вы должны избегать случайного деления на ноль или извлечения квадратных корней из отрицательных чисел. Например, рассмотрим функцию

\[ f(x) = \displaystyle\frac{2x}{x}\]

Вы можете подумать: хорошо, я отменю x, и тогда я получу:

\[\displaystyle f(x) = \displaystyle \frac{2\cancel{x}}{\cancel{x}} = 2\]

Но при этом вы совершите ошибку, потому что такая отмена x не может произойти при x = 0. Что вы можете сделать, так это явно написать

\[\displaystyle f(x) = \displaystyle \frac{2\cancel{x}}{\cancel{x}} = 2\]

для \(x \ne 0\), и неопределенный для \(x = 0\).

Каковы шаги по упрощению?

• Шаг 1: Определите предоставленную функцию и убедитесь, что она является символически допустимым выражением
• Шаг 2: Максимально упростите термины, используя правило PEMDAS, следя за тем, чтобы не было деления на ноль или отрицательных квадратных корней
• Шаг 3: Отметьте те точки, в которых функция не может быть оценена. Область функции будет дополнением к этим точкам на вещественной прямой

зачастую, простым осмотром структуры функции можно легко определить точки, в которых могут возникнуть проблемы при оценке функции.

Можете ли вы вычислить функцию по точкам?

Это зависит от. Процесс нахождения функции от заданных точек называется интерполяция . Теперь, для данного набора точек, существует более одной функции, которая проходит через эти точки, поэтому в некотором смысле, давая только точки, не обязательно определять ОДНУ функцию.

Теперь, добавив определенные ограничения, можно сделать определение уникальным. Например, для двух заданных точек существует только одна линейная функция (точнее, линейной аффинной), которая проходит через них. Или, учитывая любые три точки, существует только одна квадратичная функция которая проходит через них.

Пример: вычисление функции

Вычисление и график функции: \(f(x) = \frac{1}{3}x + \frac{5}{4}x^2 - \frac{5}{6}\)

Отвечать: Была предоставлена следующая функция: \(\displaystyle f(x)=\frac{1}{3}x+\frac{5}{4}x^2-\frac{5}{6}\), для которой необходимо упростить и построить ее график.

Шаг 0: В этом случае нам сначала нужно упростить заданную функцию \(\displaystyle f(x)=\frac{1}{3}x+\frac{5}{4}x^2-\frac{5}{6} \), а для этого заметим, что:

Следующий график получен для \(\displaystyle f(x)=\frac{5}{4}x^2+\frac{1}{3}x-\frac{5}{6}\) на интервале \([-5, 5]\):

Пример: пример функционального калькулятора

Вычислите область следующей функции : \(f(x) = \displaystyle \frac{x+1}{x^2-1}\)

Отвечать: Представленная функция \(\displaystyle f(x)=\frac{x+1}{x^2-1}\) может быть упрощена следующим образом:

\[ f(x) = \displaystyle \frac{x+1}{x^2-1} = \displaystyle \frac{x+1}{(x-1)(x+1)} = \displaystyle \frac{1}{x-1} \]

для случая \(x \ne 1\).Следовательно, областью функции является \((-\infty, 1) \cup (1,\infty)\). Для функции на интервале \([-5, 5]\) получен следующий график:

Пример: еще один пример функционального калькулятора

Упростите и постройте график \( f(x) = \left(\frac{2}{3}x^2 \times \frac{6}{5} \right)+ e^{-x/10} + 2x^2 \).

Отвечать: Нам предоставляются: \(\displaystyle f(x)=\frac{2}{3}x^2\cdot \frac{6}{5}+e^{\left(-1\right)x/10}+2x^2\). Теперь, чтобы упростить данную функцию \(\displaystyle f(x)=\frac{2}{3}x^2\cdot \frac{6}{5}+e^{\left(-1\right)x/10}+2x^2 \), мы делаем:

Таким образом, для \(\displaystyle f(x)=\frac{14}{5}x^2+e^{\left(-1/10\right)x}\) на интервале \([-5, 5]\) получен следующий график:

Другие функциональные калькуляторы

Идея функции занимает центральное место в алгебре и исчислении. Существует множество вещей, которые можно делать с функциями. Одна из главных способностей, которую вы можете развить, заключается в том, чтобы стать удобным упрощение выражений , чтобы свести заданную функцию к более простой.

Просто убедитесь, что вы не станете счастливым и не отмените нули и не извлечете квадратные корни из отрицательных чисел.

Также, возможно, вы захотите просто построить график функции , чтобы лучше понять, как выглядит функция и каковы ее основные свойства.