Решатели Calculus

Правило квотирования

Инструкции: Используйте этот калькулятор Quotient Rule, чтобы найти производную функции с использованием коэффициентов, которые вы предоставляете, показывая все шаги. Пожалуйста, введите функцию в поле формы ниже.

Правило квоты

Этот калькулятор позволит вам использовать правило квотирования для функции, которая включает в себя квоту, показывая все шаги процесса. Все, что вам нужно предоставить, - это действительная дифференцируемая функция. Для того чтобы правило квот было применимо, эта функция должна иметь хотя бы один квот.

Примером действительной функции может быть f(x) = (x^2 + 2x + 1)/(x^2-1), или что-то вроде f(x) = sin(x)/x, и т.д.

После того как будет задана действительная функция, включающая коэффициенты, необходимо нажать кнопку "Вычислить", чтобы отобразились шаги вычисления.

Наряду с Правило Продукта и Правило цепи , Правило квоты является одним из самых важных основных Правила производных .

Формула правила квотирования

Если говорить простым языком, то Правило квоты поможет вам вычислить производную коэффициента, используя знания об отдельных функциях и их производных. Формула правила котировки имеет вид:

\[\displaystyle \frac{d}{dx} \left( \frac{f(x)}{g(x)} \right) = \displaystyle \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g^2(x)} \]

Каковы шаги для использования правила квотирования?

Шаг 1: Четко определите функции f(x) и g(x), которые входят в числитель и знаменатель коэффициента
Шаг 2: Упростите любой очевидный термин, который может быть упрощен
Шаг 3: Вычислите соответствующие производные f'(x) и g'(x)
Шаг 4: Подставьте значения, найденные на этапе 3, в формулу \(\displaystyle \frac{d}{dx} \left( \frac{f(x)}{g(x)} \right) = \displaystyle \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g^2(x)} \)

Обратите внимание, что f(x) и g(x) могут быть сложными функциями, поэтому для вычисления f'(x) и g'(x) вам может понадобиться использовать другие правила, например, правило цепочки.

Правило котировки производной

При вычислении производной по правилу квоты вы сводите производную квоты к знанию отдельных производных, но эти отдельные производные могут потребовать много шагов с Основные правила работы с деривативами для решения.

Именно поэтому дифференцирование считается "простой" операцией, но все же необходимо быть достаточно организованным и отслеживать все части, возникающие при разложении с помощью правил производных, а затем переходить к более мелким частям, которые могут потребовать применения большего количества правил дифференцирования.

Таким образом, вы можете закончить итерационный процесс, но он гарантированно закончится в какой-то момент, углубляясь в каждую меньшую часть, пока вы не найдете элементарную производную, такую как полином или триггерная производная .

Правило квоты при дифференцировании

Роль правило квоты при дифференцировании является довольно важным, и это веская причина, по которой вы захотите использовать для этого калькулятор. В алгебраических терминах правило квантора можно считать более запутанным, чем правило произведения, и во многих случаях это действительно так, но все же в конечном итоге это зависит от сложности функций в числителе и знаменателе.

Примеры правила квотирования

Рассмотрите функцию: \(f(x) = \frac{x^2+1}{x-2}\), найдите ее производную.

Отвечать: Для данного примера нам необходимо проанализировать функцию \(\displaystyle f(x)=\frac{x^2+1}{x-2}\) с точки зрения нахождения ее производной.

\( \displaystyle \frac{d}{dx}\left(\frac{x^2+1}{x-2}\right)\)

By using the Quotient Rule: \(\frac{d}{dx}\left( \frac{x^2+1}{x-2} \right) = \frac{\left(x-2\right) \cdot \frac{d}{dx}\left(x^2+1\right)-\left(x^2+1 \right) \cdot \frac{d}{dx}\left(x-2\right)}{\left(x-2\right)^2}\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{\left(x-2\right) \cdot \frac{d}{dx}\left(x^2+1\right)-\left(x^2+1 \right) \cdot \frac{d}{dx}\left(x-2\right)}{\left(x-2\right)^2}\)

By linearity, we know \(\frac{d}{dx}\left( x-2 \right) = \frac{d}{dx}\left(x\right)-\frac{d}{dx}\left(2\right)\) and \(\frac{d}{dx}\left( x^2+1 \right) = \frac{d}{dx}\left(x^2\right)+\frac{d}{dx}\left(1\right)\), so plugging that in:

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{\left(x-2\right) \left(\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+\frac{d}{dx}\left(1\right)\right)-\left(x^2+1 \right) \left(\frac{d}{dx}\left(x\right)-\frac{d}{dx}\left(2\right)\right)}{\left(x-2\right)^2}\)

Since the derivative of a constant is 0, we get that:

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{\left(x-2\right) \left(\frac{d}{dx}\left(x^2\right)\right)-\left(x^2+1 \right) \left(\frac{d}{dx}\left(x\right)\right)}{\left(x-2\right)^2}\)

We already know that \(\frac{d}{dx}\left(x\right) = 1\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{\left(x-2\right) \left(\frac{d}{dx}\left(x^2\right)\right)-\left(x^2+1 \right)}{\left(x-2\right)^2}\)

In this case we use the Power Rule for polynomial terms: \(\frac{d}{dx}\left( x^2 \right) = 2x\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{\left(x-2\right) \left(2x\right)-\left(x^2+1 \right)}{\left(x-2\right)^2}\)

and then we get

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{2x\left(x-2\right)-\left(x^2+1\right)}{\left(x-2\right)^2}\)

Note that \((2x) \cdot (x-2) = 2x^2-2\cdot 2x = 2x^2-4x\), as we can use the distributive property on each term of the expression on the left, with respect to the terms on the right

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{2x^2-4x-\left(x^2+1\right)}{\left(x-2\right)^2}\)

Removing unnecessary parentheses and multiplying the terms by \(-1\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{2x^2-4x-x^2-1}{\left(x-2\right)^2}\)

Aggregating those terms with \(x^2\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{-4x+\left(-1+2\right)x^2-1}{\left(x-2\right)^2}\)

Putting together the numerical values and operating the terms that were grouped with \(x^2\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{-4x+x^2-1}{\left(x-2\right)^2}\)

Вывод : Найдем, что производная данной функции равна:

\[f'(x) = \frac{x^2-4x-1}{\left(x-2\right)^2}\]

Итак, графическое изображение функции и ее производной - \([-5, 5]\):

Пример: вычисление по правилу квотирования

Теперь рассмотрим \(f(x) = \frac{x}{\sin(x)}\), найдем его производную, используя правило квотирования.

Отвечать: Для второго примера интересующая нас функция - \(\displaystyle f(x)=\frac{x}{\sin\left(x\right)}\). Давайте продифференцируем ее, используя правило квотирования.

\( \displaystyle \frac{d}{dx}\left(\frac{x}{\sin\left(x\right)}\right)\)

Using the Quotient Rule: \(\frac{d}{dx}\left( \frac{x}{\sin\left(x\right)} \right) = \frac{\sin\left(x\right) \cdot \frac{d}{dx}\left(x\right)-x\cdot \frac{d}{dx}\left(\sin\left(x\right)\right)}{\sin\left(x\right)^2}\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{\sin\left(x\right) \cdot \frac{d}{dx}\left(x\right)-x\cdot \frac{d}{dx}\left(\sin\left(x\right)\right)}{\sin\left(x\right)^2}\)

We already know that \(\frac{d}{dx}\left(x\right) = 1\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{\sin\left(x\right) -x\cdot \frac{d}{dx}\left(\sin\left(x\right)\right)}{\sin\left(x\right)^2}\)

Directly differentiating: \(\frac{d}{dx}\left( \sin\left(x\right) \right) = \cos\left(x\right)\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{\sin\left(x\right) -x\cdot \cos\left(x\right)}{\sin\left(x\right)^2}\)

so then we get that

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{\sin\left(x\right)-x\cos\left(x\right)}{\sin\left(x\right)^2}\)

By reorganizing/simplifying/expanding the terms that are amenable to

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{-\left(x\cos\left(x\right)-\sin\left(x\right)\right)}{\sin\left(x\right)^2}\)

Вывод : Вывод заключается в том, что на основании вышеприведенного расчета производная дается:

\[f'(x) = \frac{-\left(x\cos\left(x\right)-\sin\left(x\right)\right)}{\sin\left(x\right)^2}\]

Графически мы видим функцию (синим цветом) и ее производную (красным цветом):

Другие примеры правила квотирования

Наконец, рассмотрите функцию: \(f(x) = \frac{\sin(x)}{x^2}\), найдите ее производную.

Отвечать: Для этого последнего примера правила цитирования мы работаем с функцией \(\displaystyle f(x)=\frac{\sin\left(x\right)}{x^2}\). .

\( \displaystyle \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin\left(x\right)}{x^2}\right)\)

The Quotient Rule applies: \(\frac{d}{dx}\left( \frac{\sin\left(x\right)}{x^2} \right) = \frac{\left(x^2\right) \cdot \frac{d}{dx}\left(\sin\left(x\right)\right)-\sin\left(x\right)\cdot \frac{d}{dx}\left(x^2\right)}{\left(x^2\right)^2}\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{\left(x^2\right) \cdot \frac{d}{dx}\left(\sin\left(x\right)\right)-\sin\left(x\right)\cdot \frac{d}{dx}\left(x^2\right)}{\left(x^2\right)^2}\)

We use the Power Rule for polynomial terms: \(\frac{d}{dx}\left( x^2 \right) = 2x\) and directly differentiating: \(\frac{d}{dx}\left( \sin\left(x\right) \right) = \cos\left(x\right)\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{\left(x^2\right) \cdot \cos\left(x\right)-\sin\left(x\right)\cdot 2x}{\left(x^2\right)^2}\)

which then leads to

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{\cos\left(x\right)\cdot x^2-\sin\left(x\right)\cdot 2x}{x^4}\)

By simplifying and regrouping terms

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{x\cos\left(x\right)-2\sin\left(x\right)}{x^3}\)

Вывод : Для данной функции ее производная равна:

\[f'(x) = \frac{x\cos\left(x\right)-2\sin\left(x\right)}{x^3}\]

На графике ниже показана ситуация для \(f\) и \(f'\):

Другие производные калькуляторы

В курсе "Калькуляция" вы будете находить производные везде, куда бы вы ни посмотрели. Существуют тысячи приложений, связанных с ними, что делает их наиболее важными инструментами для науки и инженерии.

Вам нужно будет узнать о неявное дифференцирование для различных приложений, часто включающих связанные ставки, или в многомерном исчислении вас заинтересуют нахождение частных производных .

В целом, вам будет легче работать с деривативами, если вы будете уметь правильно обращаться с наиболее распространенными из них Правила производных , включая Правило Цепи , а также Правило Продукта и Правило квоты .