Подробнее об этом калькуляторе скалярного произведения

Этот калькулятор позволит вам рассчитать скалярное произведение из двух векторов, показывающих все шаги. Все, что вам нужно сделать, это ввести векторы и нажать "Рассчитать".

Точечный продукт имеет МНОГО приложений в линейной алгебре для вычисления проекций и оценки перпендикулярности векторов.

Действительно, с геометрической точки зрения скалярное произведение, равное нулю, означает, что два вектора равны перпендикуляр .

Формула скалярного произведения

Итак, как рассчитать скалярный продукт? Скалярное произведение — это операция, выполняемая для двух векторов \(x\) и \(y\), результатом которой является скаляр. Формула скалярного произведения показана ниже:

\[ \langle x, y \rangle = \sum_{i=1}^n x_i y_i \]

Скалярный продукт \(\langle x,y \rangle\) известен под разными именами, и его также называют внутренний продукт или скалярное произведение . По сути, скалярное произведение является матричным произведением, если мы рассмотрим \(x \in \mathbb{R}^n\) и \(y \in \mathbb{R}^n\), тогда скалярное произведение определяется как:

\[ \langle x, y \rangle = \sum_{i=1}^n x_i y_i = x^t \cdot y \]

Эту формулу легко запомнить, в отличие от случая перекрестное произведение . Скалярный продукт легко вычислить вручную, так как в случае скалярного продукта вы умножаете соответствующий компонент, а затем складываете их.

Приложения точечного продукта

Некоторые варианты использования скалярного произведения очень аккуратны и практичны: Калькулятор скалярного произведения и угол. Действительно, точка или скалярное произведение также имеют сильную геометрическую мотивацию. Конечно, альтернативным выражением для него является

\[ \langle x, y \rangle = \|x\| \|y\| \cos \theta \]

где \(\|x\|\) — норма (длина) \(x\), \(\|y\|\) — норма (длина) \(y\), а \(\theta\) — угол между \(x\) и \(y\).

Скалярный продукт с расчетом угла

Прямым следствием определения скалярного произведения является то, что его можно использовать для вычисления угла между двумя векторами по следующей формуле:

\[\cos \theta = \displaystyle \frac{ \langle x, y \rangle}{\|x\| \|y\| } \]

и если мы решили для \(\theta\):

\[ \theta = \arccos\left( \displaystyle \frac{ \langle x, y \rangle}{\|x\| \|y\| } \right) \]

Скалярный продукт и векторный продукт

Связанной операцией для двух векторов является перекрестное произведение , хотя теперь он отличается, поскольку его выходной сигнал является вектором, а не скаляром.

Больше калькуляторов по алгебре

Вы можете просмотреть и увидеть больше решателей алгебры в нашем алгебраические калькуляторы и решения раздел.

Калькуляторы скалярное произведение и перекрестное произведение , среди многих других, имеют сильную степень применимости в линейной алгебре и геометрии.

Хотя некоторые компьютерные системы могут показать вам ответы, наши калькуляторы покажут вам шаги, чтобы вы понимали, откуда берутся вещи.