Решатели Алгебра

Калькулятор полиномов

Инструкции: Используйте этот полиномиальный калькулятор для вычисления и упрощения любой заданной вами полиномиальной операции, показывая все шаги. Пожалуйста, введите полиномиальное выражение, которое вы хотите упростить, в поле формы ниже.

Калькулятор полиномов

Данный калькулятор позволит вам провести вычисления и упрощения многочленов, из предоставленного вами многочленного выражения, например, 3x^2 - 2/3 x + 1/4 + 5/4 - 3/4 x^2 и т.д.

Вы также можете предоставить более сложные полиномиальные выражения, например 2/3 x^2(x - 3/4) + 5/4, при условии, что результат является действительным полиномиальным выражением.

После того, как задан действительный полином, вы можете нажать кнопку "Вычислить", и вам будут показаны результаты вычисления и упрощения, с указанием всех этапов процесса.

Расчеты будут проводиться с использованием обычного Критерии PEMDAS , для приоритета и порядок действий .

Как вычислить многочлены?

Несмотря на то, что полиномы могут выглядеть устрашающе, они довольно легко поддаются вычислениям, учитывая их линейную природу. Общий многочлен степени \(n\) имеет следующую формулу

\[f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + ... + a_n x^n \]

Каковы этапы вычисления полинома?

Шаг 1: Определите полиномиальное выражение, которое нужно вычислить и упростить
Шаг 2: Проведите проверку на непротиворечивость, чтобы найти явные признаки того, что функция не является полиномиальной. Если это так, то остановитесь
Шаг 3: Расширьте и упростите члены внутри полиномиального выражения, следуя правилу PEMDAS
Шаг 4: Расширяйте и упрощайте до тех пор, пока упрощения больше не будут возможны

Обратите внимание, что многочлены обладают очень хорошими свойствами замыкания. То есть, если вы складываете или вычитаете многочлены, вы также получаете многочлен. Кроме того, если вы перемножаете многочлены, то на выходе также получается многочлен. Это не обязательно верно для деления многочленов.

Полиномиальное деление

Деление - это одна из операций, не обладающая свойством замыкания. То есть, если вы делите два многочлена, результат не обязательно должен быть многочленом. Он может быть многочленом, но не обязательно должен быть им.

Например, вы делите многочлен \(f(x) = x^3 + 9x^2 + 27x +27\) на многочлен \(g(x) = x + 3 \), то результатом будет другой многочлен:

\[\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)} = \displaystyle \frac{x^3 + 9x^2 + 27x +27}{x + 3} = x^2 + 6x + 9 \]

Но тогда, если разделить многочлен \(f(x) = x^3 + 9x^2 + 27x +28\) на многочлен \(g(x) = x + 3 \), то результат НЕ будет многочленом.

Почему полиномы важны?

Полиномы - это очень естественный объект, который встречается в приложениях. Например, квадратные уравнения - это полиномы порядка (степени) 2. Поэтому вполне естественно работать с полиномами степени выше 2.

Это правда, что квадратичные функции занимают гораздо более центральное место в приложениях по основной алгебре, но это не значит, что многочлены высших степеней не имеют преимущественного значения.

Пример: вычисление многочленов

Расшифруйте и упростите следующее: \(f(x) = 3x^2 - \frac{2}{3} x + \frac{1}{4} + \frac{5}{4} - \frac{3}{4} x^2\)

Отвечать: Нам предоставляется следующее выражение: \(\displaystyle 3x^2 - \frac{2}{3} x + \frac{1}{4} + \frac{5}{4} - \frac{3}{4} x^2\).

Получается следующий расчет:

\( \displaystyle 3x^2-\frac{2}{3}x+\frac{1}{4}+\frac{5}{4}-\frac{3}{4}x^2\)

Putting together the terms with \(x^2\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle -\frac{2}{3}x+\left(3-\frac{3}{4}\right)x^2+\frac{1}{4}+\frac{5}{4}\)

Putting the fractions together and simplifying the terms that were grouped with \(x^2\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle -\frac{2}{3}x+\frac{9}{4}x^2+\frac{1}{4}+\frac{5}{4}\)

Grouping and operating all the integer terms and fractions: \(\displaystyle \frac{ 1}{ 4}+\frac{ 5}{ 4}=\frac{ 1+5}{ 4}=\frac{ 6}{ 4}=\frac{ 2 \times 3}{ 2 \times 2}=\frac{ \cancel{ 2} \times 3}{ \cancel{ 2} \times 2}=\frac{ 3}{ 2}\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle -\frac{2}{3}x+\frac{9}{4}x^2+\frac{3}{2}\)

Reorganizing/simplifying/expanding the expression

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{9}{4}x^2-\frac{2}{3}x+\frac{3}{2}\)

что завершает процесс упрощения.

Пример: пример полиномиального калькулятора

Вычислите следующее: \(f(x) = \frac{1}{3} x \left( \frac{5}{4}x - \frac{5}{6}\right)+x\)

Отвечать: Теперь у нас есть полиномиальное выражение: \(\displaystyle \frac{1}{3}x\left(\frac{5}{4}x-\frac{5}{6}\right)+x\).

Получается следующее упрощение:

\( \displaystyle \frac{1}{3}x\left(\frac{5}{4}x-\frac{5}{6}\right)+x\)

Observe that \((\frac{1}{3}x) \cdot (\frac{5}{4}x-\frac{5}{6}) = \frac{1}{3}x\cdot\frac{5}{4}x-\frac{5}{6}\cdot\frac{1}{3}x = \frac{5}{12}x^2-\frac{5}{18}x\), by using the distributive property on each term of the expression on the left, with respect to the terms on the right

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{5}{12}x^2-\frac{5}{18}x+x\)

Aggregating those terms with \(x\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \left(- \frac{ 5}{ 18}+1\right)x+\frac{5}{12}x^2\)

Operating the terms that were grouped with \(x\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{13}{18}x+\frac{5}{12}x^2\)

И вот, друзья, как превратить горячий беспорядок в полугорячий беспорядок! Конец упрощения достигнут.

Пример: еще один пример полиномиального калькулятора

Расширьте и упростите \( f(x) = \left(\frac{2}{3}x - \frac{6}{5} \right)+ \frac{2}{5}x + 3 \).

Отвечать: Теперь у нас есть \(\displaystyle \left(\frac{2}{3}x-\frac{6}{5}\right)+\frac{2}{5}x+3\).

Мы хотим упростить этот процесс:

\( \displaystyle \frac{2}{3}x-\frac{6}{5}+\frac{2}{5}x+3\)

Grouping the terms with \(x\)

\( = \,\,\)

\(\displaystyle \left(\frac{2}{3}+\frac{2}{5}\right)x+3-\frac{6}{5}\)

Grouping together numerical values and fractions and simplifying the terms that were grouped with \(x\)

\( = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{16}{15}x+3-\frac{6}{5}\)

Grouping and operating all the integer terms and fractions: \(\displaystyle 3-\frac{ 6}{ 5}=3 \times \frac{ 5}{ 5}-\frac{ 6}{ 5}=\frac{ 3 \times 5-6}{ 5}=\frac{ 15-6}{ 5}=\frac{ 9}{ 5}\)

\( = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{16}{15}x+\frac{9}{5}\)

что завершает расчет.

Больше калькуляторов по алгебре

Полиномы встречаются в очень многих приложениях и являются одной из самых важных базовых функций в алгебре. Одним из частных случаев полиномов является случай квадратичные функции которые являются одними из самых простых многочленов, которые мы когда-либо найдем.

С ними можно делать многое: вы можете граф полиномов , находить корни, искать симметрии и все такое, но самая простая интерпретация всего этого происходит для квадратных уравнений.