О частичной производной

Этот калькулятор позволит вам вычислить частную производную любой действительной дифференцируемой функции, которую вы предоставите, относительно заданной переменной.

Функция, которую вы предоставляете, должна сопровождаться определением функции, например f(x, y) = x^3 + y^2. Если вы напишете что-то вроде xy+x^2 без полного определения, будет считаться, что предоставлена функция двух переменных x и y.

Как только вы зададите действительную дифференцируемую функцию и действительную переменную, следующим шагом будет нажатие на кнопку "Вычислить", после чего будут показаны все этапы процесса, со всеми используемые производные правила , прямо указано.

Деривативы и их естественное расширение до частных производных по нескольким переменным являются одними из самых важных предметов изучения в математике. Это связано с тем, что они имеют дело со скоростью изменения и течением многих моделей, которые часто появляются в приложениях.

Что такое частичная производная?

Проще говоря, частичная производная состоит в том, чтобы провести то же самое, что и обычное дифференцирование относительно одной переменной, предполагая, что остальные переменные постоянны.

Если бы мы хотели формально определить частичную производную, давайте упростим задачу и сделаем это для функции двух переменных, \(x\) и \(y\). Частная производная по отношению к \(x\) в точке \((x_0, y_0)\) имеет вид

\[\frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0) = \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h, y_0) - f(x_0, y_0)}{h} \]

Итак, как мы видим, по сути это то же самое, что и определение обычной производной, только здесь есть еще одна переменная, но она остается постоянной в процессе вычисления.

Аналогично, частная производная по отношению к \(y\) в точке \((x_0, y_0)\) равна

\[\frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0) = \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0, y_0 + h) - f(x_0, y_0)}{h} \]

Вектор всех частных производных называется градиентом. Если вам нужно действительно получить все частные производные, вы можете использовать следующее градиентный калькулятор .

Шаги для вычисления частных производных

• Шаг 1: Определите функцию, частную производную которой вы хотите вычислить. Не забудьте сначала упростить ее
• Шаг 2: Обратите внимание, что не все функции дифференцируемы, поэтому вам нужно убедиться, что функция, о которой идет речь, действительно дифференцируема
• Шаг 3: Используйте все соответствующие правила производной для функции и дифференцируйте функцию, как обычно, по дифференцируемой переменной, а любую другую переменную считайте постоянной

Таким образом, когда мы выполняем частичную производную по x для чего-то вроде 'x^2+y^2', в процессе частичного дифференцирования по x переменная y рассматривается как константа. Таким образом, мы получим

\[\frac{\partial (x^2+y^2)}{\partial x} = \frac{\partial (x^2)}{\partial x} + \frac{\partial (y^2)}{\partial x} = 2x \]

и в данном случае \(\frac{\partial (y^2)}{\partial x} = 0\), поскольку y предполагается постоянным относительно x.

Зачем использовать калькулятор частных производных

Вычисление частных производных может быть относительно простым упражнением, но это не значит, что оно обязательно будет легким. Важно быть очень систематичным во время применения соответствующего Правила производных .

Использование калькулятора частичных производных с шагами может помочь вам, по крайней мере, проверить результат и точно увидеть, какие шаги являются правильными и какие правила вычисления производных необходимо использовать.

Особенно в сложных задачах, с алгебраически сложными выражениями калькулятор действительно может пригодиться.

Каковы правила производных для частичных производных?

Они точно такие же, как и для обычных производных. Для частных производных у нас есть линейность, а также Правило Продукта , Правило цепи и Правило квоты . Как правило, для более сложных примеров производных вы в конечном итоге будете использовать комбинацию всех этих правил.

Что такое неявная дифференциация

Существует ситуация, когда задействовано более одной переменной, в которой мы не предполагаем, например, что y изменяется с x, как это делается в частных производных. В некоторых случаях, когда есть уравнение, связывающее переменные, мы предполагаем наличие неявной зависимости между y и x, и пишем y = y(x).

Это контекст неявное дифференцирование это своего рода гибрид между частичной и обычной дифференциацией.

И есть одна вещь, которую невозможно переоценить: Частичные производные действительно являются одним из основных инструментов, используемых в инженерии, физике и экономике.

Пример: вычисление частичной производной

Вычислите частную производную \(\frac{\partial f}{\partial y}\) для: \(f(x,y) = \sin(xy)\)

Решение:

чем завершается расчет.

Пример: частичное дифференцирование

Вычислите частную производную по отношению к \(x\) от: \(f(x, y) = x^2 + y^2\)

Отвечать: Функция, которая предоставляется, это: \(\displaystyle f(x,y)=x^2+y^2\), для которой необходимо вычислить ее частную производную по отношению к переменной \(x\).

Функция не нуждается в дальнейшем упрощении, поэтому мы можем перейти непосредственно к вычислению ее частной производной:

Пример: еще один пример с частичной производной

Рассмотрите функцию \(f(x, y) = \frac{xy}{x^2+y^2}\), найдите ее частные производные \(\frac{\partial f}{\partial x}\) и \(\frac{\partial f}{\partial y}\).

Отвечать: В данном случае функция : \(\displaystyle f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2}\), для которой необходимо вычислить ее частные производные .

Функция уже упрощена, поэтому мы можем приступить непосредственно к работе:

Теперь, с другой стороны:

Другие калькуляторы calculus

Понятие производной находится в центре Calculus, а использование производный калькулятор может значительно помочь вам во многих различных приложениях Calculus, включая оптимизацию, одну из самых "больших".

Идея производной естественно распространяется на случай функции со многими переменными, где a Калькулятор частичных производных будет делать то же самое, что и обычная производная, но теперь предполагается, что изменяется только одна переменная, в то время как другие переменные принимаются фиксированными.

Часто бывает так, что известно, что \(y\) зависит от \(x\), но не явно, а скорее неявно, с помощью уравнения связи, в этом случае можно использовать неявное дифференцирование использовать правила производных, чтобы получить выражение, для которого затем можно решить производную \(\frac{d f}{d x}\) .