Калькулятор касательных линий
Инструкции: Используйте этот калькулятор для вычисления касательной линии для заданной функции в заданной точке, показывая все шаги. Пожалуйста, введите функцию и соответствующую точку в поле формы ниже.
Об этом калькуляторе касательных линий
Этот калькулятор позволит вам легко провести вычисления, необходимые для получения касательной к линии функции в заданной точке, показывая все шаги.
Все, что вам нужно сделать, это задать действительную функцию f(x) и точку, в которой вы хотите провести касательную линию. Функцией может быть любая дифференцируемая функция, например f(x) = sin(x), или f(x) = x^2 - x + 1, и т.д. Точкой может быть любое допустимое числовое выражение, например, 1/2.
Затем, когда вся необходимая информация предоставлена и она достоверна, нужно нажать кнопку "Вычислить", чтобы вам были показаны все шаги уравнения касательной линии.
Применения касательных линий в науке очень много. Также называется первый порядок или линейная аппроксимация но оно имеет действительно глубокий смысл в физике и инженерии, где идея основного вклада в изменение (часть первого порядка) является той, которая раскрывает много информации о процессе.
Что такое касательная линия
Проще говоря, касательная — это линия, которая пересекает кривую, но пересекает ее только в одной точке (по крайней мере, локально). Эта касательная строится путем фиксирования точки \(x_0\) и взятия другой точки \(x_1\).
Затем, построив линию, проходящую через точки \((x_0, f(x_0))\) и \((x_1, f(x_1))\), получим то, что называется Секантная линия как показано на графике ниже:
Наконец, мы приближаем точку \(x_1\) к \(x_0\), и мы получаем касательную:
Шаги для геометрического нахождения касательной линии
- Шаг 1: Определите функцию f(x), с которой вы хотите работать, и точку x0. Вам нужны обе эти точки
- Шаг 2: Точка (x0, f(x0)) будет лежать на кривой функции f(x). Постройте ее
- Шаг 3: Выберите точку (x1, f(x1)) для x1, отличного от x0 (может быть слева или справа от x). Постройте график
- Шаг 4: Проведите прямую, проходящую через точки (x0, f(x0)) и (x1, f(x1))
- Шаг 5: Выберите точку x2, которая находится на полпути между x0 и x1, и проведите прямую, проходящую через точки (x0, f(x0)) и (x2, f(x2))
- Шаг 6: Повторите этот процесс несколько раз
Этот графический метод поможет вам получить приблизительное представление о том, как выглядит линия касательной, но является приблизительным (если только функция f(x) не является линейной).
Формула касательной линии
Метод аппроксимации с использованием секущих может дать вам представление о том, что вы ищете, но, к счастью, существует точная формула для вычисления касательной к функции в точке \(x_0\). Формула касательной линии:
\[\displaystyle y = f(x_0) + f'(x_0) (x - x_0) \]Просто, да? Проще говоря, эта формула говорит о том, что касательная линия - это прямая, проходящая через точку \((x_0, f(x_0))\) и имеет наклон \(m = f'(x_0)\)
Тогда, говоря простым языком, наклон касательной в данной точке в точности является производной функции в этой точке.
Шаги для применения формулы касательной линии
- Шаг 1: Определите функцию f(x) и точку x0
- Шаг 2: Вычислите значение функции в точке x0, которое равно f(x0)
- Шаг 3: Вычислите производную f(x) в точке x0, поэтому вам нужна f'(x0)
- Шаг 4: Непосредственно применить формулу касательной линии \(y = f(x_0) + f'(x_0) (x - x_0)\)
Как только вы получите уравнение прямой вы можете преобразовать его в формат, наиболее подходящий для конкретной ситуации.
Наклон касательной линии
Один из ключевых выводов заключается в том, что наклон касательной в точке \(x_0\) в точности равен \(f'(x_0)\), который является производной в точке \(x_0\). Это обеспечивает четкую и чрезвычайно полезную интерпретацию производной в геометрических терминах.
Эта связь позволяет найти уравнение касательной к данной кривой в данной точке, просто посмотрев на производную функции.
Когда у вас есть горизонтальная касательная?
Горизонтальная касательная появится, когда выбрана точка \(x_0\), когда соответствующая производная в этой точке равна нулю. В этом случае касательная (которая представляет собой линию, которая локально касается кривой в одной точке) будет параллельна оси y.
Итак, все, что вам нужно знать для определения горизонтальных касательных линий, — это найти точки, в которых производная функции равна нулю.
Когда у вас есть вертикальная касательная линия?
Вертикальная касательная появится, когда производная "бесконечна" в точке. Это простой способ сказать, что производная не определена в данной точке, но сходится к бесконечности по мере приближения к этой точке.
Например, можно сказать, что \(f(x) = \frac{1}{x}\) имеет вертикальную касательную при x = 0. Хотя можно утверждать, что касательной нет, потому что производная при x = 0 определена некорректно.
Пример: касательная линия
Найдите уравнение касательной для \(f(x) = x^2 - 2x + 1\) в точке \(x_0 = 2\).
Отвечать: Нам нужно работать со следующей функцией: \(\displaystyle f(x)=x^2-2x+1\). Во-первых, нам нужно вычислить его производную.
Функция уже упрощена, поэтому мы можем перейти непосредственно к вычислению ее производной:
Касательная Линия : Уравнение касательной для функции \(\displaystyle f(x)=x^2-2x+1\) в точке \(x_0 = 2\):
\[y = y_0 + f'(x_0)(x - x_0) \]В данном случае \(\displaystyle y_0 = f(x_0)\), поэтому подстановка значения точки \(x_0 = 2\) в функцию приводит к:
\[y_0 = f(x_0) = f(2) = 2^2-2\cdot 2+1 = 1 \]Кроме того, подстановка значения точки \(x_0 = 2\) в вычисляемую производную приводит к:
\[f'(x_0) = f'(2) = 2\cdot 2-2 = 2 \]Теперь подставим эти значения в формулу касательной линии и получим:
\[y = y_0 + f'(x_0)(x - x_0) \]\[\Rightarrow y = 1+2\left(x-2\right) = 2x-3 \]Заключение : Следовательно, установлено, что касательная для функции \(\displaystyle f(x)=x^2-2x+1\) в точке \(x_0 = 2\) имеет вид:
\[y = 2x-3 \]Для данной функции и ее касательной в точке \(x_0 = 2\) получается следующий график:
Пример: уравнение касательной линии
Что такое касательная в точке x = 1/2 для функции \(f(x) = \sin(x) + 1\)?
Решение:
Предусмотрена следующая функция: \(\displaystyle f(x)=\sin\left(x\right)+1\), для которой нам нужно вычислить ее производную.
Функция уже упрощена, поэтому мы можем перейти непосредственно к вычислению ее производной:
Касательная Линия : Мы находим, что соответствующее уравнение касательной в точке \(x_0 = \frac{1}{2}\) имеет вид:
\[y = y_0 + f'(x_0)(x - x_0) \]Но в данном конкретном случае \(\displaystyle y_0 = f(x_0)\), что означает, что нам нужно подставить значение точки \(x_0 = \frac{1}{2}\) в функцию, поэтому мы получаем:
\[y_0 = f(x_0) = f\left(\frac{1}{2}\right) = \sin\left(\frac{1}{2}\right)+1\]Теперь, проделав то же самое с производной, для \(x_0 = \frac{1}{2}\) находим
\[f'(x_0) = f'\left(\frac{1}{2}\right) = \cos\left(\frac{1}{2}\right) \]Теперь нам нужно просто вставить значения, и мы находим, что
\[y = y_0 + f'(x_0)(x - x_0) \]\[\Rightarrow y = \sin\left(\frac{1}{2}\right)+1+\cos\left(\frac{1}{2}\right)\left(x-\frac{1}{2}\right) = x\cos\left(\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{2}\cos\left(\frac{1}{2}\right)+\sin\left(\frac{1}{2}\right)+1 \]Заключение : Мы находим, что соответствующая касательная, которую мы ищем, в соответствующей точке \(x_0 = \frac{1}{2}\) задается выражением
\[y = x\cos\left(\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{2}\cos\left(\frac{1}{2}\right)+\sin\left(\frac{1}{2}\right)+1 \]Графически:
Пример: другая касательная линия
Что такое касательная в точке x = 0 для функции \(f(x) = \cos(x)\)? Имеет ли этот результат смысл?
Отвечать: Обратите внимание, что \(f'(x) = -\sin(x)\), а затем \(f'(0) = -\sin(0) = 0\). То есть касательная имеет наклон m = 0 при x = 0, поэтому уравнение касательной имеет вид \(y = y_0 = \cos(0) = 1\). Это имеет смысл, потому что в этом случае касательная является горизонтальной линией.
Больше калькуляторов дифференциации
Некоторые люди могут утверждать, что дифференцирование - это относительно простое упражнение, и что использование производный калькулятор может и не понадобиться, но на самом деле вычисление производных может быть довольно громоздким и потребовать длительного времени алгебраические вычисления .
Когда у вас есть выражение с более чем одной переменной, чтобы найти производную, вам нужно определить, являются ли переменные независимыми друг от друга, в этом случае вы используете частные производные или если есть уравнение, которое связывает переменные, в этом случае вам нужно использовать неявное дифференцирование .
Основными двумя направлениями в дифференциальном исчислении являются интегрирование и дифференцирование, и оба они находят широкое применение повсеместно. частные производные подробно описаны в инженерных и экономических приложениях.
С одной стороны, дифференцирование имеет дело с бесконечно малыми скоростями изменений, тогда как интегрирование - с суммированием бесконечно малых скоростей изменений Фундаментальная теорема исчисления .
