Coeficiente de Correlação Intervalo de Confiança com uma dada correlação

O processo para esta calculadora é muito semelhante ao normal calculadora de intervalos de confiança para a correlação da amostra com a única diferença de que, neste caso, não tem um conjunto de dados de amostra, mas sim a própria correlação da amostra.

Só precisa da correlação dada para obter o intervalo de confiança?

Não, é preciso um pouco mais. Já ter fornecido a correlação da amostra é óptimo, porque pode poupar-se ao trabalho de calculá-lo com a mão longa.

Mas no entanto, também é necessário saber o tamanho da amostra $n$ que foi utilizado para calcular a correlação da amostra (isto é, o número de pares X e Y), e também, naturalmente, como em todos os intervalos de confiança, é necessário especificar o nível de confiança.

O nível de confiança mais comummente utilizado é 95% (ou 0,95), mas também se pode utilizar 90%, 98%, 99%, etc., e tudo o que estiver entre eles. Por outras palavras, a correlação e o tamanho da amostra são dados, e escolhe-se o nível de confiança.

Como encontrar o coeficiente de correlação e o intervalo de confiança, com uma dada correlação?

Exactamente da mesma forma que se faz com um conjunto de dados. Uma vez que tenha a correlação (que agora lhe é dada), transforma-a e computa uma transformação especial da correlação (com base na tangente hiperbólica inversa).

Depois computa limites para um intervalo de confiança para a correlação transformada, e depois volta a transformar esses limites (usando a tangente hiperbólica), para obter o intervalo de confiança que procura.

Exemplo

Assumir que a correlação da amostra é <$r = 0.45$, com um tamanho de amostra de $n = 18$>>. Calcule o intervalo de confiança de 99% para o coeficiente de correlação da amostra:

Solução:

Foram fornecidas as seguintes informações:

Sample Correlation $r$ =	$0.45$
Sample Size $n$ =	$18$
Confidence level =	$99\%$

Passo 1: Calcular a Transformação do Coeficiente de Correlação da Amostra

O passo seguinte consiste em calcular a transformação (tangente hiperbólica inversa) do coeficiente de correlação da amostra que nos foi fornecido.

O que estamos a tentar fazer é construir um intervalo de confiança auxiliar para uma transformação da correlação, que corresponde à tangente hiperbólica inversa, a partir da qual se obtém um intervalo de confiança para a própria correlação. Obtém-se o seguinte:

$$r' = \tanh^{-1}(r) = \frac{1}{2}\ln\left(\frac{1+r}{1-r}\right) =\frac{1}{2}\ln\left(\frac{1+0.45}{1-0.45}\right) = 0.485$$

Passo 2: Calcular o erro padrão

Agora vamos calcular o erro padrão $SE$ para o intervalo de confiança auxiliar, usando a seguinte fórmula:

$$SE =\frac{1}{\sqrt{n-3}} = \frac{1}{\sqrt{ 18-3}} = 0.258$$

onde <$n = 18$ corresponde ao tamanho da amostra (o número de pares).

Passo 3: Calcular o Intervalo de Confiança Auxiliar

Agora precisamos de calcular o intervalo de confiança auxiliar, que é o intervalo de confiança do registo da correlação.

O nível de confiança requerido é <$99\%$, então o valor z crítico correspondente é $z_c = 2.576$, que é obtido utilizando uma tabela de distribuição normal (ou a sua calculadora). Com esta informação calculamos os limites inferior e superior do intervalo auxiliar:

Com esta informação calculamos os limites inferior e superior do intervalo auxiliar:

$$L' = r' - z_c \times SE = 0.485 - 2.576 \times 0.258 = -0.18$$

e

$$U' = r' + z_c \times SE = 0.485 + 2.576 \times 0.258 = 1.15$$

por isso, o intervalo de confiança auxiliar para a correlação transformada é $CI' = (-0.18, 1.15)$>.

Passo 4: Calcular o Intervalo de Confiança para a Correlação

Finalmente, podemos calcular o $99\%$ que procuramos aplicando a função tangente hiperbólica aos limites do intervalo de confiança auxiliar obtido acima:

$$L = \tanh(L') = \tanh( -0.18) = -0.178$$$$U = \tanh(U') = \tanh(1.15) = 0.818$$

Portanto, com base na informação fornecida acima, o coeficiente de correlação da amostra é <$r = 0.45$, e o $99\%$ intervalo de confiança para a correlação da amostra é $CI = (-0.178, 0.818)$>.

Interpretação: Com base nos resultados encontrados acima, estamos $99\%$ confiantes de que o intervalo $(-0.178, 0.818)$> contém a verdadeira correlação populacional $\rho$>>.