Coeficiente de Correlação Intervalo de Confiança com uma dada correlação

O processo para esta calculadora é muito semelhante ao normal calculadora de intervalos de confiança para a correlação da amostra com a única diferença de que, neste caso, não tem um conjunto de dados de amostra, mas sim a própria correlação da amostra.

Só precisa da correlação dada para obter o intervalo de confiança?

Não, é preciso um pouco mais. Já ter fornecido a correlação da amostra é óptimo, porque pode poupar-se ao trabalho de calculá-lo com a mão longa.

Mas no entanto, também é necessário saber o tamanho da amostra \(n\) que foi utilizado para calcular a correlação da amostra (isto é, o número de pares X e Y), e também, naturalmente, como em todos os intervalos de confiança, é necessário especificar o nível de confiança.

O nível de confiança mais comummente utilizado é 95% (ou 0,95), mas também se pode utilizar 90%, 98%, 99%, etc., e tudo o que estiver entre eles. Por outras palavras, a correlação e o tamanho da amostra são dados, e escolhe-se o nível de confiança.

Como encontrar o coeficiente de correlação e o intervalo de confiança, com uma dada correlação?

Exactamente da mesma forma que se faz com um conjunto de dados. Uma vez que tenha a correlação (que agora lhe é dada), transforma-a e computa uma transformação especial da correlação (com base na tangente hiperbólica inversa).

Depois computa limites para um intervalo de confiança para a correlação transformada, e depois volta a transformar esses limites (usando a tangente hiperbólica), para obter o intervalo de confiança que procura.

Exemplo

Assumir que a correlação da amostra é <\(r = 0.45\), com um tamanho de amostra de \(n = 18\)>>. Calcule o intervalo de confiança de 99% para o coeficiente de correlação da amostra:

Solução:

Foram fornecidas as seguintes informações:

Sample Correlation \(r\) =	\(0.45\)
Sample Size \(n\) =	\(18\)
Confidence level =	\(99\%\)

Passo 1: Calcular a Transformação do Coeficiente de Correlação da Amostra

O passo seguinte consiste em calcular a transformação (tangente hiperbólica inversa) do coeficiente de correlação da amostra que nos foi fornecido.

O que estamos a tentar fazer é construir um intervalo de confiança auxiliar para uma transformação da correlação, que corresponde à tangente hiperbólica inversa, a partir da qual se obtém um intervalo de confiança para a própria correlação. Obtém-se o seguinte:

\[r' = \tanh^{-1}(r) = \frac{1}{2}\ln\left(\frac{1+r}{1-r}\right) =\frac{1}{2}\ln\left(\frac{1+0.45}{1-0.45}\right) = 0.485\]

Passo 2: Calcular o erro padrão

Agora vamos calcular o erro padrão \(SE\) para o intervalo de confiança auxiliar, usando a seguinte fórmula:

\[ SE =\frac{1}{\sqrt{n-3}} = \frac{1}{\sqrt{ 18-3}} = 0.258\]

onde <\(n = 18\) corresponde ao tamanho da amostra (o número de pares).

Passo 3: Calcular o Intervalo de Confiança Auxiliar

Agora precisamos de calcular o intervalo de confiança auxiliar, que é o intervalo de confiança do registo da correlação.

O nível de confiança requerido é <\(99\%\), então o valor z crítico correspondente é \(z_c = 2.576\), que é obtido utilizando uma tabela de distribuição normal (ou a sua calculadora). Com esta informação calculamos os limites inferior e superior do intervalo auxiliar:

Com esta informação calculamos os limites inferior e superior do intervalo auxiliar:

\[ L' = r' - z_c \times SE = 0.485 - 2.576 \times 0.258 = -0.18\]

e

\[ U' = r' + z_c \times SE = 0.485 + 2.576 \times 0.258 = 1.15\]

por isso, o intervalo de confiança auxiliar para a correlação transformada é \(CI' = (-0.18, 1.15)\)>.

Passo 4: Calcular o Intervalo de Confiança para a Correlação

Finalmente, podemos calcular o \(99\%\) que procuramos aplicando a função tangente hiperbólica aos limites do intervalo de confiança auxiliar obtido acima:

\[ L = \tanh(L') = \tanh( -0.18) = -0.178\]\[ U = \tanh(U') = \tanh(1.15) = 0.818\]

Portanto, com base na informação fornecida acima, o coeficiente de correlação da amostra é <\(r = 0.45\), e o \(99\%\) intervalo de confiança para a correlação da amostra é \(CI = (-0.178, 0.818)\)>.

Interpretação: Com base nos resultados encontrados acima, estamos \(99\%\) confiantes de que o intervalo \((-0.178, 0.818)\)> contém a verdadeira correlação populacional \(\rho\)>>.