Il valore assoluto
Il valore assoluto di un numero corrisponde alla sua grandezza, senza considerare il suo segno, se lo possiede. Geometricamente, corrisponde alla distanza di un punto \(x\) dall'origine \(0\), sulla linea reale
Matematicamente il valore assoluto di un numero \(x\) è rappresentato come \(|x|\).
A causa della natura geometrica della sua interpretazione, il valore assoluto è ampiamente utilizzato in algebra e altri rami matematici, e risulta che è molto facile calcolare il valore assoluto di un dato numero: tutto ciò che devi fare è eliminare il segno, se c'è un segno.
ESEMPIO 1
Calcola il valore assoluto di \(-8\).
RISPOSTA:
Come accennato in precedenza, il valore assoluto di un numero è la sua grandezza, senza tener conto del segno. In questo caso, facendo cadere il segno, ci rendiamo conto che il valore assoluto di \(-8\) è \(8\). Matematicamente, scriviamo \(|-8| = 8\).
ESEMPIO 2
Calcola il valore assoluto di \(4\).
RISPOSTA:
Sappiamo che il valore assoluto di un numero è la sua grandezza, senza tener conto del segno. In questo caso, non c'è un segno da eliminazione, quindi ricorda che il valore assoluto di \(4\) è semplicemente \(4\). Quindi, matematicamente, scriviamo \(|4| = 4\).
Definizione matematica di valore assoluto
Questa idea di "far cadere il segno" sarebbe sufficiente se tutto ciò che facciamo è calcolare il valore assoluto dei numeri. Ma in realtà facciamo più cose, che sono un po 'più complicate, come equazioni di valore assoluto e disequazioni.
Matematicamente, la definizione formale di \(|x|\) è fornita di seguito.
\ [| x | = \ left \ {\ begin {array} {cc} x \ text {} & \, \, \, \ text {per} x \ ge 0 \\ \\ -x & \, \, \ text {per} x <0 \\ \ end {array} \ right. \]Senza farsi prendere dal panico, analizziamo la definizione di cui sopra. Sta semplicemente dicendo: "Controlla il numero specificato \(x\). Se \(x\) è maggiore o uguale a zero, il valore assoluto del numero sarà il numero stesso. Altrimenti, se il numero specificato \(x\) è negativo, il valore assoluto del numero è \(-x\), che corrisponderebbe alla moltiplicazione del numero originariamente fornito per \(-1\).
Quindi, nel caso di \(-8\), questo numero di negativi, quindi il valore assoluto si ottiene moltiplicandolo per \(-1\), quindi otteniamo \(|-8|\) = (-1) \ times (-8) = 8. Questo è tutto.
Ora, questa definizione può sembrare eccessiva. Dopo tutto, perché non attenersi al metodo "lascia cadere il segno"? C'è una ragione per questo, ed è semplicemente perché questo modo di definire il valore assoluto ci aiuta a gestire situazioni più difficili che coinvolgono il valore assoluto.
Ad esempio, se ti chiedessi di risolvere la seguente disuguaglianza: \(|x^2-4x+10| \ge 0\), potresti semplicemente "rilasciare il segno" per ridurla? Non proprio. Non preoccuparti, discutiamo delle disuguaglianze che coinvolgono i valori assoluti in un altro tutorial.
Volevo solo sottolineare perché ci impegniamo a fare una definizione formale del valore assoluto, e perché a un certo punto ne avremo bisogno, quando gestiremo operazioni più complicate che coinvolgono valori assoluti.
Proprietà del valore assoluto
Queste le proprietà principali:
1) \(|0| = 0\)
2) \(|ab| = |a||b|\), per \(a\) e \(b\) numeri reali
3) \(|a+b| \le |a|+|b|\), per \(a\) e \(b\) numeri reali
L'errore della radice quadrata di un quadrato
Infine, vorrei dare credito al valore assoluto per un riferimento mancante. Sì, merita credito. In effetti, spesso vediamo al liceo o anche al college un'affermazione confusa come:
\[\large \sqrt{x^2} = x\]con un'affermazione che dice che "la radice quadrata cancella il quadrato". Non ho intenzione di dire che è falso, ma dirò che è vero quando \(x\) non è negativo. La vera affermazione sarebbe
\[\large \sqrt{x^2} = |x|\]ed ecco una delle apparenze stellari del valore assoluto. Col tempo ti renderai conto che si presenta più frequentemente di quanto pensi.
Maggiori informazioni sul valore assoluto
Il valore assoluto è un concetto semplice, ed è davvero utile, perché ha una chiara interpretazione geometrica nella linea reale: rappresenta la distanza di un qualsiasi punto dall'origine.
Sebbene sia semplice calcolarlo per un numero, le operazioni più complicate che coinvolgono valori assoluti, come le equazioni del valore assoluto e le disequazioni. Quelli richiede una strategia chiara per essere risolti, altrimenti puoi rimanere perplesso.
Come trovare un valore assoluto?
In genere non è così difficile trovare il valore assoluto di un dato numero: tutto quello che devi fare è ottenere la grandezza del numero, senza considerare il segno. In altre parole, e per semplificare, controlla se c'è un segno e lascialo cadere.
La procedura è meno evidente quando si calcola il valore assoluto di un'espressione algebrica, nel qual caso è necessario prima ridurre l'espressione a un numero e quindi eliminare qualsiasi segno se ce l'ha.
Applicazioni del valore assoluto
L'analisi del valore assoluto va oltre il semplice calcolo del valore assoluto dei numeri. Il valore assoluto ha alcune proprietà intrinseche che risulta uno strumento analitico inestimabile.
Ad esempio, il valore assoluto appare frequentemente in molte situazioni, come ad esempio per \(\sqrt{x^2} = |x|\), che di solito è dato per scontato, poiché la maggior parte delle persone utilizzerà \(\sqrt{x^2} = x\), che non è corretto quando \(x\) è negativo.
Il valore assoluto compare anche in geometria (perché il valore assoluto di una differenza rappresenta la distanza tra due punti), in integrazione e per quando dobbiamo risolvere disuguaglianze di valore assoluto .
Inoltre, puoi usare questo calcolatore di valore assoluto per mettere in pratica i prodotti appresi in questo tutorial. O per calcoli più generali, puoi usare questo calcolatrice di espressioni algebriche .