Come risolvere i problemi di verifica delle ipotesi
Un tipo comune di problema che troverai nei compiti di statistica di base è il tipo di problema che implica l'utilizzo di dati campione verifica un'ipotesi .
Un'ipotesi è un'affermazione su un parametro della popolazione. Questa è un'affermazione che facciamo su un certo parametro della popolazione, come la media della popolazione o la deviazione standard della popolazione.
Ad esempio, un ingegnere di una casa automobilistica può affermare che la distanza media del gas della popolazione di un nuovo modello di auto è di 25 mpg. Sarebbe un'ipotesi. O, ad esempio, un ricercatore di sondaggi politici può affermare che la quota di voto di un certo candidato è del 53%. Questa sarebbe un'altra ipotesi, sulla percentuale reale di elettori che sostengono quel determinato candidato.
Considera il seguente esempio : Uno psicologo afferma che i punteggi medi del QI degli istruttori di statistica sono maggiori di 100. Raccoglie dati campione da 15 istruttori di statistica e scopre che \(\bar{X}=118\) es = 11. I dati campione sembrano provenire da una popolazione normalmente distribuita con \(\mu\) sconosciuto e \(\sigma\).
Cerchiamo di risolvere questo problema:
Si noti che vogliamo verificare le seguenti ipotesi nulle e alternative
\[\begin{align}{{H}_{0}}:\mu {\le} {100}\, \\ {{H}_{A}}:\mu {>} {100} \\ \end{align}\]
Considerando che la deviazione standard della popolazione \(\sigma\) non è fornita, dobbiamo utilizzare un test t con la seguente formula:
\[t =\frac{\bar{X}-\mu }{s / \sqrt{n}}\]
Ciò corrisponde a un test t della coda destra. La statistica t è data dalla seguente formula:
\[t=\frac{\bar{X}-\mu }{s /\sqrt{n}}=\frac{{118}-100}{11/\sqrt{15}}={6.3376}\]
Il valore critico per \(\alpha = 0.05\) e per \(df = n- 1 = 15 -1 = 14\) gradi di libertà per questo test della coda di destra è \(t_{c} = 1.761\). La regione di rifiuto è data da
\[R = \left\{ t:\,\,\,t>{ 1.761 } \right\}\]
Poiché \(t = 6.3376 {>} t_c = 1.761\), rifiutiamo l'ipotesi nulla H 0 .
In alternativa, possiamo utilizzare l'approccio del valore p. Il valore p della coda di destra per questo test è calcolato come
\[p=\Pr \left( {{t}_{14}}>6.3376 \right)=0.000\]
Considerando che il valore p è tale che \(p = 0.000 {<} 0.05\), rifiutiamo l'ipotesi nulla H 0 .
Quindi, abbiamo prove sufficienti per sostenere l'affermazione che il punteggio medio di QI degli istruttori di statistica è maggiore di 100.