Frazioni e loro operazioni
Una frazione corrisponde a un numero della forma
\[ \displaystyle{\frac{a}{b}}\]dove sono \(a\) e \(b\) numeri interi e può essere pensato come "\(a\) diviso per \(b\)". Ad esempio, i numeri
\[ \displaystyle{\frac{3}{4}}, \displaystyle{\frac{8}{9}}, \displaystyle{\frac{-3}{4}}\]sono frazioni. L'unica restrizione per la frazione \( \displaystyle{\frac{a}{b}}\) è quella \(b \neq 0\), perché in quel caso la frazione è non definito .
Somma delle frazioni
Il caso più semplice è quando i denominatori coincidono. In tal caso, infatti, troviamo che:
\[ \displaystyle{\frac{a}{b} + \frac{c}{b} = \frac{a+c}{b} }\]Ciò ha senso perché \( \frac{a}{b} \) può essere interpretato come "\(a\) volte \(\frac{1}{b}\)" e quindi "\(a\) volte \(\frac{1}{b}\)" più "\(c\) volte \(\frac{1}{b}\)" deve essere "\(a + c\) volte \(\frac{1}{b}\)"
Esempio: La somma
\[ \displaystyle{\frac{2}{3} + \frac{4}{3}}\]è calcolato come
\[ \displaystyle{\frac{2}{3} + \frac{4}{3} = \frac{2+4}{3} = \frac{6}{3} = 2}\]Questo mostra che una frazione può diventare semplicemente un numero, nel modo in cui \(6/3\) è semplicemente 2.
Somma di frazioni con numeratore diverso
Questo caso è più difficile dell'altro, perché non possiamo sommare i numeratori. Quello che dobbiamo fare è farlo amplificare le frazioni (moltiplicare sia il numeratore che il denominatore per lo stesso numero) in modo che abbiano lo stesso denominatore. Considera infatti la frazione
\[ \displaystyle{\frac{2}{3} }\]Possiamo amplificare questa frazione di 2:
\[ \displaystyle{\frac{2*2}{2*3} = \frac{4}{6}} \]La frazione risultante è completamente equivalente a quella originale. Come lo usiamo per aggiungere frazioni?
Esempio: La somma
\( \displaystyle{\frac{2}{3} + \frac{5}{6}}\)
viene calcolato amplificando prima la prima frazione per 2, che porta a \(4/6\), e poi
\[ \displaystyle{\frac{2}{3} + \frac{5}{6} = \frac{4}{6} + \frac{5}{6} = \frac{4+5}{6} = \frac{9}{6}}\]Quest'ultima frazione può essere semplificato dividendo sia il numeratore che il denominatore per 3, quindi la risposta finale è \(3/2\)
In generale: Viene calcolata la somma delle frazioni
\[ \displaystyle{\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad+bc}{bd}}\]