Decomposizione della frazione parziale
Partial Fraction Decomposition è una tecnica utilizzata per rendere l'integrazione più semplice, scomponendo una funzione difficile da integrare nella somma di diverse funzioni che sono più facili da integrare.
Spesso l'utilizzo di frazioni parziali è l'unico modo fattibile per calcolare un integrale, che altrimenti sarebbe impossibile da risolvere.
Nello specifico, questa tecnica viene applicata quando dobbiamo integrare il quoziente di due polinomi \(P(x)\) e \(Q(x)\). Questo è, dobbiamo calcolare.
\[\large \displaystyle \int \frac{P(x)}{Q(x)} \, dx\]Ad esempio, supponi che \(P(x) = x^2 - 2\) e \(Q(x) = x^3 - 7x + 6\), quindi l'integrale del quoziente di questi due polinomi sarebbe:
\[\large \displaystyle \int \frac{x^2 - 2}{x^3 - 7x + 6} dx\]Come diamine lo risolvi, potresti pensare ..... A prima vista sembra intrattabile, e lo è se non segui il giusto approccio.
Fortunatamente, ogni volta che provi a integrare il quoziente di due polinomi, non importa quanto complicati siano quei polinomi, c'è sempre un modo per ridurre l'integrale a un gruppo di integrali facili da risolvere.
Solo, per fare ciò, dobbiamo prima fare un po 'di lavoro algebrico, ma dividendo due polinomi e risolvendo un sistema lineare.
È un piccolo prezzo da pagare per risolvere e altrimenti impossibile da risolvere integrale, giusto? Per favore, dì di sì.
ESEMPIO 1
Lascia che ti dia un teaser. Potresti andare avanti e integrare questo?
\[\large \displaystyle \int \frac{1}{x^3 - 7x + 6} dx\]Hummm ..... potresti? Bene, non sembra facile, o addirittura possibile. E se te lo dicessi
\[\large \displaystyle \frac{1}{x^3 - 7x + 6} = \frac{1}{5(x-2)} - \frac{1}{4(x-1)}+\frac{1}{20(x+3)}\]Quindi, la frazione che vuoi integrare è stata scomposta in tre frazioni parziali e ciascuna di queste frazioni parziali è effettivamente facile da integrare. In effetti, utilizzando la scomposizione di cui sopra ci porta a
\[\large \displaystyle \int\frac{1}{x^3 - 7x + 6} \, dx = \int \frac{1}{5(x-2)} \, dx - \int\frac{1}{4(x-1)} \, dx + \int\frac{1}{20(x+3)} \, dx\] \[\large \displaystyle = \frac{1}{5} \ln|x-2| - \frac{1}{4}\ln|x-1| + \frac{1}{20}\ln|x+3| + C\]Quindi puoi essere d'accordo con me che la scomposizione ha risolto il problema, perché dopo aver conosciuto la decomposizione, il problema di integrazione è stato ridotto a tre integrali molto semplici.
Ora imparerai come eseguire tale decomposizione.
Come eseguire la decomposizione di frazioni parziali?
Passo 1
Prima di tutto, questa tecnica funziona solo quando si desidera integrare un quoziente di due polinomi. Questo è, vuoi integrare
\[\large \displaystyle \int \frac{P(x)}{Q(x)} \, dx\]dove \(P(x)\) e \(Q(x)\) sono polinomi. Possiamo sempre presumere che l'ordine di \(Q(x)\) sia maggiore dell'ordine di \(P(x)\) .
Se non è così e l'ordine di \(P(x)\) è maggiore dell'ordine di \(Q(x)\), puoi usare il teorema della divisione dei polinomi per ottenere
\[\large P(x) = M(x)Q(x) + R(x)\]dove \(M(x)\) e \(R(x)\) sono polinomi e l'ordine di \(R(x)\) è inferiore all'ordine di \(R(x)\), il che significherebbe che
\[\large \displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)} = M(x) + \frac{R(x)}{Q(x)} \]quindi allora il compito di integrare \(\displaystyle\frac{P(x)}{Q(x)}\) si riduce al compito di integrare un polinomio \(M(x)\) (che è banale) e di integrare un quoziente di polinomi \(\displaystyle\frac{R(x)}{Q(x)}\) dove il polinomio al numeratore ha un ordine inferiore a quello al denominatore.
Passo 2
Devi trovare le radici del polinomio nel denominatore \(Q(x)\) e condurre una decomposizione in termini lineari e quadratici con molteplicità, e descritta dal Teorema fondamentale dell'algebra.
Questo passaggio richiede un po 'di conoscenza dell'algebra. Supponiamo che \(Q(x)\) sia un polinomio di ordine \(n\). Quindi dobbiamo risolvere \(Q(x) = 0\), e secondo il Teorema Fondamentale dell'Algebra, ci saranno esattamente \(n\) radici, forse tutte reali, ma forse alcune complesse. Inoltre, per ogni radice c'è una certa molteplicità (il numero di volte che una radice viene ripetuta)
Con queste radici scomporremo \(Q(x)\). Per ogni radice reale \(\alpha\), il fattore corrispondente nella scomposizione è \((x-\alpha)\). Se è presente una molteplicità \(k\) per questa radice (ovvero, la radice viene ripetuta \(k\) volte), il fattore di decomposizione sarà \((x-\alpha)^k\).
Ora, è un po 'più complicato quando c'è una radice complessa \(c\). In quel caso ci sarà sempre una radice complessa coniugata, \(\bar c\), e raggruppandole insieme finiremo con un'espressione quadratica \((x-c)(x - \bar c) = (x^2 + ax + b)\) con coefficienti reali.
Se quella radice complessa ha una molteplicità \(k\), il fattore sarebbe \((x^2 + ax + b)^k\).
Passaggio 3
Prendi i fattori che hai trovato nel passaggio 2. Per ciascuno dei fattori creerai alcuni termini che contribuiranno alla somma delle frazioni parziali.
Per ogni fattore della forma \(x + a\): aggiungere un termine \(\displaystyle \frac{A}{x+a}\)
Per ogni fattore della forma \((x + a)^k\): aggiungere termini \(\displaystyle \frac{A_1}{x+a}+\frac{A_2}{(x+a)^2} + ... + \frac{A_1}{x+a}+\frac{A_k}{(x+a)^k}\)
Per ogni fattore della forma \(x^2 + ax + b\): aggiungere un termine \(\displaystyle \frac{A + B x}{x^2+ax+b}\)
Per ogni fattore della forma \((x^2 + ax + b)^k\): aggiungere termini \(\displaystyle \frac{A_1 + B_1 x}{x^2+ax+b} + \frac{A_2 + B_2 x}{(x^2+ax+b)^2} + ...+ \frac{A_k + B_k x}{(x^2 + ax + b)^k} \)
Passaggio 4
Somma queste frazioni parziali ed equiparalo al quoziente \(\displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)}\) e usalo per trovare tutte le costanti sconosciute \(A_i\) e \(B_i\) create nel passaggio 3.
Passaggio 5
Dopo aver trovato le costanti nel passaggio 4, hai scomposto il quoziente \(\displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)}\), in diversi termini che possono essere integrati tramite logaritmo, oppure devi fare una semplice modifica delle variabili.
E hai scambiato la risoluzione di un integrale impossibile da risolvere con un numero possibilmente elevato di frazioni parziali più piccole che sono molto più facili da integrare, dopo un lungo esercizio algebrico di resistenza.
ESEMPIO 2
Integrare quanto segue utilizzando le frazioni parziali
\[\large \displaystyle \int \frac{x}{x^2 + 2x - 3} dx\]RISPOSTA:
Pazientemente, dobbiamo eseguire tutti i passaggi.
Passo 1
In questo caso \(P(x) = x\) e \(Q(x) = x^2 + 2x - 3\), quindi l'ordine di \(P(x)\) è 1 e l'ordine di \(Q(x)\) è 2. Pertanto, la condizione è soddisfatta, poiché l'ordine di \(P(x)\) è inferiore all'ordine di \(Q(x)\).
Passo 2
Cerchiamo di trovare le radici di \(Q(x) = x^2 + 2x - 3\), quindi dobbiamo risolvere
\[\large x^2 + 2x - 3 = 0 \] \[\large \displaystyle \Rightarrow x = \frac{-2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-3)}}{2(1)} \] \[\large \displaystyle \Rightarrow x = \frac{-2 \pm \sqrt{(4 +12}}{2} \] \[\large \displaystyle \Rightarrow x = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2} \] \[\large \displaystyle \Rightarrow x = \frac{-2 \pm 4}{2} \]Quindi, le radici sono \(x_1 = 1\) e \(x_2 = -3\). I fattori quindi sono \((x-1)\) e \((x+3)\). Osserva che \(Q(x) = x^2 + 2x - 3 = (x-1)(x+3)\)
Passaggio 3
Per il fattore \((x-1)\) aggiungiamo la frazione parziale \(\displaystyle \frac{A}{x-1}\) e per il fattore \((x+3)\) aggiungiamo la frazione parziale \(\displaystyle \frac{B}{x+3}\).
Passaggio 4
Ora aggiungiamo tutte le frazioni parziali e le identifichiamo con il quoziente originale dei polinomi, in modo da risolvere per le costanti \(A\) e \(B\):
\[\large \displaystyle \frac{x}{x^2 + 2x - 3} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+3}\] \[\large \Rightarrow \displaystyle \frac{x}{x^2 + 2x - 3} = \frac{A(x+3) + B(x-1)}{(x-1)(x+3)} \] \[\large \Rightarrow \displaystyle \frac{x}{x^2 + 2x - 3} = \frac{A(x+3) + B(x-1)}{x^2 + 2x - 3} \] \[\large \Rightarrow x = A(x+3) + B(x-1) \] \[\large \Rightarrow x = Ax + 3A + Bx - B \] \[\large \Rightarrow x = (A+B)x + (3A - B) \]Osserva che l'ultima uguaglianza indica che il polinomio a sinistra è lo stesso del polinomio a destra, per tutti \(x\). Quindi, i loro coefficienti devono essere uguali.
Ciò significa che \(A+B = 1\) e \(3A - B = 0\). Da quest'ultimo, \(B = 3A\), quindi \(A + 3A = 1\), che significa \(4A = 1\) quindi \(A = 1/4\) e \(B = 3/4\).
Quindi siamo arrivati alla nostra espansione delle frazioni parziali:
\[\large \displaystyle \frac{x}{x^2 + 2x - 3} = \frac{1/4}{x-1} + \frac{3/4}{x+3} = \frac{1}{4(x-1)} + \frac{3}{4(x+3)} \]Passaggio 5
Ora puoi divertirti a integrare con facilità:
\[\large \displaystyle \int \frac{x}{x^2 + 2x - 3} \, dx= \int \frac{1}{4(x-1)} \, dx + \int\frac{3}{4(x+3)} \, dx \] =\[\large \displaystyle \frac{1}{4} \ln|x-1| + \frac{3}{4} \ln|x+3| + C\]ESEMPIO 3
Integra il seguente termine usando la scomposizione delle frazioni parziali
\[\large \displaystyle \int \frac{1}{x^3 -x^2 + x - 1} dx\]RISPOSTA:
Di nuovo, dobbiamo eseguire tutti i passaggi.
Passo 1
In questo caso \(P(x) = 1\) e \(Q(x) = x^3 -x^2 + x - 1\), quindi l'ordine di \(P(x)\) è 0 e l'ordine di \(Q(x)\) è 3. Pertanto, la condizione è soddisfatta, poiché l'ordine di \(P(x)\) è inferiore all'ordine di \(Q(x)\).
Passo 2
Cerchiamo di trovare le radici di \(Q(x) = x^3 -x^2 + x - 1\), quindi dobbiamo risolvere
\[\large x^3 -x^2 + x - 1 = 0 \]Questa è più complicata, perché non esiste una formula facile per le radici cubiche generali (esiste una formula, ma non è facile). Dobbiamo fare un trucco:
\[\large x^3 -x^2 + x - 1 = x^2(x - 1) + (x-1) = (x^2+1)(x-1) = 0 \]Quindi abbiamo \(x^2 + 1=0\) o \(x-1 = 0\). Pertanto, le radici sono \(x_1 = 1\), \(x_2 = i\), \(x_3 = -i\). Quindi, \(x_1\) è reale, \(x_2\) e \(x_3\) sono radici coniugate complesse.
La radice \(x_1 = 1\) ha un fattore \((x-1\) e le radici complesse coniugate \(x_2 = i\), \(x_3 = -i\) hanno un fattore \((x-i)(x+i) = (x^2+1)\).
Passaggio 3
Per il fattore \((x-1)\) aggiungiamo la frazione parziale \(\displaystyle \frac{A}{x-1}\) e per il fattore \((x^2+1))\) aggiungiamo la frazione parziale \(\displaystyle \frac{Bx + C}{x^2+1}\).
Passaggio 4
Ora aggiungiamo tutte le frazioni parziali e le identifichiamo con il quoziente originale dei polinomi, in modo da risolvere per le costanti \(A\) e \(B\):
\[\large \displaystyle \frac{1}{x^3 -x^2 + x - 1} = \frac{A}{x-1} + \frac{Bx + C}{x^2 + 1}\] \[\large \Rightarrow \displaystyle\frac{1}{x^3 -x^2 + x - 1} = \frac{A(x^2+1) + (Bx+C)(x-1)}{(x-1)(x^2+1)} \] \[\large \Rightarrow \displaystyle \frac{1}{x^3 -x^2 + x - 1} = \frac{A(x^2+1) + (Bx+C)(x-1)}{x^3 -x^2 + x - 1} \] \[\large \Rightarrow \displaystyle 1 = A(x^2+1) + (Bx+C)(x-1) \] \[\large \Rightarrow \displaystyle 1 = Ax^2 + A + Bx^2 - Bx + Cx - C \] \[\large \Rightarrow \displaystyle 1 = (A+B)x^2 + (C- B)x + (A - C) \]Osserva che l'ultima uguaglianza indica che il polinomio a sinistra è lo stesso del polinomio a destra, per tutti \(x\). Quindi, i loro coefficienti devono essere uguali.
Ciò significa che \(A+B = 0\), \(C - B = 1\) e \(A - C = 0\). Da quest'ultimo, \(A = C\), e anche \(A = -B\), quindi otteniamo \(A = 1/2\), \(B = -1/2\) e \(C = -1/2\).
Quindi siamo arrivati alla nostra espansione delle frazioni parziali:
\[\large \displaystyle \frac{1}{x^3 -x^2 + x - 1} = \frac{1}{2(x-1)} - \frac{(x + 1)}{2(x^2 + 1)}\]Passaggio 5
Ora puoi divertirti a integrare con facilità:
\[\large \displaystyle \int \frac{1}{x^3 -x^2 + x - 1} \, dx = \int \frac{1}{2(x-1)} \, dx - \int \frac{(x + 1)}{2(x^2 + 1)} \, dx\] \[\large \displaystyle = \frac{1}{2} \ln|x-1| - \int \frac{x}{2(x^2 + 1)} \, dx - \int \frac{1}{2(x^2 + 1)} \, dx\] \[\large \displaystyle = \frac{1}{2} \ln|x-1| - \frac{1}{4}\ln(1+x^2) - \frac{1}{2} \arctan x + C\]Ulteriori informazioni sulla decomposizione della frazione parziale
La tecnica di utilizzare le frazioni parziali è una benedizione, perché servono davvero bene un'integrazione che altrimenti non sarebbe possibile.
MA, quando lo vedi in un compito o in un test, sai che hai molto lavoro davanti a te per far funzionare le frazioni parziali per te. Quindi il mio consiglio è di andare piano e non affrettarti quando stai facendo tutto il lavoro sporco.
La meccanica
Condurre una scomposizione di frazioni parziali richiederà diverse abilità algebriche da tirare fuori dal cappello, vale a dire: dividere polinomi, trovare radici di polinomi e risolvere sistemi, oltre a essere in grado di esprimere la corretta struttura di decomposizione, gestendo correttamente i diversi casi ( radici diverse, radici ripetute). Quindi devi essere in perfetta forma con il tuo acume algebrico.
Alla fine, è molto meccanico e quasi noioso da fare. In definitiva, potresti usare un CAS come Maple o Mathematica per ottenere l'espansione della frazione parziale per te, ma se hai un test è probabile che il tuo istruttore vorrà che tu lo faccia con qualsiasi aiuto, quindi è meglio che ti prepari per questo .