La distribuzione normale standard

La distribuzione normale standard è una delle distribuzioni più importanti perché consente di calcolare le probabilità associate a QUALSIASI distribuzione normale.

Esatto: se sai come calcolare le probabilità di distribuzione normale standard, puoi calcolare le probabilità di qualsiasi distribuzione normale. Perché?? A causa della normalizzazione dei punteggi consente di avere eventi equivalenti.

Cos'è una distribuzione normale standard?

Ebbene, questa è l'ovvia prima domanda a cui dobbiamo rispondere: qual è la distribuzione normale standard. La risposta è semplice, la distribuzione normale standard è la distribuzione normale quando la media della popolazione \(\mu\) è 0 e la deviazione standard della popolazione è \(\sigma\) è 1.

Le probabilità di distribuzione normale standard svolgono un ruolo cruciale nel calcolo di tutte le probabilità di distribuzione normale.

Considera infatti una variabile di distribuzione normale \(X\), con popolazione \(\mu\) e deviazione standard \(\sigma\). Se vuoi calcolare la probabilità dell'evento \( a \le X\le b\), facciamo l'osservazione cruciale che gli eventi

\[ a \le X\le b \,\,\, \Leftrightarrow \,\,\, \displaystyle \frac{a- \mu}{\sigma} \le \frac{X- \mu}{\sigma} \le \frac{b - \mu}{\sigma}\] \[ \Leftrightarrow \,\,\, \displaystyle \frac{a- \mu}{\sigma} \le Z \le \frac{b - \mu}{\sigma}\]

sono equivalenti. Quindi, in altre parole, informatica

\[ \Pr( a \le X\le b ) \]

è lo stesso del computer

\[ \displaystyle \Pr\left(\frac{a- \mu}{\sigma} \le Z \le \frac{b - \mu}{\sigma} \right)\]

I valori \(\displaystyle \frac{a - \mu}{\sigma}\) e \(\displaystyle \frac{b - \mu}{\sigma}\) sono i punteggi z corrispondenti dei punteggi grezzi \(a\) e \(b\) e questi sono la chiave per passare da una data distribuzione normale a una distribuzione normale standard.

Come calcoliamo il punteggio Z?

Come si è visto nell'esempio precedente, per una variabile di distribuzione normale \(X\), con popolazione \(\mu\) e deviazione standard \(\sigma\), lo z-score di un dato punteggio grezzo \(x\) viene calcolato come:

\[\displaystyle z = \frac{x - \mu}{\sigma} \]

Esempi

Supponi di voler sapere come ti trovi in ​​termini di peso per l'intera popolazione. Come troveresti il ​​punteggio Z del peso. Bene, devi avere il tuo peso, ad esempio \(x = 170\) libbre e presumere che la media della popolazione per la tua popolazione sia \(\mu = 175\) libbre, con una deviazione standard della popolazione di \(\sigma = 11\) libbre.

Quindi, il punteggio z associato al tuo peso sarebbe

\[\displaystyle z = \frac{x - \mu}{\sigma} = \frac{170 - 175}{11} = 0.455 \]

Altre normali calcolatrici

Usando altri calcolatori puoi calcolare il generale probabilità normali o probabilità normali per le distribuzioni campionarie , il cui valore finale dipende dal calcolo degli z-score e dall'utilizzo della distribuzione normale standard.