La distribuzione normale standard

La distribuzione normale standard è una delle distribuzioni più importanti perché consente di calcolare le probabilità associate a QUALSIASI distribuzione normale.

Esatto: se sai come calcolare le probabilità di distribuzione normale standard, puoi calcolare le probabilità di qualsiasi distribuzione normale. Perché?? A causa della normalizzazione dei punteggi consente di avere eventi equivalenti.

Cos'è una distribuzione normale standard?

Ebbene, questa è l'ovvia prima domanda a cui dobbiamo rispondere: qual è la distribuzione normale standard. La risposta è semplice, la distribuzione normale standard è la distribuzione normale quando la media della popolazione $\mu$ è 0 e la deviazione standard della popolazione è $\sigma$ è 1.

Le probabilità di distribuzione normale standard svolgono un ruolo cruciale nel calcolo di tutte le probabilità di distribuzione normale.

Considera infatti una variabile di distribuzione normale $X$, con popolazione $\mu$ e deviazione standard $\sigma$. Se vuoi calcolare la probabilità dell'evento $a \le X\le b$, facciamo l'osservazione cruciale che gli eventi

$$a \le X\le b \,\,\, \Leftrightarrow \,\,\, \displaystyle \frac{a- \mu}{\sigma} \le \frac{X- \mu}{\sigma} \le \frac{b - \mu}{\sigma}$$ $$\Leftrightarrow \,\,\, \displaystyle \frac{a- \mu}{\sigma} \le Z \le \frac{b - \mu}{\sigma}$$

sono equivalenti. Quindi, in altre parole, informatica

$$\Pr( a \le X\le b )$$

è lo stesso del computer

$$\displaystyle \Pr\left(\frac{a- \mu}{\sigma} \le Z \le \frac{b - \mu}{\sigma} \right)$$

I valori $\displaystyle \frac{a - \mu}{\sigma}$ e $\displaystyle \frac{b - \mu}{\sigma}$ sono i punteggi z corrispondenti dei punteggi grezzi $a$ e $b$ e questi sono la chiave per passare da una data distribuzione normale a una distribuzione normale standard.

Come calcoliamo il punteggio Z?

Come si è visto nell'esempio precedente, per una variabile di distribuzione normale $X$, con popolazione $\mu$ e deviazione standard $\sigma$, lo z-score di un dato punteggio grezzo $x$ viene calcolato come:

$$\displaystyle z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$

Esempi

Supponi di voler sapere come ti trovi in ​​termini di peso per l'intera popolazione. Come troveresti il ​​punteggio Z del peso. Bene, devi avere il tuo peso, ad esempio $x = 170$ libbre e presumere che la media della popolazione per la tua popolazione sia $\mu = 175$ libbre, con una deviazione standard della popolazione di $\sigma = 11$ libbre.

Quindi, il punteggio z associato al tuo peso sarebbe

$$\displaystyle z = \frac{x - \mu}{\sigma} = \frac{170 - 175}{11} = 0.455$$

Altre normali calcolatrici

Usando altri calcolatori puoi calcolare il generale probabilità normali o probabilità normali per le distribuzioni campionarie , il cui valore finale dipende dal calcolo degli z-score e dall'utilizzo della distribuzione normale standard.