द्विघात कार्यों और इस कैलकुलेटर के बारे में

यह कैलकुलेटर आपको किसी भी द्विघात फ़ंक्शन को सरल बनाने और ग्राफ करने की अनुमति देगा।आप सभी को x में एक मान्य द्विघात कार्य प्रदान करने की आवश्यकता है।

यह कुछ ऐसा हो सकता है जो पहले से ही सरल हो जैसे कि f (x) = 2x^2 + 3x +1, या यह कुछ ऐसा हो सकता है जो पूरी तरह से सरल नहीं है, जैसे कि, बशर्ते कि एक वैध हो तमाम

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गणित में द्विघात कार्य बहुत महत्वपूर्ण हैं, और वास्तव में बुनियादी बीजगणित में सबसे अधिक इस्तेमाल किए जाने वाले कार्यों में से हैं।इसके गुण वास्तव में एक ज्यामितीय दृष्टिकोण से सहज हैं।

एक द्विघात कार्य क्या है?

एक अविभाज्य द्विघात फ़ंक्शन एक फ़ंक्शन है जहां चर 2 की शक्ति के साथ दिखाई देता है, संभवतः एक गुणांक द्वारा गुणा किया जाता है, साथ ही संभवतः कम क्रम की शर्तें।द्विघात सूत्र है:

\[f(x) = a x^2 + b x + c \]

जहां \(a\), \(b\) और \(c\) स्थिरांक हैं, और \(x\) फ़ंक्शन का चर है।

ग्राफिक रूप से, सभी द्विघात कार्य parabolas हैं, जो A> 0 के लिए ऊपर की ओर खुलते हैं, और A <0. के लिए नीचे की ओर खुलते हैं। फ़ंक्शन द्वारा वर्णित परबोला \(f(x) = a x^2 + b x + c \) ऊर्ध्वाधर रेखा के चारों ओर सममित होगा \(x_V = \displaystyle -\frac{b}{2a}\), जो हैइसको कॉल किया गया सराफा ।

एक द्विघात फ़ंक्शन को हल करने के लिए कदम

• चरण 1: द्विघात फ़ंक्शन की पहचान करें, जिसके साथ आप काम करना चाहते हैं, और यदि आवश्यक हो तो इसे सरल बनाएं जब तक कि आपके पास यह फॉर्म में न हो
• चरण 2: तमाम दिए गए द्विघात फ़ंक्शन से जुड़ा है \(f(x) = a x^2 + b x + c = 0\)
• चरण 3: इस समीकरण में सामान्य रूप से 2 जड़ें हैं।वे वास्तविक या जटिल जड़ों को संयुग्मित कर सकते हैं।केवल एक वास्तविक जड़ के साथ एक विशेष मामला है, जिस स्थिति में हम कहते हैं कि जड़ें हैं शराबी
• चरण 4: आप अनुमान लगाकर, संभावित तर्कसंगत उम्मीदवारों के लिए परीक्षण करके जड़ों को खोजने का प्रयास कर सकते हैं
• चरण 5: यदि जड़ें आसानी से अनुमान लगाकर नहीं मिल सकती हैं, तो आप हमेशा सामान्य का उपयोग कर सकते हैं तमाम : \(x = \displaystyle \frac{-b \pm\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)

आप जिस प्रकार की जड़ें प्राप्त करेंगे, उस पर बहुत निर्भर रहें तंग , जो \(\Delta = b^2 - 4ac\) है।

वास्तव में, एक सकारात्मक भेदभावपूर्ण \(\Delta = b^2 - 4ac > 0\) के लिए, दो वास्तविक जड़ें होंगी।ग्राफिक रूप से, यह इंगित करता है कि परबोला दो अलग-अलग बिंदुओं पर एक्स-एक्सिस को पार करता है

जब भेदभावपूर्ण शून्य होता है, \(\Delta = b^2 - 4ac = 0\), तो एक वास्तविक जड़ें होंगी।ग्राफिक रूप से, यह इंगित करता है कि परबोला केवल एक बिंदु पर एक्स-अक्ष को छूता है

एक नकारात्मक भेदभावपूर्ण \(\Delta = b^2 - 4ac < 0\) के लिए, दो जटिल जड़ें होंगी।ग्राफिक रूप से, यह इंगित करता है कि परबोला एक्स-एक्सिस को पार नहीं करता है

मानक रूप में द्विघात कार्य

यद्यपि सामान्य द्विघात रूप \(f(x) = a x^2 + b x + c \) है, और यह आमतौर पर पर्याप्त है कि हम सभी को यह जानने के लिए पर्याप्त है कि हम सभी द्विघात फ़ंक्शन गुणों के बारे में आवश्यक हैं, ऐसे अन्य रूप हैं जो आम हैं।

हमारे पास मानक रूप में द्विघात कार्य है, जिसे भी जाना जाता है सराफक , जब यह लिखा जाता है

\[f(x) = a(x-h)^2 + k \]

यह विशेष रूप से उपयोगी है क्योंकि बिंदु (एच, के) शीर्ष से मेल खाता है।

द्विघात फ़ंक्शन के मानक रूप प्राप्त करने के लिए क्या कदम हैं?

• चरण 1: स्पष्ट रूप से उस द्विघात कार्य को पहचानें जो आपके साथ प्रदान की गई है
• चरण 2: यदि यह पहले से ही मानक रूप में प्रदान नहीं किया गया है, तो इसे सरल बनाएं और इसे सामान्य रूप से पहले \(f(x) = a x^2 + b x + c \) डालें
• चरण 3: एक बार जब आपके पास यह सामान्य रूप में होता है, तो आपको बस करना होगा अफ़मत्री द्विघात फ़ंक्शन के मानक रूप तक पहुंचने के लिए

वर्गों को पूरा करने की प्रक्रिया श्रमसाध्य हो सकती है, लेकिन यह व्यवस्थित रूप से आपको द्विघात के मानक रूप तक ले जाएगी।

द्विघात कार्य इतने महत्वपूर्ण क्यों हैं?

द्विघात कार्य वास्तव में महत्वपूर्ण हैं, क्योंकि वे अधिकतमकरण और न्यूनतमकरण सहित आवेदन की समस्याओं के असंख्य में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं।

सभी बीजगणितीय कैलकुलेटर का केंद्र बुनियादी संख्याओं की शक्ति के साथ शुरू होता है।

उदाहरण: द्विघात मानक रूप

निम्नलिखित द्विघात फ़ंक्शन के लिए मानक फॉर्म खोजें: \(f(x) = 2x^2 + 2x - 1\)

समाधान:

जो गणना का समापन करता है।

उदाहरण: समरूपता अक्ष

के लिए समरूपता की धुरी का पता लगाएं: \(f(x) = \frac{1}{3} x^2 + \frac{5}{4}x - \frac{5}{6}\)

समाधान:

जो गणना का समापन करता है।

उदाहरण: द्विघात रूप और शीर्ष

द्विघात फ़ंक्शन के शीर्ष का पता लगाएं \( f(x) = \left(\frac{2}{3}(x - 2)^2 + \frac{2}{5} \)।

समाधान:

जो गणना का समापन करता है।

अधिक द्विघात कैलकुलेटर

वहाँ बहुत कुछ आप द्विघात कार्यों के साथ कर सकते हैं।आप पा सकते हैं अफ़स्या , तुम कर सकते हो सराफक , और समरूपता की धुरी का पता लगाएं।उन चीजों में से एक जो द्विघात कार्यों को इतना आकर्षक बनाती है, उनकी अत्यधिक सहज ज्यामितीय गुण हैं।

द्वारा अफ़रपदुरी आप इसकी जड़ों, वर्टेक्स और समरूपता के अक्ष के बारे में बहुत कुछ बता सकते हैं।