समूहन द्वारा कारक
एक बहुपद समीकरण को हल करने की आवश्यकता के बिना, समूहन द्वारा कारक एक अभिव्यक्ति को फैक्टर करने का एक उत्कृष्ट तरीका है, जिसे हल करना कठिन हो सकता है।
समूहन द्वारा फैक्टरिंग की एकमात्र समस्या यह है कि कोई एक नुस्खा या रणनीति नहीं है जो आपको उचित समूहन प्रदान करेगी जिसकी आवश्यकता है। या इससे भी बदतर, गुणनखंड करने के लिए समूहीकरण का कोई स्पष्ट तरीका नहीं हो सकता है।
इस ट्यूटोरियल में हम उन विशेष मामलों पर ध्यान केंद्रित करेंगे जिनमें समूहीकरण एक बीजीय व्यंजक को कारक बनाने में मदद करेगा, हालांकि सच्चाई यह है कि ऐसा करना हमेशा संभव नहीं होता है। अधिक सामान्य उपचार के लिए, इस ट्यूटोरियल को देखें कारक कैसे करें .
ग्रुपिंग द्वारा फैक्टरिंग के लिए आवश्यक शर्तें
समूहीकरण द्वारा फैक्टरिंग इस प्रकार काम करता है:
इस प्रकार के फ़ैक्टरिंग का उपयोग करने के लिए हमें कुछ संकेतों की तलाश करनी होगी। शुरुआत के लिए, हम 2 से अधिक (इसलिए 4, 6, आदि) शब्दों की एक सम संख्या के साथ एक बीजीय व्यंजक की अपेक्षा करेंगे, और फिर समूह बनाने का प्रयास करेंगे।
जैसा कि हमने कहा, कोई निश्चित नियम नहीं हैं, और आपको इन दो चरणों का पालन करते हुए इसे कान से बजाना होगा।
चरण 1:
पहले और दूसरे पद, तीसरे और चौथे पद आदि को समूहबद्ध करें।
चरण 2:
अब, चरण 1 में आपके द्वारा समूहित सभी युग्मों को गुणनखंड करने का प्रयास करें। ध्यान दें कि गुणनखंड करने के एक से अधिक तरीके हो सकते हैं।
चरण 3:
देखें कि चरण 2 में आपने जो गुणनखंड प्राप्त किए हैं, वे सभी समान हैं, इस स्थिति में, आप इसका गुणनखंड कर सकते हैं।
चरण 4:
यदि पिछले चरण काम नहीं करते हैं, तो "शून्य जोड़ने" की तरकीब आज़माएँ: कभी-कभी, यदि आप कुछ जोड़ते हैं, तो चीजें काम करेंगी, और आप इसे व्यंजक से घटा भी सकते हैं।
एक ही पद को जोड़ने और घटाने पर, शुद्ध प्रभाव जोड़ने के समान होता है (अर्थात, व्यंजक को वैसा ही छोड़ देना जैसा वह था)
उदाहरण 1
निम्नलिखित बहुपदों को समूहित करके गुणनखंड की विधि का उपयोग करने वाले गुणनखंड
\[6x^3 + 3x^2 - 4x -2\]उत्तर:
हमें उन चरणों का उपयोग करने की आवश्यकता है जिन्हें हमने ऊपर परिभाषित किया है। ध्यान दें कि ये चरण पत्थर में सेट नहीं हैं, लेकिन वे आपके लिए अनुसरण करने के लिए एक उपयोगी मार्गदर्शन हैं:
चरण 1: हम पहले और दूसरे पद को समूहबद्ध करते हैं, साथ ही तीसरे और चौथे पद को भी समूहित करते हैं जिससे हमें प्राप्त होता है
\[6x^3 + 3x^2 - 4x -2 = (6x^3 + 3x^2) - (4x + 2)\]
चरण 2: पद \(6x^3 + 3x^2\) को \(6x^3 + 3x^2 = 3x^2(2x+1)\) के रूप में गुणनखंडित किया जाता है, और \(4x + 2\) पद को \(4x + 2 = 2(2x+1)\) के रूप में गुणित किया जाता है, इसलिए हम प्राप्त करते हैं:
\[6x^3 + 3x^2 - 4x -2 = (6x^3 + 3x^2) - (4x + 2) = 3x^2(2x+1) - 2(2x+1) \]
चरण 3: अब हम देख सकते हैं कि जिन दो समूहों का हमने गुणन किया है उनका एक उभयनिष्ठ गुणनखंड है, जो कि \(2x+1\) है, जिसे वितरण गुण से निकाला जा सकता है। इसलिए, निम्नलिखित प्राप्त होता है:
\[6x^3 + 3x^2 - 4x -2 = (3x^2-2)(2x+1)\]
जो फैक्टरिंग प्रक्रिया को समाप्त करता है।
उदाहरण 2
निम्नलिखित समीकरण को हल करें: \(x^3 -6x^2 + 11x - 6 = 0\):
उत्तर:
चूंकि हम वास्तव में नहीं जानते हैं (हालांकि यह संभव है) उस घन समीकरण का हल कैसे खोजा जाए, हमें \(x^3 -6x^2 + 11x - 6 \) यदि संभव हो तो समूह बनाकर फैक्टरिंग खोजने के लिए फिर से चरणों का उपयोग करने की आवश्यकता है:
चरण 1: हम पहले और दूसरे पद को समूहबद्ध करते हैं, साथ ही तीसरे और चौथे पद को भी समूहित करते हैं जिससे हमें प्राप्त होता है
\[x^3 -6x^2 + 11x - 6 = (x^3 -6x^2) + (11x - 6) \]
चरण 2: पद \(x^3 -6x^2\) को \(x^3 -6x^2 = x^2(x-6)\) के रूप में गुणनखंडित किया जाता है, और \(11x - 6\) पद को \(11x - 6= 11(x - 6/11)\) के रूप में गुणित किया जाता है, इसलिए हम प्राप्त करते हैं:
\[x^3 -6x^2 + 11x - 6 = (x^3 -6x^2) + (11x - 6) = x^2(x-6) + 11(x - 6/11) \]
चरण 3: इस मामले में, कोई सामान्य कारक नहीं है, इसलिए विधि ने इस बिंदु तक काम नहीं किया है।
चरण 4: हम \(0 = 2x - 2x\) जोड़ते हैं और \(0 = 3x^2 - 3x^2\) जोड़ते हैं जो अभिव्यक्ति को प्रभावित नहीं करेगा (हम शून्य जोड़ रहे हैं), इसलिए हमें मिलता है:
\[ x^3 -6x^2 + 11x - 6 = x^3 -6x^2 + 11x - 6 + 2x - 2x + 3x^2 - 3x^2\] \[ = x^3 - 3x^2 -3x^2 + 9x +2x- 6 \] \[= (x^3 - 3x^2) -(3x^2 - 9x) +(2x- 6) \] \[= x^2(x - 3) -3x(x-3) +2(x- 3) \]
और अब हमारे पास उभयनिष्ठ गुणनखंड है, \(x-3\) जिसकी हम तलाश कर रहे थे। अंत में, \(x-3\) का गुणनखंड करने पर हमें प्राप्त होता है
\[\Large x^3 -6x^2 + 11x - 6 = (x^2-3x +2)(x- 3)\]तो फिर, मूल समीकरण को हल करने के लिए, हम \((x^2-3x +2)(x- 3) = 0\) को भी हल कर सकते हैं जिसका अर्थ है कि \(x^2-3x +2 = 0\) या \(x - 3\) = 0.
दूसरे समीकरण से हमारे पास एक समाधान है \(x = 3\)। पहले समीकरण से हमें हल करने की आवश्यकता है:
\[ x^2-3x +2 = 0 \Rightarrow x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\] \[ \Rightarrow x = \frac{3 \pm \sqrt{3^2 - 4(1)(2)}}{2(1)}\] \[ \Rightarrow x = \frac{3 \pm \sqrt{9-8}}{2}\] \[ \Rightarrow x = \frac{3 \pm 1}{2}\]जिसका अर्थ है कि अन्य समाधान \(x = (3-1)/2 = 1\) और \(x = (3+1)/2 = 2\) हैं।
ग्रुपिंग द्वारा फैक्टरिंग क्यों?
आइए याद करें कि समीकरण को हल करने के लिए फैक्टरिंग हमेशा एक अच्छी बात है, क्योंकि जब कई कारकों का गुणन शून्य के बराबर होता है, तो प्रत्येक कारक को शून्य के बराबर सेट करके समीकरण के समाधान पाए जाते हैं।
उदाहरण के लिए, मान लें कि आप समीकरण \(x^3 + x^2 + 2x + 2 = 0\) को हल करना चाहते हैं। मैं आपसे शर्त लगा सकता हूं कि यदि आपको बीजगणितीय साधनों का उपयोग करके इसे हल करने की आवश्यकता है तो आप अनजान होंगे।
क्यों? क्योंकि यह एक घन समीकरण है, और एक घन समीकरण को हल करना कठिन है। एक सूत्र है, लेकिन यह आसान नहीं है। हमारे पास क्या विकल्प हैं?
ठीक है, यदि संभव हो तो हम समूहीकरण करके कारक बना सकते हैं। हम देखेंगे कि इस मामले में यह वास्तव में संभव है। हम ऊपर बताए गए चरणों का पालन करेंगे:
चरण 1: पहले और दूसरे पद को समूहबद्ध करने के साथ-साथ तीसरे और चौथे पद की ओर जाता है:
\[(x^3 + x^2) + (2x + 2) = 0\]
चरण 2: पद \(x^3 + x^2\) को \(x^3 + x^2 = x^2(x+1)\) के रूप में गुणनखंडित किया जाता है, और \(2x + 2\) पद को \(2x + 2 = 2(x+1)\) के रूप में गुणित किया जाता है, इसलिए हम प्राप्त करते हैं:
\[x^2(x + 1) + 2(x + 1) = 0\]
चरण 3: अब हम देखते हैं कि जिन दो समूहों का हमने गुणनखंड किया है उनमें एक उभयनिष्ठ गुणनखंड है, जो कि \(x+1\) है, जिसे वितरण गुण से निकाला जा सकता है, इसलिए हमें प्राप्त होता है:
\[(x^2+2)(x + 1)= 0\]
इसलिए, हमने जो पाया है वह यह है कि मूल घन व्यंजक को इस प्रकार विभाजित किया गया है:
\[x^3 + x^2 + 2x + 2 = (x^2+2)(x + 1) = 0\]इस तरह, हम \(x^2 + 2 = 0\) या \(x + 1 = 0\) सेट करके समीकरण को आसानी से हल कर सकते हैं। ध्यान दें कि चूंकि \(x^2\) हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है, इसलिए हमें वह \(x^2 + 2 \ge 2\) मिलता है और यह कभी भी शून्य नहीं हो सकता (कम से कम \(x\) वास्तविक के लिए)।
इसलिए एकमात्र समाधान \(x = -1\) है।
तो यह मुफ़्त में आया, समूह द्वारा फ़ैक्टर का उपयोग करते हुए। अन्यथा, हमें एक बोझिल घनमूल सूत्र का उपयोग करने की आवश्यकता होगी, या आपने "मूलों का अनुमान लगाने" की विधि का उपयोग किया होगा, जो कि ईमानदार हो, यह वास्तव में एक विधि नहीं है।