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द्विघात समीकरणों का फैक्टर

सराय: आपके द्वारा प्रदान किए गए एक द्विघात समीकरण को फैक्टर करने के लिए इस कैलकुलेटर का उपयोग करें, सभी चरणों को दिखाते हुए।कृपया उस द्विघात समीकरण में टाइप करें जिसे आप नीचे दिए गए फॉर्म बॉक्स में कारक चाहते हैं।

फैक्टरिंग द्वारा द्विघात समीकरणों को हल करना

यह कैलकुलेटर आपको एक द्विघात समीकरण को कारक करने की अनुमति देता है जो आप प्रदान करते हैं, प्रक्रिया के सभी चरणों को दिखाते हैं।आपको बस एक वैध द्विघात समीकरण प्रदान करने की आवश्यकता है।

एक मान्य द्विघात समीकरण का एक उदाहरण 2x− + 5x + 1 = 0. है। आप एक द्विघात समीकरण भी प्रदान कर सकते हैं जो पूरी तरह से सरलीकृत नहीं है, उदाहरण के लिए, x² - 3/4 x + 2 = 3x - 2x and, और यह कैलकुलेटर होगाइसे आप के लिए सरल बनाएं।

एक बार जब आप एक वैध द्विघात समीकरण प्रदान करते हैं, तो आपको "गणना" पर क्लिक करने की आवश्यकता होती है, और प्रक्रिया के सभी चरण आपको दिखाए जाएंगे।

फैक्टरिंग द्विघात समीकरण जड़ों को खोजने के तरीकों में से एक है, लेकिन इसे "भोले" विधि माना जाता है, क्योंकि यह एक "कोशिश और परीक्षण" विधि है, जो केवल पूर्णांक और आंशिक जड़ों के लिए अच्छी तरह से काम करती है।

द्विघात समीकरणों के फैक्टरिंग कैसे करें?

प्रक्रिया सरल है, लेकिन इसके संभावित परिणाम सीमित हैं, क्योंकि यह केवल संभावित रूप से ठीक काम करता है जब द्विघात समीकरण में बहुत सरल जड़ें होती हैं:

फैक्टरिंग द्वारा द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए क्या कदम हैं?

चरण 1: उस द्विघात समीकरण को पहचानें जिसे आप हल करना चाहते हैं और इसके रूप में सरल बनाना चाहते हैं AX - + BX + C = 0
चरण 2: गुणांक ए और सी की जांच करें।यदि वे पूर्णांक नहीं हैं, तो "अनुमान लगाने" के आपके परिवर्तन कारक हैं
चरण 3: यदि गुणांक ए और सी पूर्णांक हैं, तो उनके पूर्णांक दिविसरों को खोजें ₁ , एक ₂ , ...., और सी ₁ , सी ₂ , ... आदि आप समीकरण के अंशों के परीक्षण के एक समाधान का अनुमान लगाने की कोशिश करेंगे _मैं /एक _क
चरण 4: इस विधि के साथ R₁ और R₂ की जड़ें ढूंढती हैं, फॉर्म AX - + BX + C = A (x - R₁) (x - r₂) = 0 के कारक को ले जाएगी

इस पद्धति की सीमा यह है कि आप समाधानों का अनुमान लगाने में सक्षम नहीं हो सकते हैं, क्योंकि समाधान तर्कसंगत नहीं हो सकते हैं।दूसरे शब्दों में, कोई सरल नहीं है फैकthurिंग के लिए लिए सूत , आप एक अनुमान लगाने की प्रक्रिया का पालन करते हैं।

अब, इसकी सीमाओं की परवाह किए बिना, फैक्टरिंग के साथ द्विघात समीकरणों को हल करना एक अच्छा और त्वरित विकल्प है जब समीकरण की जड़ें बहुत सरल होती हैं।

द्विघात अंशों को फैक्टरिंग के बारे में परवाह क्यों होगी?

फैक्टरिंग विभिन्न संदर्भों में बहुत महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है, और अंततः, एक सामान्य द्विघात समीकरण को हल करना एक परिष्कृत और सुरुचिपूर्ण फैक्टरिंग प्रक्रिया पर निर्भर करता है।

अक्सर आप एक समीकरण के भीतर फैक्टरिंग का उपयोग करेंगे, जो समीकरण को हल करने के लिए जरूरी नहीं है, बल्कि समूह की शर्तों के लिए है।

उदाहरण: फैक्टरिंग द्विघात समीकरण

फैक्टरिंग द्वारा निम्नलिखित समीकरण को हल करें \(4x^2 + 4x + 1 = 0\)

समाधान:

हमें फैक्टरिंग द्वारा निम्नलिखित दिए गए द्विघात समीकरण \(\displaystyle 4x^2+4x+1=0\) को हल करने का प्रयास करने की आवश्यकता है।

इस मामले में, हमारे पास है कि हमें कारक के लिए प्रयास करने की आवश्यकता है \(\displaystyle 4x^2+4x+1 = 0\), जिसका अर्थ है कि संबंधित गुणांक हैं:

\[a = 4\] \[b = 4\] \[c = 1\]

अब, हमें उन पूर्णांक संख्याओं को खोजने की आवश्यकता है जो \(a\) और \(c\) को विभाजित करते हैं, इसका उपयोग हमारे उम्मीदवारों के कारक बनने के लिए किया जाएगा।

\(a = 4\) के डिवाइडर हैं: \(\pm 1,\pm 2,\pm 4\)।

\(c = 1\) के डिवाइडर हैं: \(\pm 1\)।

इसलिए, \(c = 1\) के प्रत्येक विभक्त को \(a = 4\) के प्रत्येक विभक्त द्वारा विभाजित करते हुए, हम उम्मीदवारों की निम्नलिखित सूची को कारक मानते हैं:

\[\pm \frac{ 1}{ 1},\pm \frac{ 1}{ 2},\pm \frac{ 1}{ 4}\]

अब, सभी उम्मीदवारों को यह देखने के लिए परीक्षण करने की आवश्यकता है कि क्या वे एक समाधान हैं।प्रत्येक उम्मीदवार के परीक्षण से निम्नलिखित प्राप्त किया जाता है:

\[\begin{array}{cccccccc} x & = & \displaystyle -1 &:& & \displaystyle 4 \left(-1\right)^2+4 \left(-1\right)+1 & = & \displaystyle 1 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 1 &:& & \displaystyle 4 \left(1\right)^2+4 \left(1\right)+1 & = & \displaystyle 9 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{1}{2} &:& & \displaystyle 4 \left(-\frac{1}{2}\right)^2+4 \left(-\frac{1}{2}\right)+1 & = & \displaystyle 0 = 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{1}{2} &:& & \displaystyle 4 \left(\frac{1}{2}\right)^2+4 \left(\frac{1}{2}\right)+1 & = & \displaystyle 4 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{1}{4} &:& & \displaystyle 4 \left(-\frac{1}{4}\right)^2+4 \left(-\frac{1}{4}\right)+1 & = & \displaystyle \frac{1}{4} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{1}{4} &:& & \displaystyle 4 \left(\frac{1}{4}\right)^2+4 \left(\frac{1}{4}\right)+1 & = & \displaystyle \frac{9}{4} \ne 0 \\\\ \end{array}\]

तो, केवल एक उम्मीदवार, \(x = \displaystyle -\frac{1}{2}\) एक जड़ के रूप में निकलता है, इसलिए हमारे पास यह है कि दिए गए द्विघात समीकरण को \( 4 \left(x+\frac{1}{2}\right)^2 = 0\) के रूप में माना जा सकता है।

उदाहरण: फैक्टरिंग द्वारा द्विघात समीकरणों को हल करना

फैक्टरिंग द्वारा निम्नलिखित द्विघात समीकरण को हल करें \(x^2 + 5x + 6 = 0\)

तमाम: हमें कारक \(\displaystyle x^2+5x+6 = 0\) का प्रयास करने की आवश्यकता है, इसलिए फिर इसी गुणांक हैं:

\[a = 1\] \[b = 5\] \[c = 6\]

\(a = 1\) के डिवाइडर हैं: \(\pm 1\)।

\(c = 6\) के डिवाइडर हैं: \(\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 6\)।

इसलिए, \(c = 6\) के प्रत्येक विभक्त को \(a = 1\) के प्रत्येक विभक्त द्वारा विभाजित करते हुए, हम उम्मीदवारों की निम्नलिखित सूची को कारक मानते हैं:

\[\pm \frac{ 1}{ 1},\pm \frac{ 2}{ 1},\pm \frac{ 3}{ 1},\pm \frac{ 6}{ 1}\]

\[\begin{array}{cccccccc} x & = & \displaystyle -1 &:& & \displaystyle 1 \left(-1\right)^2+5 \left(-1\right)+6 & = & \displaystyle 2 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 1 &:& & \displaystyle 1 \left(1\right)^2+5 \left(1\right)+6 & = & \displaystyle 12 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -2 &:& & \displaystyle 1 \left(-2\right)^2+5 \left(-2\right)+6 & = & \displaystyle 0 = 0 \\\\ x & = & \displaystyle 2 &:& & \displaystyle 1 \left(2\right)^2+5 \left(2\right)+6 & = & \displaystyle 20 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -3 &:& & \displaystyle 1 \left(-3\right)^2+5 \left(-3\right)+6 & = & \displaystyle 0 = 0 \\\\ x & = & \displaystyle 3 &:& & \displaystyle 1 \left(3\right)^2+5 \left(3\right)+6 & = & \displaystyle 30 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -6 &:& & \displaystyle 1 \left(-6\right)^2+5 \left(-6\right)+6 & = & \displaystyle 12 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 6 &:& & \displaystyle 1 \left(6\right)^2+5 \left(6\right)+6 & = & \displaystyle 72 \ne 0 \\\\ \end{array}\]

तो, दो उम्मीदवार जड़ें बन जाते हैं, \(x_1 = \displaystyle -2\) और \(x = \displaystyle -3\), तो फिर हमें अपने समाधान मिल गए हैं, और हम दिए गए समीकरण को \( \displaystyle \left(x+2\right)\left(x+3\right) = 0\) के रूप में कारक कर सकते हैं।

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