حلول حساب التفاضل والتكامل

سيادة المنتج

عاليما: استخدم هذه الآلة الحاسبة لذا استخدم قاعدة المنتج , لتمييز وظيفة معينة , مع إظهار جميع الخطوات.يرجى كتابة الوظيفة التي تريد العثور عليها المشتق في مربع النموذج أدناه.

صيغة قاعدة المنتج

التعرف على العازاء ربما يكون الأول الذي ستفعله عند التعلم حول كيفية ذلك الهاور على الله من وظيفة.وواحدة القواعد الأولى التي ستتعلمها هي قاعدة المنتج , بلا شك.

قاعدة المنتج , ببساطة , هي قاعدة تساعدك على حساب مشتق منتج الوظائف.صيغة قاعدة المنتج هي:

\[\displaystyle (f(x) g(x))' = f'(x) g(x) + f(x) g'(x) \]

خطوات لاستخدام قاعدة المنتج

الظهر 1: حدد بوضوح الوظائف F (x) و g (x) التي تشكل المنتج الذي تعمل معه
ال alخطoة 2: قم بعمل تبسيط إذا لزم الأمر , مع الحفاظ على بنية المنتج
الله 3: استخدم صيغة قاعدة المنتج: \((f(x) g(x))' = f'(x) g(x) + f(x) g'(x) \) التي تتضمن توصيل قيمة الوظائف F (x) و g (x) , وكذلك مشتقاتها f '(x) و g' (x)

من خلال العمل مع مشتق قاعدة المنتج , فإنك تحصل بشكل أساسي على مشتق المنتج بناءً على معرفة الوظائف الفردية ومشتقاتها.

ما هي القواعد المشتقة الأخرى الموجودة؟

بصرف النظر عن قاعدة المنتج , هناك قواعد مهمة أخرى مثل قاعدة الخطية , قaudة alحaصl الذي ينص على أن \(\frac{d}{dx} \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) = \frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}\) و قaudة السلم , والتي تنص على أن \(\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x))g'(x)\).

ستجد أيضًا قواعد أخرى مذكورة حولها , مثل قاعدة القوة , والتي تشير إلى أن \(\frac{d}{dx} x^n = n x^{n-1}\) , للحصول على ثابت \(n\).

النصائح والحيل

يمكن اعتبار قاعدة المنتج قاعدة مضاعفة مشتقة , وتلعب قاعدة المنتج دورًا حاسمًا في حساب التفاضل والتكامل , لذلك فهي تؤتي ثمارها لتعلمها جيدًا.

لاحظ أنه في حالة الوظائف متعددة المتغيرات , يمكنك استخدام قاعدة مضاعفة المصفوفة , من أجل تشغيل قاعدة المنتج.

Example: using the product rule

احسب مشتق: \(f(x) = (x-1)(2x+1) \)

الملم: نحن نعتبر الوظيفة التالية \(\displaystyle f(x)=\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\) , والتي تحتاج إلى التمييز.

\( \displaystyle \frac{d}{dx}\left(\left(2x+1\right)\left(x-1\right)\right)\)

By using the Product Rule: \(\frac{d}{dx}\left( \left(2x+1\right)\left(x-1\right) \right) = \frac{d}{dx}\left(2x+1\right) \cdot \left(x-1\right)+\left(2x+1 \right) \cdot \frac{d}{dx}\left(x-1\right)\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{d}{dx}\left(2x+1\right) \cdot \left(x-1\right)+\left(2x+1 \right) \cdot \frac{d}{dx}\left(x-1\right)\)

By linearity, we know \(\frac{d}{dx}\left( x-1 \right) = \frac{d}{dx}\left(x\right)-\frac{d}{dx}\left(1\right)\) and \(\frac{d}{dx}\left( 2x+1 \right) = \frac{d}{dx}\left(2x\right)+\frac{d}{dx}\left(1\right)\), so plugging that in:

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \left(\frac{d}{dx}\left(2x\right)+\frac{d}{dx}\left(1\right)\right) \left(x-1\right)+\left(2x+1 \right) \left(\frac{d}{dx}\left(x\right)-\frac{d}{dx}\left(1\right)\right)\)

Since the derivative of a constant is 0, we find that:

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \left(\frac{d}{dx}\left(2x\right)\right) \left(x-1\right)+\left(2x+1 \right) \left(\frac{d}{dx}\left(x\right)\right)\)

It is known that \(\frac{d}{dx}\left(x\right) = 1\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \left(\frac{d}{dx}\left(2x\right)\right) \left(x-1\right)+\left(2x+1 \right)\)

So, we directly get: \(\frac{d}{dx}\left( 2x \right) = 2\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \left(2\right) \left(x-1\right)+\left(2x+1 \right)\)

and then we find

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle 2x+1+2\left(x-1\right)\)

Note that \((2) \cdot (x-1) = 2x-2\cdot 1 = 2x-2\), due to the fact that we can use the distributive property on each term of the expression on the left, with respect to the terms on the right

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle 2x+1+2x-2\)

Grouping the terms with \(x\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \left(2+2\right)x+1-2\)

Grouping together numerical values and operating the terms that were grouped with \(x\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle 4x+1-2\)

Reducing the integers that can be subtracted together: \(\displaystyle 1-2 = -1\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle 4x-1\)

تاسنتا : لذلك , يستنتج أن مشتق الوظيفة هو:

\[f'(x) = 4x-1\]

بيانياً , تصور المؤامرة التالية الموقف:

أمثلة قاعدة المنتج

ابحث عن مشتق: \(f(x) = x \sin(x)\)

الملم: في هذا المثال , الوظيفة المحددة هي \(\displaystyle f(x)=x\sin\left(x\right)\).لنجد مشتقها

\( \displaystyle \frac{d}{dx}\left(x\sin\left(x\right)\right)\)

نستخدم قاعدة المنتج: \(\frac{d}{dx}\left( x\sin\left(x\right) \right) = \frac{d}{dx}\left(x\right) \cdot \sin\left(x\right)+x \cdot \frac{d}{dx}\left(\sin\left(x\right)\right)\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{d}{dx}\left(x\right) \cdot \sin\left(x\right)+x \cdot \frac{d}{dx}\left(\sin\left(x\right)\right)\)

من خلال التمييز المباشر , نجد: \(\frac{d}{dx}\left( \sin\left(x\right) \right) = \cos\left(x\right)\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{d}{dx}\left(x\right) \cdot \sin\left(x\right)+x \cdot \cos\left(x\right)\)

إذن بعد التبسيط , نحصل على ذلك:

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle x\cos\left(x\right)+\sin\left(x\right)\)

تاسنتا : Wabaltaaly , nجd أn almشtق jn خlal altyغة altalyة:

\[f'(x) = x\cos\left(x\right)+\sin\left(x\right)\]

ytm إnشaء alrasm chlebianny altaly llloظiفة whmشtقha

Mثal: حstab قaudة mntج أخrى

تمييز الوظيفة التالية \( f(x) = x (x+1)^2 \).

الملم: أخيرًا , بالنسبة لهذا المثال , فإن الوظيفة المحددة هي \(\displaystyle f(x)=x\left(x+1\right)^2\).نظرًا لوجود منتج للوظيفة , يمكننا استخدام قاعدة المنتج للتمايز.

\( \displaystyle \frac{d}{dx}\left(\left(x+1\right)^2x\right)\)

نستخدم قاعدة المنتج: \(\frac{d}{dx}\left( \left(x+1\right)^2x \right) = \frac{d}{dx}\left(\left(x+1\right)^2\right) \cdot x+\left(x+1\right)^2 \cdot \frac{d}{dx}\left(x\right)\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{d}{dx}\left(\left(x+1\right)^2\right) \cdot x+\left(x+1\right)^2 \cdot \frac{d}{dx}\left(x\right)\)

نحن نعلم أن \(\frac{d}{dx}\left(x\right) = 1\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{d}{dx}\left(\left(x+1\right)^2\right) \cdot x+\left(x+1\right)^2 \)

باستخدام قاعدة الطاقة للأسس الثابت: \(\frac{d}{dx}\left( \left(x+1\right)^2 \right) = 2x+1\cdot \frac{d}{dx}\left(x+1\right)\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \left(2x+1\cdot \frac{d}{dx}\left(x+1\right)\right) x+\left(x+1\right)^2 \)

عن طريق الخطية , نحن نعرف \(\frac{d}{dx}\left( x+1 \right) = \frac{d}{dx}\left(x\right)+\frac{d}{dx}\left(1\right)\) , لذلك توصيل ذلك في:

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \left(2x+1\left(\frac{d}{dx}\left(x\right)+\frac{d}{dx}\left(1\right)\right)\right) x+\left(x+1\right)^2 \)

مشتق الثابت هو 0 , إذن:

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \left(2x+1\left(\frac{d}{dx}\left(x\right)\right)\right) x+\left(x+1\right)^2 \)

نحن نعلم أن \(\frac{d}{dx}\left(x\right) = 1\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \left(2x+1\right) x+\left(x+1\right)^2 \)

الذي يؤدي بعد ذلك إلى

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \left(x+1\right)^2+2\left(x+1\right)x\)

توسيع المصطلحات: \(\left(x+1\right)^2 = \left(x+1\right)\left(x+1\right)\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \left(x+1\right)\left(x+1\right)+2\left(x+1\right)x\)

لاحظ أن \((x+1) \cdot (x+1) = x^2+1x+1x+1^2 = x^2+2x+1\) , حيث يمكننا استخدام الخاصية التوزيعية على كل مصطلح التعبير على اليسار , فيما يتعلق بالمصطلحات الموجودة على اليمين

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle x^2+2x+1+2\left(x+1\right)x\)

لاحظ أنه \((x+1) \cdot (x) = x^2+1x = x^2+x\) , نظرًا لحقيقة أنه يمكننا استخدام خاصية التوزيع في كل مصطلح التعبير على اليسار , فيما يتعلق بالمصطلحات الموجودة على اليمين

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle x^2+2x+1+2\left(x^2+x\right)\)

نحصل على \((2) \cdot (x^2+x) = 2x^2+2x = 2x^2+2x\) , باستخدام خاصية التوزيع في كل مدة التعبير على اليسار , فيما يتعلق بالشروط الموجودة على اليمين

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle x^2+2x+1+2x^2+2x\)

تجميع المصطلحات مع \(x\) , \(x^2\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \left(2+2\right)x+\left(1+2\right)x^2+1\)

تجميع الأعداد الصحيحة وتبسيط المصطلحات التي تم تجميعها مع \(x\) , \(x^2\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle 4x+3x^2+1\)

إذن نحصل

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \left(3x+1\right)\left(x+1\right)\)

تاسنتا : بناءً على ما تم حسابه أعلاه , وجد أن المشتق المقابل هو:

\[f'(x) = \left(3x+1\right)\left(x+1\right)\]

يتم الحصول على المؤامرة التالية للوظيفة المحددة على الفاصل الزمني \([-5, 5]\):

الملم الله

قlة mn hlnaas syiخtlفon فy hذa haltmaiز mu altكaml و almerكزyة alحatab altففhl ح sab ma ش t ق هايرة حaSmة satthatج إlى tabheha كطabhalb حSAB altفahl waltكaml.

ymكnك taberm "nكhaT" ماايهه إlى جانب العداد , Walty ttattخadm فy yaiataat tltطebiق tlmخtlفة.

ووتمو خط آل لتر الإسبح حري , و كل M ش t ق at aldr جة Al ث aani ة وبدند.