حلول حساب التفاضل والتكامل

حاسبة مشتقة جزئية

عاليما: استخدم هذه الآلة الحاسبة المشتقة الجزئية لإيجاد مشتق من دالة لأكثر من متغير واحد توفره فيما يتعلق بمتغير معين , مما يوضح جميع خطوات العملية.يرجى كتابة الوظيفة التي تريد حساب المشتق في المربع أدناه.

حول المشتق الجزئي

ستسمح لك هذه الآلة الحاسبة بحساب المشتق الجزئي لأي وظيفة قابلة للتمييز صالحة , فيما يتعلق بمتغير معين.

تحتاج الوظيفة التي تقدمها إلى تعريف وظيفة , مثل F (x , y) = x^3 + y^2.إذا كتبت شيئًا مثل XY+X^2 , بدون التعريف الكامل , فسيتم افتراض وجود وظيفة من متغيرين x و y.

بمجرد تقديم وظيفة صالحة للتفكيك ومتغير صالح , فإن الخطوة التالية هي النقر فوق الزر "حساب" للحصول على جميع خطوات العملية , مع كل chalقoaud chlmشtقة chlmstخadmة , وذكر صراحة.

المجموع , وتمديدها الطبيعي لمشتقات جزئية متعددة هي من بين أهم مواضيع الدراسة في الرياضيات , الفترة.هذا لأنهم يتعاملون مع معدل التغيير وتدفق العديد من النماذج التي تظهر في التطبيقات بشكل متكرر.

ما هو مشتق جزئي؟

بعبارات بسيطة , يتكون مشتق جزئي من إجراء تمايز منتظم فيما يتعلق بمتغير واحد , على افتراض أن بقية المتغيرات ثابتة.

إذا أردنا تحديد مشتق جزئي رسميًا , فلنجعل الأمر أسهل ونفعل ذلك لوظيفة من متغيرين , \(x\) و \(y\).المشتق الجزئي فيما يتعلق \(x\) عند النقطة \((x_0, y_0)\)

\[\frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0) = \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h, y_0) - f(x_0, y_0)}{h} \]

لذلك , كما نرى , هو في الأساس نفس تعريف المشتق العادي , فقط أن هناك متغيرًا آخر , لكنه يظل ثابتًا في عملية الحساب.

وبالمثل , فإن المشتق الجزئي فيما يتعلق بـ \(y\) عند النقطة \((x_0, y_0)\) هو

\[\frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0) = \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0, y_0 + h) - f(x_0, y_0)}{h} \]

يسمى ناقل جميع المشتقات الجزئية التدرج.إذا كنت بحاجة إلى الحصول على جميع المشتقات الجزئية فعليًا , فيمكنك استخدام هذا حASBة آرتدرج وبعد

خطوات لحساب المشتقات الجزئية

الظهر 1: Identify the function you want to compute the partial derivative of. Make sure to simplify it first
ال alخطoة 2: Observe that not all functions are differentiable, so you need to make sure that the function involved is actually differentiable
الله 3: استخدم جميع القواعد المشتقة المناسبة للوظيفة , وتمييز الوظيفة كما تفعل عادة فيما يتعلق بالمتغير القابل للتمييز , والنظر في أي متغير آخر ثابت

وبهذه الطريقة , عندما نفعل المشتق الجزئي فيما يتعلق بـ X لشيء مثل "x^2+y^2 ', في عملية التمايز الجزئي فيما يتعلق بـ x , يتم التعامل مع المتغير y على أنه ثابت.لذلك سنحصل

\[\frac{\partial (x^2+y^2)}{\partial x} = \frac{\partial (x^2)}{\partial x} + \frac{\partial (y^2)}{\partial x} = 2x \]

وفي هذه الحالة \(\frac{\partial (y^2)}{\partial x} = 0\) لأن y من المفترض أن تكون ثابتة فيما يتعلق بـ x.

لماذا تستخدم آلة حاسبة مشتقة جزئية

يمكن أن تكون حساب المشتقات الجزئية تمرينًا مباشرًا نسبيًا , لكن هذا لا يعني بالضرورة أنه من السهل بالضرورة.من المهم أن تكون منهجية للغاية في وقت تطبيق المقابلة قoaudd amشtقة وبعد

يمكن أن يساعدك استخدام آلة حاسبة مشتقة جزئية مع خطوات على التحقق من النتيجة على الأقل وتكون قادرًا على رؤية الخطوات الصحيحة بالضبط وما هي القواعد المشتقة التي يجب استخدامها.

لا سيما في المشكلات المعقدة , مع التعبير المعقد الجبر يمكن أن يكون الحاسبة في متناول يدي.

ما هي القواعد المشتقة للمشتقات الجزئية؟

هم بالضبط نفس تلك المشتقات العادية.بالنسبة للمشتقات الجزئية , لدينا خطي , سيدا , ال قaudة السلم و ال قaudة alحaصl .عادةً ما ينتهي بك الأمر باستخدام مجموعة من جميع هذه القواعد , للأمثلة المشتقة الأكثر تعقيدًا.

ما هو التمايز الضمني

هناك موقف عندما يكون هناك أكثر من متغير واحد لا نفترض فيه على سبيل المثال أن Y يتغير مع X , كما نفعل في المشتقات الجزئية.في بعض الحالات , عندما تكون هناك معادلة تربط المتغيرات , نفترض أن هناك علاقة ضمنية بين Y و X , ونكتب Y = Y (X).

هذا هو سياق العداد , وهو نوع من الهجين بين التمايز الجزئي والتمايز المنتظم.

وهناك حقًا شيء واحد لا يمكن المبالغة فيه: المشتقات الجزئية هي حقًا واحدة من الأدوات الرئيسية المستخدمة في الهندسة والفيزياء والاقتصاد.

مثال: حساب مشتق جزئي

احسب المشتق الجزئي \(\frac{\partial f}{\partial y}\) لـ: \(f(x,y) = \sin(xy)\)

المحلول:

الذي يختتم الحساب.

مثال: التمايز الجزئي

احسب المشتق الجزئي فيما يتعلق \(x\) من: \(f(x, y) = x^2 + y^2\)

الملم: الوظيفة التي توفرها هي: \(\displaystyle f(x,y)=x^2+y^2\) , والتي نحتاج إلى حساب مشتقها الجزئي فيما يتعلق بالمتغير \(x\).

لا تحتاج الوظيفة إلى مزيد من التبسيط , حتى نتمكن من المتابعة مباشرة لحساب مشتقها الجزئي:

\( \displaystyle \frac{\partial }{\partial x}\left(x^2+y^2\right)\)

By linearity, we know \(\frac{\partial }{\partial x}\left( x^2+y^2 \right) = \frac{\partial }{\partial x}\left(x^2\right)+\frac{\partial }{\partial x}\left(y^2\right)\), so plugging that in:

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{\partial }{\partial x}\left(x^2\right)+\frac{\partial }{\partial x}\left(y^2\right)\)

The derivative of a constant with respect to \(x\) is 0, so then:

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{\partial }{\partial x}\left(x^2\right)\)

Using the Power Rule for polynomial terms: \(\frac{\partial }{\partial x}\left( x^2 \right) = 2x\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle 2x\)

مثال: مثال مشتق جزئي آخر

النظر في الوظيفة \(f(x, y) = \frac{xy}{x^2+y^2}\) , ابحث عن مشتقاتها الجزئية \(\frac{\partial f}{\partial x}\) و \(\frac{\partial f}{\partial y}\).

الملم: في هذه الحالة , فإن الوظيفة هي: \(\displaystyle f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2}\) , والتي نحتاج إلى حساب مشتقاتها الجزئية.

جاءت الوظيفة مبسطة بالفعل , حتى نتمكن من المتابعة مباشرة:

\( \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{xy}{x^2+y^2}\right)\)

Directly applying Quotient Rule: \(\frac{\partial }{\partial x}\left( \frac{xy}{x^2+y^2} \right) = \frac{\left(x^2+y^2\right) \cdot \frac{\partial }{\partial x}\left(xy\right)-xy\cdot \frac{\partial }{\partial x}\left(x^2+y^2\right)}{\left(x^2+y^2\right)^2}\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{\left(x^2+y^2\right) \cdot \frac{\partial }{\partial x}\left(xy\right)-xy\cdot \frac{\partial }{\partial x}\left(x^2+y^2\right)}{\left(x^2+y^2\right)^2}\)

The linearity property indicates that \(\frac{\partial }{\partial x}\left( x^2+y^2 \right) = \frac{\partial }{\partial x}\left(x^2\right)+\frac{\partial }{\partial x}\left(y^2\right)\), so plugging that in:

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{\left(x^2+y^2\right) \cdot \frac{\partial }{\partial x}\left(xy\right)-xy\left(\frac{\partial }{\partial x}\left(x^2\right)+\frac{\partial }{\partial x}\left(y^2\right)\right)}{\left(x^2+y^2\right)^2}\)

But we know that the derivative of a constant with respect to \(x\) is equal to 0, so then we get that:

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{\left(x^2+y^2\right) \cdot \frac{\partial }{\partial x}\left(xy\right)-xy\left(\frac{\partial }{\partial x}\left(x^2\right)\right)}{\left(x^2+y^2\right)^2}\)

Applying the Power Rule for polynomial terms: \(\frac{\partial }{\partial x}\left( x^2 \right) = 2x\) and directly we get: \(\frac{\partial }{\partial x}\left( xy \right) = y\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{\left(x^2+y^2\right) \cdot y-xy\left(2x\right)}{\left(x^2+y^2\right)^2}\)

and consequently

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{y\left(x^2+y^2\right)-xy\cdot 2x}{\left(x^2+y^2\right)^2}\)

We can put the integers together and then we can group the terms with \(x\) in the term \(\left(-1\right)xy\cdot 2x\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{y\left(x^2+y^2\right)+2\cdot \left(-1\right)x^2y}{\left(x^2+y^2\right)^2}\)

Simplifying: \(\displaystyle 2\times(-1) = -2\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{y\left(x^2+y^2\right)-2x^2y}{\left(x^2+y^2\right)^2}\)

Observe the following: \(y \cdot (x^2+y^2) = yx^2+yy^2 = x^2y+y^3\), by using the distributive property on each term of the expression on the left, with respect to the terms on the right

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{x^2y+y^3-2x^2y}{\left(x^2+y^2\right)^2}\)

Hence, we find

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{-\left(x+y\right)\left(x-y\right)y}{\left(x^2+y^2\right)^2}\)

الآن , من ناحية أخرى:

\( \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{xy}{x^2+y^2}\right)\)

Using the Quotient Rule: \(\frac{\partial }{\partial y}\left( \frac{xy}{x^2+y^2} \right) = \frac{\left(x^2+y^2\right) \cdot \frac{\partial }{\partial y}\left(xy\right)-xy\cdot \frac{\partial }{\partial y}\left(x^2+y^2\right)}{\left(x^2+y^2\right)^2}\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{\left(x^2+y^2\right) \cdot \frac{\partial }{\partial y}\left(xy\right)-xy\cdot \frac{\partial }{\partial y}\left(x^2+y^2\right)}{\left(x^2+y^2\right)^2}\)

By linearity, we know \(\frac{\partial }{\partial y}\left( x^2+y^2 \right) = \frac{\partial }{\partial y}\left(x^2\right)+\frac{\partial }{\partial y}\left(y^2\right)\), so plugging that in:

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{\left(x^2+y^2\right) \cdot \frac{\partial }{\partial y}\left(xy\right)-xy\left(\frac{\partial }{\partial y}\left(x^2\right)+\frac{\partial }{\partial y}\left(y^2\right)\right)}{\left(x^2+y^2\right)^2}\)

Since the derivative of a constant with respect to \(y\) is 0, we find that:

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{\left(x^2+y^2\right) \cdot \frac{\partial }{\partial y}\left(xy\right)-xy\left(\frac{\partial }{\partial y}\left(y^2\right)\right)}{\left(x^2+y^2\right)^2}\)

Using the Power Rule for polynomial terms: \(\frac{\partial }{\partial y}\left( y^2 \right) = 2y\) and directly we get: \(\frac{\partial }{\partial y}\left( xy \right) = x\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{\left(x^2+y^2\right) \cdot x-xy\left(2y\right)}{\left(x^2+y^2\right)^2}\)

and then we find

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{x\left(x^2+y^2\right)-xy\cdot 2y}{\left(x^2+y^2\right)^2}\)

Putting together the numerical values and grouping the terms with \(y\) in the term \(\left(-1\right)xy\cdot 2y\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{x\left(x^2+y^2\right)+2\cdot \left(-1\right)y^2x}{\left(x^2+y^2\right)^2}\)

Reducing integers that can be multiplied: \(\displaystyle 2\times(-1) = -2\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{x\left(x^2+y^2\right)-2y^2x}{\left(x^2+y^2\right)^2}\)

We find that \((x) \cdot (x^2+y^2) = xx^2+xy^2 = x^3+xy^2\), due to the fact that we can use the distributive property on each term of the expression on the left, with respect to the terms on the right

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{x^3+xy^2-2y^2x}{\left(x^2+y^2\right)^2}\)

Reorganizing/simplifying/expanding the expression

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{\left(x+y\right)\left(x-y\right)x}{\left(x^2+y^2\right)^2}\)