حلول حساب التفاضل والتكامل

حاسبة مشتقة ثانية

عاليما: استخدم الآلة الحاسبة المشتقة الثانية لحساب المشتق الثاني (هذا , مشتق المشتق) لأي وظيفة قابلة للتمييز تقدمها , مما يوضح جميع الخطوات.يرجى كتابة الوظيفة في مربع النموذج أدناه.

ما هو المشتق الثاني

بعبارات بسيطة للغاية , المشتق الثاني هو مجرد مشتق للمشتق.وبالتالي فإن عملية حساب المشتق الثاني تتضمن حساب مشتق مرة واحدة , ثم مرة أخرى , باستخدام المشترك قoaudd amشtقة .عادةً ما يتم كتابة المشتق الثاني من الدالة \(f(x)\) على أنه \(f''(x)\).

تنطبق فكرة المشتق الثاني أيضًا الملمس , وهو يتوافق مع المشتق مرتين , ولكن في هذه الحالة , يمكن حسابه فيما يتعلق بالمتغيرات المختلفة.

خطوات لحساب المشتق الثاني

الظهر 1: حدد الوظيفة f (x) التي تريد التمييز مرتين , و تيبسي قدر الإمكان أولا
ال alخطoة 2: تمييز مرة واحدة للحصول على مشتق F '(x).تبسيط المشتق الذي تم الحصول عليه إذا لزم الأمر
الله 3: تمييز الآن f '(x) , للحصول على المشتق الثاني f' '(x)

يبدو أن الخطوات سهلة , ولكن اعتمادًا على الوظيفة المحددة , كمية من الإسبابت العنب يمكن أن تكون كبيرة.

تدوين مشتق الثاني

التدوين الأكثر شيوعًا للمشتق الثاني هو \(f''(x)\) , والذي يعكس بشكل جيد حقيقة أن عملية المشتق , التي يدل عليها ', يتم تطبيقها مرتين على الوظيفة.

هناك تدوين آخر للمشتق الثاني , وهو أمر مفيد بشكل خاص عندما يشار إلى الوظيفة \(f(x)\) باسم "y = y (x) '.ثم , نستخدم الترميز التالي للمشتق الثاني.

\[\displaystyle \frac{d^2y}{dx^2} = \displaystyle \frac{d}{dx} \left(\frac{dy}{dx}\right) \]

خطوات لحساب المشتقات الثانية للوظائف الضمنية

الظهر 1: تحديد المعادلة التي تنطوي على x و y
ال alخطoة 2: تمييز بين جانبي المساواة.يمكن أن يعتمد كل جانب على X و Y و Y '.تبسيط المصطلحات الواضحة , لكنه ليس ضروريًا تمامًا
الله 3: تمييز مرة أخرى كلا جانبي المساواة.يمكن أن يعتمد كل جانب على X و Y و Y 'و Y' '.ثم , حل ل y ''

عادة ما يكون من الأسهل بكثير حساب المشتق الثاني عن طريق التمايز الضمني من حل y من حيث x أولاً ثم التمييز , في حالة تعريف x و y ضمنيًا من خلال معادلة , مثل \(x^2 + y^2 = 1\).

المشتق الثاني عند نقطة ما

مثل المشتق , المشتق الثاني هو نقطة محددة من الدالة تلو الأخرى.لاحظ أن الخطأ الشائع الذي يقوم به الطلاب يفكرون , لأنني أريد التمييز في مرحلة ما , وأن الوظيفة التي يتم تقييمها عند نقطة ما ثابتة , يجب أن يكون مشتقها ثابتًا.خطأ.أنت أولاً حSAB الجهادية , ثم تقيم.

مثال: حساب المشتق الثاني

احسب المشتق الثاني من: \(f(x) = \cos(x^2)\)

الملم: في هذا المثال , سنحسب المشتق الثاني من الوظيفة \(\displaystyle f(x)=\cos\left(x^2\right)\).

\( \displaystyle \frac{d}{dx}\left(\cos\left(x^2\right)\right)\)

By using the Chain Rule: \(\frac{d}{dx}\left( \cos\left(x^2\right) \right) = \frac{d}{dx}\left(x^2\right)\cdot \left(-\sin\left(x^2\right)\right)\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{d}{dx}\left(x^2\right)\cdot \left(-\sin\left(x^2\right)\right)\)

We use the Power Rule for polynomial terms: \(\frac{d}{dx}\left( x^2 \right) = 2x\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \left(2x\right) \left(-\sin\left(x^2\right)\right)\)

which then leads to

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle 2x\cdot \left(-\sin\left(x^2\right)\right)\)

Finally, the following is obtained

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle -2x\sin\left(x^2\right)\)

الملمس: الآن , نفرق المشتق الذي تم الحصول عليه حتى للحصول على المشتق الثاني:

\( \displaystyle \frac{d^2f}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left(-2x\sin\left(x^2\right)\right)\)

By using the Product Rule: \(\frac{d}{dx}\left( \left(-1\right)\times 2x\sin\left(x^2\right) \right) = \frac{d}{dx}\left(-2x\right) \cdot \sin\left(x^2\right)+\left(-1\right)\times 2x \cdot \frac{d}{dx}\left(\sin\left(x^2\right)\right)\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{d}{dx}\left(-2x\right) \cdot \sin\left(x^2\right)+\left(-1\right)\times 2x \cdot \frac{d}{dx}\left(\sin\left(x^2\right)\right)\)

By linearity, we know \(\frac{d}{dx}\left( (-1)\times 2x \right) = \left(-1 \right) \cdot \frac{d}{dx}\left(2x\right)\), so plugging that in:

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \left(\left(-1 \right) \cdot \frac{d}{dx}\left(2x\right)\right) \sin\left(x^2\right)+\left(-1\right)\times 2x \cdot \frac{d}{dx}\left(\sin\left(x^2\right)\right)\)

Using the Chain Rule: \(\frac{d}{dx}\left( \sin\left(x^2\right) \right) = \frac{d}{dx}\left(x^2\right)\cdot \cos\left(x^2\right)\) and directly we get: \(\frac{d}{dx}\left( 2x \right) = 2\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \left(\left(-1 \right) \cdot 2\right) \sin\left(x^2\right)+\left(-1\right)\times 2x \cdot \frac{d}{dx}\left(x^2\right)\cdot \cos\left(x^2\right)\)

In this case we use the Power Rule for polynomial terms: \(\frac{d}{dx}\left( x^2 \right) = 2x\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \left(\left(-1 \right) \cdot 2\right) \sin\left(x^2\right)+\left(-1\right)\times 2x \cdot 2x\cdot \cos\left(x^2\right)\)

and then we find

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle -2x\cdot 2x\cos\left(x^2\right)+\left(-2\right)\sin\left(x^2\right)\)

Putting together the numerical values, reducing the ones in \(-2x\cdot 2x\cos\left(x^2\right) = -4x^2\cos\left(x^2\right)\) and grouping the terms with \(x\) in the term \(-2x\cdot 2x\cos\left(x^2\right)\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle -2\cdot 2x^2\cos\left(x^2\right)-2\sin\left(x^2\right)\)

Simplifying the integers that can be multiplied together: \(\displaystyle -2\times2 = -4\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle -4x^2\cos\left(x^2\right)-2\sin\left(x^2\right)\)

الإرهاق : نجد أن المشتق الثاني الذي نبحث عنه هو:

\[f''(x) = -4x^2\cos\left(x^2\right)-2\sin\left(x^2\right)\]

مثال: المزيد من المشتقات الثانية

للوظيفة التالية: \(f(x) = x \cos(x)\) , احسب مشتقها الثاني

الملم: الآن , نفعل الشيء نفسه في Tis \(\displaystyle f(x)=x\cos\left(x\right)\) , والذي نحتاج إليه لحساب مشتقه.

جاءت الوظيفة مبسطة بالفعل , حتى نتمكن من المتابعة مباشرة لحساب مشتقها:

\( \displaystyle \frac{d}{dx}\left(x\cos\left(x\right)\right)\)

Using the Product Rule: \(\frac{d}{dx}\left( x\cos\left(x\right) \right) = \frac{d}{dx}\left(x\right) \cdot \cos\left(x\right)+x \cdot \frac{d}{dx}\left(\cos\left(x\right)\right)\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{d}{dx}\left(x\right) \cdot \cos\left(x\right)+x \cdot \frac{d}{dx}\left(\cos\left(x\right)\right)\)

Directly differentiating: \(\frac{d}{dx}\left( \cos\left(x\right) \right) = -\sin\left(x\right)\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{d}{dx}\left(x\right) \cdot \cos\left(x\right)+x \left(-\sin\left(x\right)\right)\)

which then leads to

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle x\cdot \left(-\sin\left(x\right)\right)+\cos\left(x\right)\)

By reorganizing/simplifying/expanding the terms that are amenable to

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle -x\sin\left(x\right)+\cos\left(x\right)\)

حstab tlmشtق alثany: والخطوة التالية هي التمييز بين المشتق الذي تم الحصول عليه في الخطوات السابقة:

\( \displaystyle \frac{d^2f}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left(-x\sin\left(x\right)+\cos\left(x\right)\right)\)

By linearity, we know \(\frac{d}{dx}\left( (-1)x\sin(x)+\cos(x) \right) = \frac{d}{dx}\left((-1)x\sin(x)\right)+\frac{d}{dx}\left(\cos(x)\right)\), so plugging that in:

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{d}{dx}\left(\left(-1\right)x\sin\left(x\right)\right)+\frac{d}{dx}\left(\cos\left(x\right)\right)\)

Directly differentiating: \(\frac{d}{dx}\left( \cos\left(x\right) \right) = -\sin\left(x\right)\) and we can use the Product Rule: \(\frac{d}{dx}\left( \left(-1\right)x\sin\left(x\right) \right) = \frac{d}{dx}\left(\left(-1\right)x\right) \cdot \sin\left(x\right)+\left(-1\right)x \cdot \frac{d}{dx}\left(\sin\left(x\right)\right)\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{d}{dx}\left(\left(-1\right)x\right) \cdot \sin\left(x\right)+\left(-1\right)x \cdot \frac{d}{dx}\left(\sin\left(x\right)\right)-\sin\left(x\right)\)

Directly differentiating: \(\frac{d}{dx}\left( \sin\left(x\right) \right) = \cos\left(x\right)\) and directly we get: \(\frac{d}{dx}\left( \left(-1\right)x \right) = -1\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \left(-1\right) \sin\left(x\right)+\left(-1\right)x \cdot \cos\left(x\right)-\sin\left(x\right)\)

and then we get

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \left(-1\right)x\cos\left(x\right)+\left(-1\right)\sin\left(x\right)+\left(-\sin\left(x\right)\right)\)

Reducing the multiplication by ones in \(\left(-1\right)x\cos\left(x\right) = \left(-1\right)x\cos\left(x\right)\) and

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \left(-1\right)x\cos\left(x\right)-\sin\left(x\right)+\left(-\sin\left(x\right)\right)\)

Simplifying:

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle -x\cos\left(x\right)-2\sin\left(x\right)\)

الاستنتاج الثاني المشتق : We conclude that the second derivative of the given function isa:

\[f''(x) = -x\cos\left(x\right)-2\sin\left(x\right)\]

مثال: تمايز مشتق ثانٍ وضمني

باستخدام التمايز الضمني , احسب المشتق الثاني من y فيما يتعلق بـ x , لـ \( x^2 + y^2 = 1\).

الملم: نحن نطبق التمايز الضمني , على افتراض أن Y يعتمد على X , ونفرق بين جانبي المساواة:

\[ \frac{d}{dx}\left(x^2 + y^2\right) = \frac{d}{dx} (1) \] \[ \Rightarrow 2x + 2yy' = 0 \]

الآن , تطبيق التمايز الضمني مرة أخرى:

\[ \frac{d}{dx}\left( 2x + 2yy' \right) = \frac{d}{dx} 0 \] \[ \Rightarrow 2 + 2y'^2+2yy'' = 0 \] \[ \Rightarrow 2y'^2 + 2yy'' = -2\] \[ \Rightarrow yy'' = -1 - y'^2 \] \[ \Rightarrow y'' = \frac{-1 - y'^2}{y} \]

الذي يختتم الحساب.