المحللين الجبر

المتباينات التربيعية

عاليمت: استخدم هذه الآلة الحاسبة لحل المتباينات التربيعية, مع توضيح جميع الخطوات. يرجى كتابة المتباينة التي تريد حلها في المربع أدناه.

ما هو تعريف هذا النوع من عدم المساواة

لم نذكر ذلك صراحةً, لكنه يبدو واضحًا نوعًا ما من اسمه: المتباينة التربيعية هي نوع محدد من المتباينة حيث تكون جميع الحدود المتضمنة فيها متعددة الحدود من الدرجة 2 على الأكثر. وفي هذا السياق, أحد الأمثلة هو

\[\displaystyle x^2 < x - 1\]

وهي من الدرجة التربيعية لأن كلا طرفي المتراجحة عبارة عن متعددات حدود من الرتبة 2 على الأكثر. الآن, إذا كان لديك:

\[\displaystyle x^2 < x^3 - 1\]

إذن فإن المتراجحة لم تعد تربيعية بعد الآن, بسبب المصطلح \(x^3\) الموجود على الجانب الأيمن. ولهذه التفاوتات, لدينا خارطة طريق واضحة لإيجاد الحل.

خطوات حل المتباينات التربيعية

الظهر 1: تأكد من أن لديك متباينة تربيعية, فالطريقة المستخدمة في هذه الحالة صالحة فقط لهذا النوع من المتباينة
ال alخطoة 2: كما هو الحال مع معظم المتباينات, مرر كل شيء إلى الجانب الأيسر من المتراجحة وحل المعادلة المرتبطة بها
الله 3: إذا لم يكن للمعادلة التربيعية المرتبطة بها جذور حقيقية, فسنعرف أن الخط الحقيقي بأكمله هو حل, أو لا يوجد حل. لذا, عليك اختبار أي نقطة ومعرفة ما إذا كانت تحل المتراجحة, وإذا كانت كذلك, فإن الحل هو الخط الحقيقي بأكمله (-∞, ∞), وإلا فإن الحل يكون فارغًا.
الظهر 4: إذا كانت المعادلة التربيعية المرتبطة لها حل حقيقي واحد فقط, فهذا يعني أن الرسم البياني التربيعي المرتبط يمس المحور السيني بشكل عرضي. لذا اعتمادًا على علامة المتباينة, قد يكون لديك نقطة اللمس فقط هي الحل, أو كل شيء ما عدا نقطة اللمس هي الحل, أو الخط الحقيقي بأكمله (-∞, ∞), الذي تحتاج إلى اختبار نقطة اللمس فيه, ونقطة خارج ذلك (على يسار النقطة ويمينها)
الظهر 4: إذا كانت المعادلة التربيعية المرتبطة لها حلين حقيقيين مختلفين, فعليك التحقق من الفواصل الزمنية المحددة بواسطة هذه الجذور لتحديد أجزاء الخط الحقيقي التي ستكون جزءًا من الحل

عندما تقوم بتحليل القطع, وإذا لزم الأمر, يمكنك ضمها باستخدام عامل "الاتحاد", والذي يستخدم لتجميع الفواصل الزمنية معًا.

كيف ترسم عدم المساواة التربيعية؟

رسم بياني لعدم المساواة يوفر طريقة رائعة لفهم كيف يبدو الحل بصريًا. فيما يتعلق بالإجراء, فأنت بحاجة إلى معرفة ما إذا كنت تتعامل مع متباينة متغير واحد, أو لديك المزيد من المتغيرات.

إذا كان لديك عدم المساواة مثل

\[\displaystyle x^2 - \frac{1}{2} x < 1 \]

لديك متغير واحد فقط, وسيكون الحل عبارة عن مجموعة فرعية من الخط الحقيقي. ومن ناحية أخرى, إذا كان لديك شيء من هذا القبيل

\[\displaystyle y < x^2 - \frac{1}{2} x \]

ثم لديك متغيرين فقط x و y, ومن ثم سيكون حل المتراجحة مجموعة فرعية من المستوى xy.

أهمية التعبيرات التربيعية

تلعب التعبيرات التربيعية المستخدمة في المعادلات والمتباينات دورًا أساسيًا في الرياضيات. ربما تكون الصيغة التربيعية هي النوع الأكثر استخدامًا من الهياكل بعد الخطية.

عند التعامل مع حساب التفاضل والتكامل والجبر, ستجد تطبيقات لا حصر لها للمعادلات التربيعية في مسائل التعظيم والتصغير والتكامل وغير ذلك الكثير. إذا بحثت قليلاً, ستجد تطبيقات للتعبيرات التربيعية في جميع المجالات العلمية المختلفة

مثال: المتباينات التربيعية

حل هذه المتباينة التربيعية: \(\frac{1}{3}x^2 + \frac{5}{4}x - \frac{5}{6} < 0\)

حل:

علينا أولاً حل المعادلة التربيعية المساعدة التالية \(\displaystyle \frac{1}{3}x^2+\frac{5}{4}x-\frac{5}{6}=0\).

تطبيق الصيغة التربيعية

المعادلة التربيعية هي:

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

في هذه الحالة لدينا:

\[a = \frac{1}{3}\] \[b = \frac{5}{4}\] \[c = -\frac{5}{6}\]

توصيل هذه القيم في صيغة الجذور التي نحصل عليها:

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \displaystyle \frac{-\frac{5}{4} \pm \sqrt{\left(\frac{5}{4}\right)^2-4\left(\frac{1}{3}\right)\left(-\frac{5}{6}\right)}}{2\cdot \frac{1}{3}} = \displaystyle \frac{-\frac{5}{4} \pm \sqrt{\frac{385}{144}}}{\frac{2}{3}}\]

إذن , نجد ذلك:

\[ {x}_1 = -\frac{\frac{5}{4}}{\frac{2}{3}}-\frac{1}{\frac{2}{3}}\sqrt{\frac{385}{144}}=\frac{-5\cdot 3}{4\cdot 2}-\frac{1}{\frac{2}{3}}\sqrt{\frac{385}{144}}=-\frac{15}{8}-\frac{1}{\frac{2}{3}}\sqrt{\frac{385}{144}}=-\frac{1}{8}\sqrt{385}-\frac{15}{8} \] \[{x}_2 = -\frac{\frac{5}{4}}{\frac{2}{3}}+\frac{1}{\frac{2}{3}}\sqrt{\frac{385}{144}}=\frac{-5\cdot 3}{4\cdot 2}+\frac{1}{\frac{2}{3}}\sqrt{\frac{385}{144}}=-\frac{15}{8}+\frac{1}{\frac{2}{3}}\sqrt{\frac{385}{144}}=\frac{1}{8}\sqrt{385}-\frac{15}{8}\]

نقاط حرجة

قائمة النقاط الحرجة التي تم العثور عليها منظمة بترتيب تصاعدي هي: \(-\frac{1}{8}\sqrt{385}-\frac{15}{8}\), \(\frac{1}{8}\sqrt{385}-\frac{15}{8}\).

ثم, نحن بحاجة إلى تحليل الفترات الحرجة التالية:

• بالنسبة للفاصل \(\left(-\infty, -\frac{1}{8}\sqrt{385}-\frac{15}{8}\right)\): الطرف الأيسر موجب, لذا فإن \(\left(-\infty, -\frac{1}{8}\sqrt{385}-\frac{15}{8}\right)\) ليس جزءًا من الحل.

• بالنسبة للفاصل \(\left(-\frac{1}{8}\sqrt{385}-\frac{15}{8}, \frac{1}{8}\sqrt{385}-\frac{15}{8}\right)\): الجانب الأيسر سلبي, مما يعني أن \(\left(-\frac{1}{8}\sqrt{385}-\frac{15}{8}, \frac{1}{8}\sqrt{385}-\frac{15}{8}\right)\) جزء من الحل.

• بالنسبة للفاصل \(\left(\frac{1}{8}\sqrt{385}-\frac{15}{8}, \infty\right)\): الطرف الأيسر موجب, مما يعني أن \(\left(\frac{1}{8}\sqrt{385}-\frac{15}{8}, \infty\right)\) ليس جزءا من الحل.

المحلول

وبناء على المتباينة المقدمة, وتحليل النقاط الحرجة نجد أن حل المتراجحة هو: \(-\frac{1}{8}\sqrt{385}-\frac{15}{8}< x \le \frac{1}{8}\sqrt{385}-\frac{15}{8}\).

باستخدام تدوين الفاصل الزمني, يتم كتابة الحل على النحو التالي:

\[\left[-\frac{1}{8}\sqrt{385}-\frac{15}{8},\frac{1}{8}\sqrt{385}-\frac{15}{8}\right)\]

مثال: المزيد من المتباينات التربيعية

حل: \(x^2 < 4\)

حل:

عدم المساواة المعطاة هي:

\[x^2 < 4\]

والتي تشتق من المعادلة التربيعية \(\displaystyle x^2-4=0\).

الصيغة التربيعية

بالنسبة للمعادلة التربيعية بالصيغة \(a x^2 + bx + c = 0\), يتم حساب الجذور باستخدام ما يلي الإلهاء :

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

في هذه الحالة , لدينا أن المعادلة التي نحتاج إلى حلها هي \(\displaystyle x^2-4 = 0\), مما يعني أن المعاملات المقابلة هي:

\[a = 1\] \[b = 0\] \[c = -4\]

أولاً , سنحسب التمييز لتقييم طبيعة الجذور.يتم حساب التمييز على النحو التالي:

\[\Delta = b^2 - 4ac = \displaystyle \left( 0\right)^2 - 4 \cdot \left(1\right)\cdot \left(-4\right) = 16\]

لأنه في هذه الحالة , نحصل على التمييز هو \(\Delta = \displaystyle 16 > 0\), وهو أمر إيجابي , نعلم أن المعادلة لها جذور حقيقية مختلفة.

الآن , توصيل هذه القيم في صيغة الجذور التي نحصل عليها:

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \displaystyle \frac{0 \pm \sqrt{\left(0\right)^2-4\left(1\right)\left(-4\right)}}{2\cdot 1} = \displaystyle \frac{0 \pm \sqrt{16}}{2}\]

إذن , نجد ذلك:

\[ {x}_1 = \frac{0}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{16}=\frac{0}{2}-2\cdot 1=\frac{0}{2}-2=-2 \] \[{x}_2 = \frac{0}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{16}=\frac{0}{2}+2\cdot 1=\frac{0}{2}+2=2\]

في هذه الحالة , فإن المعادلة التربيعية \( \displaystyle x^2-4 = 0 \), لها جذور حقيقية , إذن:

\[\displaystyle x^2-4 = \left(x+2\right)\left(x-2\right)\]

إذن , يتم أخذ متعدد الحدود الأصلي في الحسبان كـ \(\displaystyle p(x) = x^2-4 = \left(x+2\right)\left(x-2\right) \), والذي يكمل العوامل.

تحليل النقاط الحرجة

قائمة النقاط الحرجة التي تم العثور عليها منظمة بترتيب تصاعدي هي: \(-2\), \(2\).

وبناءً على ذلك, نحتاج إلى تحليل الفترات التالية:

• بالنسبة للفاصل \(\left(-\infty, -2\right)\): الطرف الأيسر موجب, لذا فإن \(\left(-\infty, -2\right)\) ليس جزءًا من الحل.

• بالنسبة للمجال \(\left(-2, 2\right)\): الطرف الأيسر سالب, إذن \(\left(-2, 2\right)\) جزء من الحل.

• بالنسبة للفاصل \(\left(2, \infty\right)\): الطرف الأيسر موجب, مما يعني أن \(\left(2, \infty\right)\) ليس جزءا من الحل.

حل عدم المساواة

وبناء على المتباينة المقدمة, وتحليل النقاط الحرجة نجد أن حل المتراجحة هو: \(-2< x \le 2\).

باستخدام تدوين الفاصل الزمني, يتم كتابة الحل على النحو التالي:

\[\left[-2,2\right)\]

الآلات الحاسبة الأخرى المفيدة لعدم المساواة

أبسط أنواع المتباينات التي ستتمكن من حلها هو المتباينات الخطية . بعد ذلك, لدينا المتباينات التربيعية, من حيث السهولة.

ثم, لديك المتباينات متعددة الحدود بشكل عام, مع درجة أعلى من 2. يجب أن تكون هذه المهام واضحة ومباشرة, لكنها قد تظل مهام هائلة من حيث حجم العمل الشاق المطلوب لحلها.

وجود حاسبة عدم المساواة لأن حالات عدم المساواة بشكل عام يمكن أن تكون مفيدة حقًا, لأنها ستتناول الأنواع المختلفة من حالات عدم المساواة التي يمكن البحث عن حلول دقيقة لها.