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Tutorial ANOVA

Nel tutorial di questa settimana, tratteremo l'argomento di Analisi della varianza . Vedere di seguito un elenco di problemi di esempio rilevanti, con soluzioni passo passo.

Ci auguriamo che li troverai utili. Condividiamo tutorial completi, suggerimenti e suggerimenti con i membri della nostra comunità. Non esitare a farlo Contattaci se hai qualche domanda.

Esempi di problemi ANOVA

Domanda 1: Un'analisi della varianza è stata utilizzata per valutare le differenze medie da misure ripetute studio di ricerca. I risultati sono stati riportati come F (3,24) = 6,40.

un. Quante condizioni di trattamento sono state confrontate nello studio?

b. Quante persone hanno partecipato allo studio?

Soluzione: (a) C'erano 3 + 1 = 4 condizioni di trattamento.

(b) Il numero totale di persone è 3 + 24 + 1 = 28.

Domanda 2: I seguenti dati rappresentano i risultati di uno studio di misure indipendenti che confronta tre trattamenti.

un. Calcola SS per l'insieme di 3 mezzi di trattamento. (Usa le tre medie come un insieme di n = 3 punteggi e calcola SS.)

b. Utilizzando il risultato della parte a, calcolare n (SSmeans). Notare che questo valore è uguale a SS tra (vedere l'equazione 13.6).

c. Ora, calcola SSbetween con la formula computazionale usando i valori T (equazione 13.7). Dovresti ottenere lo stesso risultato della parte b.

Soluzione: (a) Otteniamo che \(\bar{M}=\frac{2+3+7}{3}=4\)

che significa che

\[S{{S}_{Means}}={{\left( 2-4 \right)}^{2}}+{{\left( 3-4 \right)}^{2}}+{{\left( 7-4 \right)}^{2}}=4+1+9=14\]

(b) Ciò implica che \(n*S{{S}_{Means}}=10\times 14=140\).

\[S{{S}_{Between}}=\frac{{{20}^{2}}}{10}+\frac{{{30}^{2}}}{10}+\frac{{{70}^{2}}}{10}-\frac{{{120}^{2}}}{30}=140\]

Domanda 3: I danni alle case causati dalla rottura delle tubazioni possono essere costosi da riparare. Quando viene scoperta la perdita, centinaia di litri d'acqua potrebbe aver già allagato la casa. Le valvole di intercettazione automatiche possono prevenire danni estesi all'acqua da guasti idraulici. Le valvole contengono che interrompono il flusso dell'acqua in caso di perdita, prevenendo così l'allagamento. Una caratteristica importante è il tempo (in millisecondi) Necessario al sensore per rilevare la perdita d'acqua. I dati di esempio ottenuti per quattro diverse valvole di intercettazione sono contenuti nel file Waterflow.

un. Produrre la tabella ANOVA pertinente ed eseguire un test di ipotesi per determinare se il tempo di rilevamento medio differisce tra i quattro modelli di valvola di intercettazione. Usa un livello di significatività di 0,05.
b. Qual è la fonte di variazione tra i campioni?

Valvola 1	Valvola 2	Valvola 3	Valvola 4
17	18	28	17
10	17	25	17
18	11	30	17
18	16	26	19
17	16	25	18
14	18	27	21
18	14	23	21
13	17	23	12
10	20	26	15
11	14	22	18

Soluzione: La tabella seguente è ricavata dai dati forniti

Obs.	Valvola 1	Valvola 2	Valvola 3	Valvola 4
	17	18	28	17
	10	17	25	17
	18	11	30	17
	18	16	26	19
	17	16	25	18
	14	18	27	21
	18	14	23	21
	13	17	23	12
	10	20	26	15
	11	14	22	18

Significare	14.6	16.1	25.5	17.5
St. Dev.	3.406	2.558	2.461	2.677

Vorremmo provare

\[H_0: \,\mu_{1}= \mu_{2}= \mu_{3}= \mu_{4}\]

\[H_A: \operatorname{Not all the means are equal}\]

Con i dati trovati nella tabella sopra, possiamo calcolare i seguenti valori, necessari per costruire la tabella ANOVA. Abbiamo:

\[SS_{Between}=\sum\limits_{i=1}^{k}{n}_{i} {\left( {\bar{x}}_{i}-\bar{\bar{x}} \right)}^{2}\]

and therefore

\[SS_{Between}={10}\left({14.6}-{18.425}\right)^2+ {10}\left({16.1}-{18.425}\right)^2+ {10}\left({25.5}-{18.425}\right)^2+ {10}\left({17.5}-{18.425}\right)^2=709.475\]

Also,

\[SS_{Within} = \sum\limits_{i=1}^{k}{\left( {n}_{i}-1 \right) s_{i}^{2}}\]

da cui otteniamo

\[SS_{Within}=\left({10}-1\right) \times {3.406}^2+ \left({10}-1\right) \times {2.558}^2+ \left({10}-1\right) \times {2.461}^2+ \left({10}-1\right) \times {2.677}^2=282.3\]

Therefore

\[MS_{Between}=\frac{SS_{Between}}{k-1}= \frac{{709.475}}{3}= {236.492}\]

Allo stesso modo, si ottiene quello

\[MS_{Within} = \frac{SS_{Within}}{N-k}= \frac{{282.3}}{36}= {7.842}\]

Quindi, la statistica F viene calcolata come

\[F=\frac{MS_{Between}}{MS_{Within}} = \frac{{236.492}}{{7.842}}= {30.1583}\]

Il valore critico per \(\alpha ={0.05}\), \(df_{1} = 3\) e \(df_{2}= {36}\) è dato da

\[F_C = {2.8663}\]

e il valore p corrispondente è

\[p=\Pr \left( {{F}_{3,36}}> {30.1583} \right) = {0.000}\]

Si osserva che il valore p è inferiore al livello di significatività \[\alpha =0.05\] e di conseguenza rifiutiamo \({{H}_{0}}\). Di conseguenza, abbiamo prove sufficienti per rifiutare l'ipotesi nulla di medie uguali, al livello di significatività 0,05.

Riassumendo, abbiamo la seguente tabella ANOVA: