商数规则

这个计算器可以让你对一个涉及商的函数使用商数法则,显示这个过程的所有步骤。你所需要提供的是一个有效的可微调函数。这个函数需要至少涉及一个商,以使商数规则适用。

一个有效函数的例子是f(x)=(x^2+2x+1)/(x^2-1),或者像f(x)=sin(x)/x,等等。

一旦提供了一个涉及商数的有效函数,你必须点击 "计算 "按钮以获得显示的计算步骤。

随之而来的是 产品规则 和 链条规则 , 这 商数规则 是一个最重要的基本 衍生品规则 .

商数规则公式

简单的说,就是 商数规则 帮助你计算商的导数,使用各个函数及其导数的知识。商数规则的公式是

\[\displaystyle \frac{d}{dx} \left( \frac{f(x)}{g(x)} \right) = \displaystyle \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g^2(x)} \]

使用商数规则的步骤是什么？

• 步骤1： 明确指出进入商的分子和分母的函数f（x）和g（x）。
• 第2步： 简化任何可以简化的明显术语
• 第 3 步： 计算相应的导数f'(x)和g'(x)
• 第4步： 将步骤3中发现的数值插入公式\(\displaystyle \frac{d}{dx} \left( \frac{f(x)}{g(x)} \right) = \displaystyle \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g^2(x)} \)中。

注意,f(x)和g(x)可能仍然是复数函数,所以你可能需要使用其他规则,如连锁规则来计算f'(x)和g'(x)。

商数规则导数

在计算商数规则导数时,你是将商数的导数还原为单个导数的知识,但这些单个导数可能仍然需要许多步骤,并有 基本衍生品规则 要解决的问题。

这就是为什么微分被认为是一个 "直接 "的操作,但仍然需要充分组织和跟踪所有用导数规则分解时出现的碎片,然后继续处理那些可能需要应用更多微分规则的小碎片。

因此,你可能最终会有一个迭代的过程,但它保证会在某一点上结束,即深入到每个小部分,直到你找到一个基本的导数,如 多项式 或一个 三角形导数 .

微分中的商数规则

的作用。 微分中的商数规则 是相当重要的,这也是你为什么要用计算器来计算的一个很好的理由。在代数方面,商法则可以被认为比积法则更复杂,在很多情况下都是如此,但它最终取决于分子和分母中函数的复杂性。

商数规则实例

考虑一下函数。\(f(x) = \frac{x^2+1}{x-2}\),求其导数。

解决方案： 在这个例子中,我们需要分析函数\(\displaystyle f(x)=\frac{x^2+1}{x-2}\),寻找其导数。

结论 :我们发现,给定函数的导数是。

\[f'(x) = \frac{x^2-4x-1}{\left(x-2\right)^2}\]

因此,该函数及其导数的图形描述为\([-5, 5]\)。

例子。商数规则的计算

现在考虑\(f(x) = \frac{x}{\sin(x)}\),用商数规则求其导数。

解决方案： 对于这第二个例子,我们感兴趣的函数是\(\displaystyle f(x)=\frac{x}{\sin\left(x\right)}\)。让我们用商数规则对其进行微分。

结论 :结论是,根据上述计算,导数由。

\[f'(x) = \frac{-\left(x\cos\left(x\right)-\sin\left(x\right)\right)}{\sin\left(x\right)^2}\]

在图形上,我们可以看到函数（蓝色）和它的导数（红色）。

更多商数规则的例子

最后,考虑一下这个函数。\(f(x) = \frac{\sin(x)}{x^2}\),求其导数。

解决方案： 在最后这个商数规则的例子中,我们用函数\(\displaystyle f(x)=\frac{\sin\left(x\right)}{x^2}\)工作。.

结论 :对于给定的函数,其导数是。

\[f'(x) = \frac{x\cos\left(x\right)-2\sin\left(x\right)}{x^3}\]

下图描述了\(f\)和\(f'\)的情况。

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