关于部分派生
这个计算器将允许你计算你提供的任何有效的可微函数的偏导,相对于一个给定的变量。
你提供的函数需要附带一个函数定义,比如f(x, y) = x^3 + y^2。如果你写了像xy+x^2这样的东西,而没有完整的定义,就会被认为是提供了一个两个变量x和y的函数。
一旦你提供了一个有效的可微调函数和一个有效的变量,下一步就是点击 "计算 "按钮,以显示该过程的所有步骤,包括所有的
使用的衍生规则
,明确指出。
衍生品
以及它们对多变量偏导的自然扩展是数学中最重要的研究课题之一,期间。这是因为它们处理的是经常出现在应用中的许多模型的变化率和流量。
什么是部分导数？
简单地说,偏导包括对一个变量进行与常规微分相同的操作,假设其余变量为常数。
如果我们要正式定义一个偏导,让我们更容易一些,对两个变量的函数\(x\)和\(y\)进行定义。在\((x_0, y_0)\)点上,关于\(x\)的偏导是
\[\frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0) = \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h, y_0) - f(x_0, y_0)}{h} \]
因此,我们可以看到,它与常规导数的定义基本相同,只是有另一个变量,但它在计算过程中保持不变。
同样地,在\((x_0, y_0)\)点,关于\(y\)的偏导数为
\[\frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0) = \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0, y_0 + h) - f(x_0, y_0)}{h} \]
所有偏导数的矢量被称为梯度。如果你需要真正得到所有的偏导数,你可以用这个方法
梯度计算器
.
计算偏导数的步骤
-
步骤1：
确定你要计算的函数的偏导。请确保先将其简化
-
第2步：
请注意,并非所有的函数都是可微的,所以你需要确保所涉及的函数实际上是可微的。
-
第 3 步：
对函数使用所有适当的导数规则,并像通常那样对可微调的变量进行微调,并将任何其他变量视为常数。
这样,当我们对 "x^2+y^2 "这样的东西做相对于x的偏导时,在相对于x的偏微分过程中,变量y被当作常数处理。所以我们会得到
\[\frac{\partial (x^2+y^2)}{\partial x} = \frac{\partial (x^2)}{\partial x} + \frac{\partial (y^2)}{\partial x} = 2x \]
在这种情况下,\(\frac{\partial (y^2)}{\partial x} = 0\)因为y被假定为相对于x而言是常数。
为什么使用部分导数计算器
计算偏导数可以是一个相对简单的工作,但这并不意味着一定很容易。重要的是,在应用相应的导数时要非常系统化。
衍生品规则
.
使用带步骤的部分导数计算器可以帮助你至少检查你的结果,并能够准确地看到哪些是正确的步骤,需要使用哪些导数规则。
特别是在复杂的问题中,如果有复杂的代数表达,计算器真的可以派上用场。
什么是部分导数的导数规则？
它们与常规导数的情况完全相同。对于偏导数,我们有线性,即
产品规则
, 这
链条规则
和
商数规则
.通常情况下,你最终会使用所有这些规则的组合,用于更复杂的衍生例子。
什么是隐性差异化
有一种情况是,当涉及到一个以上的变量时,我们不会像在偏导中那样假设y确实随x变化。在某些情况下,当有一个连接变量的方程时,我们假设y和x之间存在隐性关系,我们写成y=y(x)。
这是的背景
隐性分化
这有点像部分微分和常规微分之间的混合。
而真正有一点是怎么强调都不为过的。部分导数确实是工程,物理和经济学中使用的主要工具之一。
例子。局部导数计算
计算部分导数\(\frac{\partial f}{\partial y}\)为:\(f(x,y) = \sin(xy)\)的偏导
解决方案：
计算结束。
例子。局部微分
计算关于\(x\)的部分导数。\(f(x, y) = x^2 + y^2\)的偏导
解决方案：
所提供的函数是。\(\displaystyle f(x,y)=x^2+y^2\),我们需要计算它相对于变量\(x\)的偏导。
该函数不需要进一步简化,所以我们可以直接计算其偏导。
\( \displaystyle \frac{\partial }{\partial x}\left(x^2+y^2\right)\)
By linearity, we know \(\frac{\partial }{\partial x}\left( x^2+y^2 \right) = \frac{\partial }{\partial x}\left(x^2\right)+\frac{\partial }{\partial x}\left(y^2\right)\), so plugging that in:
\( \displaystyle = \,\,\)
\(\displaystyle \frac{\partial }{\partial x}\left(x^2\right)+\frac{\partial }{\partial x}\left(y^2\right)\)
The derivative of a constant with respect to \(x\) is 0, so then:
\( \displaystyle = \,\,\)
\(\displaystyle \frac{\partial }{\partial x}\left(x^2\right)\)
Using the Power Rule for polynomial terms: \(\frac{\partial }{\partial x}\left( x^2 \right) = 2x\)
\( \displaystyle = \,\,\)
\(\displaystyle 2x\)
例子。另一个偏导数的例子
考虑函数\(f(x, y) = \frac{xy}{x^2+y^2}\),求其偏导数\(\frac{\partial f}{\partial x}\)和\(\frac{\partial f}{\partial y}\)。
解决方案：
在这种情况下,该函数是:\(\displaystyle f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2}\),为此我们需要计算它的偏导数。
该函数已经简化,所以我们可以直接进行。
\( \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{xy}{x^2+y^2}\right)\)
Directly applying Quotient Rule: \(\frac{\partial }{\partial x}\left( \frac{xy}{x^2+y^2} \right) = \frac{\left(x^2+y^2\right) \cdot \frac{\partial }{\partial x}\left(xy\right)-xy\cdot \frac{\partial }{\partial x}\left(x^2+y^2\right)}{\left(x^2+y^2\right)^2}\)
\( \displaystyle = \,\,\)
\(\displaystyle \frac{\left(x^2+y^2\right) \cdot \frac{\partial }{\partial x}\left(xy\right)-xy\cdot \frac{\partial }{\partial x}\left(x^2+y^2\right)}{\left(x^2+y^2\right)^2}\)
The linearity property indicates that \(\frac{\partial }{\partial x}\left( x^2+y^2 \right) = \frac{\partial }{\partial x}\left(x^2\right)+\frac{\partial }{\partial x}\left(y^2\right)\), so plugging that in:
\( \displaystyle = \,\,\)
\(\displaystyle \frac{\left(x^2+y^2\right) \cdot \frac{\partial }{\partial x}\left(xy\right)-xy\left(\frac{\partial }{\partial x}\left(x^2\right)+\frac{\partial }{\partial x}\left(y^2\right)\right)}{\left(x^2+y^2\right)^2}\)
But we know that the derivative of a constant with respect to \(x\) is equal to 0, so then we get that:
\( \displaystyle = \,\,\)
\(\displaystyle \frac{\left(x^2+y^2\right) \cdot \frac{\partial }{\partial x}\left(xy\right)-xy\left(\frac{\partial }{\partial x}\left(x^2\right)\right)}{\left(x^2+y^2\right)^2}\)
Applying the Power Rule for polynomial terms: \(\frac{\partial }{\partial x}\left( x^2 \right) = 2x\) and directly we get: \(\frac{\partial }{\partial x}\left( xy \right) = y\)
\( \displaystyle = \,\,\)
\(\displaystyle \frac{\left(x^2+y^2\right) \cdot y-xy\left(2x\right)}{\left(x^2+y^2\right)^2}\)
\( \displaystyle = \,\,\)
\(\displaystyle \frac{y\left(x^2+y^2\right)-xy\cdot 2x}{\left(x^2+y^2\right)^2}\)
We can put the integers together and then we can group the terms with \(x\) in the term \(\left(-1\right)xy\cdot 2x\)
\( \displaystyle = \,\,\)
\(\displaystyle \frac{y\left(x^2+y^2\right)+2\cdot \left(-1\right)x^2y}{\left(x^2+y^2\right)^2}\)
Simplifying: \(\displaystyle 2\times(-1) = -2\)
\( \displaystyle = \,\,\)
\(\displaystyle \frac{y\left(x^2+y^2\right)-2x^2y}{\left(x^2+y^2\right)^2}\)
Observe the following: \(y \cdot (x^2+y^2) = yx^2+yy^2 = x^2y+y^3\), by using the distributive property on each term of the expression on the left, with respect to the terms on the right
\( \displaystyle = \,\,\)
\(\displaystyle \frac{x^2y+y^3-2x^2y}{\left(x^2+y^2\right)^2}\)
\( \displaystyle = \,\,\)
\(\displaystyle \frac{-\left(x+y\right)\left(x-y\right)y}{\left(x^2+y^2\right)^2}\)
现在,在另一方面。
\( \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{xy}{x^2+y^2}\right)\)
Using the Quotient Rule: \(\frac{\partial }{\partial y}\left( \frac{xy}{x^2+y^2} \right) = \frac{\left(x^2+y^2\right) \cdot \frac{\partial }{\partial y}\left(xy\right)-xy\cdot \frac{\partial }{\partial y}\left(x^2+y^2\right)}{\left(x^2+y^2\right)^2}\)
\( \displaystyle = \,\,\)
\(\displaystyle \frac{\left(x^2+y^2\right) \cdot \frac{\partial }{\partial y}\left(xy\right)-xy\cdot \frac{\partial }{\partial y}\left(x^2+y^2\right)}{\left(x^2+y^2\right)^2}\)
By linearity, we know \(\frac{\partial }{\partial y}\left( x^2+y^2 \right) = \frac{\partial }{\partial y}\left(x^2\right)+\frac{\partial }{\partial y}\left(y^2\right)\), so plugging that in:
\( \displaystyle = \,\,\)
\(\displaystyle \frac{\left(x^2+y^2\right) \cdot \frac{\partial }{\partial y}\left(xy\right)-xy\left(\frac{\partial }{\partial y}\left(x^2\right)+\frac{\partial }{\partial y}\left(y^2\right)\right)}{\left(x^2+y^2\right)^2}\)
Since the derivative of a constant with respect to \(y\) is 0, we find that:
\( \displaystyle = \,\,\)
\(\displaystyle \frac{\left(x^2+y^2\right) \cdot \frac{\partial }{\partial y}\left(xy\right)-xy\left(\frac{\partial }{\partial y}\left(y^2\right)\right)}{\left(x^2+y^2\right)^2}\)
Using the Power Rule for polynomial terms: \(\frac{\partial }{\partial y}\left( y^2 \right) = 2y\) and directly we get: \(\frac{\partial }{\partial y}\left( xy \right) = x\)
\( \displaystyle = \,\,\)
\(\displaystyle \frac{\left(x^2+y^2\right) \cdot x-xy\left(2y\right)}{\left(x^2+y^2\right)^2}\)
\( \displaystyle = \,\,\)
\(\displaystyle \frac{x\left(x^2+y^2\right)-xy\cdot 2y}{\left(x^2+y^2\right)^2}\)
Putting together the numerical values and grouping the terms with \(y\) in the term \(\left(-1\right)xy\cdot 2y\)
\( \displaystyle = \,\,\)
\(\displaystyle \frac{x\left(x^2+y^2\right)+2\cdot \left(-1\right)y^2x}{\left(x^2+y^2\right)^2}\)
Reducing integers that can be multiplied: \(\displaystyle 2\times(-1) = -2\)
\( \displaystyle = \,\,\)
\(\displaystyle \frac{x\left(x^2+y^2\right)-2y^2x}{\left(x^2+y^2\right)^2}\)
We find that \((x) \cdot (x^2+y^2) = xx^2+xy^2 = x^3+xy^2\), due to the fact that we can use the distributive property on each term of the expression on the left, with respect to the terms on the right
\( \displaystyle = \,\,\)
\(\displaystyle \frac{x^3+xy^2-2y^2x}{\left(x^2+y^2\right)^2}\)
Reorganizing/simplifying/expanding the expression
\( \displaystyle = \,\,\)
\(\displaystyle \frac{\left(x+y\right)\left(x-y\right)x}{\left(x^2+y^2\right)^2}\)
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