更多关于这个点积计算器

这个计算器将使你能够计算出 点积 两个向量的计算,显示所有的步骤。你所需要做的就是输入向量,然后点击 "计算"。

点积在线性代数中有着大量的应用,用于计算投影和评估向量的垂直度。

事实上,从几何学上讲,点积等于零意味着两个向量是 垂直 .

点积公式

那么,你如何计算点积？点积是对两个向量\(x\)和\(y\)进行的运算,运算的结果是一个标量。点积的计算公式如下所示：

\[ \langle x, y \rangle = \sum_{i=1}^n x_i y_i \]

点积\(\langle x,y \rangle\)有不同的名字,它也被称为, 内积 或 标量产品 .从本质上讲,点积就是矩阵积,如果我们考虑\(x \in \mathbb{R}^n\)和\(y \in \mathbb{R}^n\),那么点积的定义是：：

\[ \langle x, y \rangle = \sum_{i=1}^n x_i y_i = x^t \cdot y \]

这个公式很容易记住,不像 交叉产品 .用手计算点积是很容易的,因为在点积的情况下,你把相应的分量相乘,然后把它们加起来。

点状产品的应用

点积的一些用途是超级整洁和实用的：The 点积计算器 和角度。事实上,点积或内积也有很强的几何学动机。当然,它的另一种表达方式是

\[ \langle x, y \rangle = \|x\| \|y\| \cos \theta \]

其中\(\|x\|\)是\(x\)的规范（长度）,\(\|y\|\)是\(y\)的规范（长度）,\(\theta\)是\(x\)和\(y\)之间的角度。

带角度的点积计算

点积定义的一个直接结果是,你可以用它来计算两个向量之间的角度,使用以下公式：

\[\cos \theta = \displaystyle \frac{ \langle x, y \rangle}{\|x\| \|y\| } \]

而如果我们解决了\(\theta\)：

\[ \theta = \arccos\left( \displaystyle \frac{ \langle x, y \rangle}{\|x\| \|y\| } \right) \]

点积和交叉积

对两个向量的一个相关操作是 交叉产品 虽然它现在不同了,因为它的输出是一个向量而不是一个标量。

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你可以浏览一下,看看更多的代数解决方法,在我们的 代数计算器和解算器 节。

计算器的 点积 和 交叉产品 其中有许多人在线性代数和几何学方面有很强的适用性。

虽然有些计算机系统可以向你显示答案,但我们的计算器会向你显示步骤,以便你了解事情的来龙去脉。