Подробнее об этом калькуляторе линейного неравенства

Этот калькулятор предоставит вам инструменты, необходимые для решения линейных неравенств. В частности, вы сможете решить их и построить график, получив все показанные шаги.

Допускаются линейные неравенства, такие как "2x + 3 <1" или "3x + 2y <=1", и тогда, в зависимости от количества переменных, вы получите подходящий график вместе с шагами, которые приводят к решению.

Как только будет предоставлено действительное линейное неравенство, все, что вам нужно сделать, это нажать "Решить", чтобы начать процесс. Если что-то не так или не хватает, калькулятор вам об этом сообщит.

Подобные неравенства являются самыми простыми из всех, которые вы встретите, и их всегда относительно легко решить. Этот тип наряду с квадратичные неравенства являются одними из единственных неравенств, которые "легко" решить.

Что такое линейное неравенство?

Линейное неравенство — это простейший тип неравенства, в котором все члены являются линейными или постоянными.

\[\displaystyle a x + b y \le 1\]

Например, приведенное выше уравнение представляет собой линейное уравнение с двумя переменными. Технически говоря, мы имеем полиномиальное неравенство степени 1, но это слишком сложный взгляд на это.

Как решить линейное неравенство?

• Шаг 1: Поместите все, что содержит переменную, которую вы хотите решить, в одну сторону, а все остальное - в другую
• Шаг 2: Группа и упростить выражение , поэтому для сокращения подобных членов
• Шаг 3: Если константа, отличная от единицы, умножает переменную, которую вы хотите найти, разделите на нее. Одно предостережение: если вы делите на отрицательное значение, вам нужно изменить направление неравенства

Одним из основных моментов, о которых следует помнить и которые отличают процессы решения уравнений и неравенств, является то, что при решении уравнений мы можем более свободно умножать (или делить) на константы, и ничего не меняется, тогда как с неравенствами нам нужно быть более осторожными, поскольку умножение (или деление) на отрицательные константы меняет направление неравенства.

Что такое самое общее линейное неравенство?

Самое общее, что вы можете получить с помощью линейного:

\[\displaystyle a x + bx \le c\]

но все же у вас может быть "<" вместо "\(\le\)". Или мы могли бы иметь

\[\displaystyle a x + bx \ge c\]

но вы также можете использовать ">" вместо "\(\ge\)".

Подобно тому, как это произошло со сложением и вычитанием, деление дробей просто вытекает из умножения дробей: Чтобы разделить две дроби, нужно просто умножить первую на обратная дробь второй (обратная дробь получается путем замены числителя на знаменатель в дроби).

Приложения

Линейные неравенства находят множество применений в математике. Линейное неравенство — это тип взвешенного среднего, который очень подходит для всех видов задач смешивания и назначения.

При решении текстовых задач обычно встречаются линейные уравнения, но нередко приходится иметь дело и с линейными неравенствами.

Одной из наиболее известных областей является оптимизация и линейное программирование, в которой решающую роль играют линейные неравенства, как с помощью симплекс-метода, так и с условиями Куна-Таккера при работе с нелинейной целевой функцией.

Пример: решение неравенств

Решите следующее линейное неравенство: \(\frac{2}{3} x + \frac{5}{4} < - \frac{1}{6}\)

Решение:

Нам нужно сложить все члены неравенства в одну сторону:

\[\frac{2}{3}x+\frac{5}{4}- \left(-\frac{1}{6}\right)< 0\]

Связанное вспомогательное уравнение

Нам нужно решить:

\[\frac{2}{3}x+\frac{5}{4}-\left(-\frac{1}{6}\right)=0\]

Шаг 0: В этом случае нам сначала необходимо упростить данное линейное уравнение, и для этого мы проводим следующие шаги упрощения:

Решение линейного уравнения

Поместив \(x\) слева и константу справа, мы получим

\[\displaystyle \frac{2}{3}x = -\frac{17}{12}\]

Теперь, решая \(x\), разделив обе части уравнения на \(\frac{2}{3}\), получаем следующее:

\[\displaystyle x = \displaystyle \frac{ -\frac{17}{12}}{ \frac{2}{3}}\]

и упрощая окончательно получаем следующее

\[\displaystyle x=-\frac{17}{8}\]

Следовательно, решение \(x\) для данного линейного уравнения приводит к \(x=-\frac{17}{8}\).

Критические точки

Как и ожидалось для линейного неравенства, существует только одна критическая точка — \(-\frac{17}{8}\), из которой мы анализируем следующие интервалы:

• Для интервала \(\left(-\infty, -\frac{17}{8}\right)\): левая часть отрицательна, что означает, что \(\left(-\infty, -\frac{17}{8}\right)\) является частью решения.

• Для интервала \(\left(-\frac{17}{8}, \infty\right)\): левая часть положительна, что означает, что \(\left(-\frac{17}{8}, \infty\right)\) не является частью решения.

Решение неравенства

Следовательно, обнаружено, что решением неравенства является: \(x < -\frac{17}{8}\).

Выражение решения с интервальными обозначениями, решение записывается как:

\[\left(-\infty,-\frac{17}{8}\right)\]

Пример: дополнительные линейные неравенства

Решите это линейное неравенство с двумя переменными: \(\frac{1}{3} x + \frac{5}{4} y < - \frac{5}{6}\)

Решение:

Нам нужно решить:

\[\frac{1}{3}x+\frac{5}{4}y < -\frac{5}{6}\]

Нам дано линейное неравенство, и нам нужно найти переменную \(y\).

В этом случае мы находим \(y\), поэтому, поместив одну сторону неравенства, а остальную часть — другую, мы получим:

\[\frac{5}{4}y<-\frac{1}{3}x-\frac{5}{6}\]

Чтобы найти \(y\), мы разделим обе части неравенства на \(\frac{5}{4}\) и в итоге получим:

\[y < -\frac{4}{15}x-\frac{2}{3}\]

Решение линейного неравенства

На основе предоставленного неравенства после его решения для \(y\) получим:

\[y < -\frac{4}{15}x-\frac{2}{3}\]

Графическое представление области решения показано на графике ниже:

Больше калькуляторов по алгебре

Работа с выражением имеет решающее значение в алгебре. Упрощение выражения — это начало большинства математических процессов, и вам обычно приходится сводить их к простейшему выражению.

Решение уравнений а также Решение неравенств останется в основе большинства процессов, так же как тот или иной будет в центре практически всего, что вы делаете в математике.