Un test di ipotesi è una procedura in cui viene testata un'affermazione su un determinato parametro della popolazione. Un parametro di popolazione è una costante numerica che rappresenta o caratterizza una distribuzione. Tipicamente, un test di ipotesi riguarda una media della popolazione, tipicamente indicata come \(\mu\), ma in realtà può riguardare qualsiasi parametro della popolazione, una proporzione di popolazione \(p\) o una deviazione standard della popolazione \(\sigma\).

In questo caso, analizzeremo il caso di un test di ipotesi che coinvolge una deviazione standard della popolazione \(\sigma\). Come con qualsiasi tipo di controllo di un'ipotesi , sono necessari dati di esempio per testare una dichiarazione relativa a \(\sigma\). Si noti che a volte l'affermazione coinvolge invece la varianza della popolazione \({{\sigma }^{2}}\), ma è essenzialmente la stessa cosa perché, ad esempio, affermare sulla varianza della popolazione che \({{\sigma }^{2}}=16\) è assolutamente equivalente a fare l'affermazione \(\sigma =4\) sulla deviazione standard della popolazione. Quindi, quindi, tieni sempre presente che fare un'affermazione sulla varianza della popolazione ha sempre associato un'affermazione sulla deviazione standard della popolazione e viceversa.

Le procedure per determinare le ipotesi nulle e alternative e il tipo di coda per il test vengono applicate ugualmente i passaggi utilizzati per testare un'affermazione sulla media della popolazione (Questo è, dichiariamo le affermazioni fornite in forma matematica ed esaminiamo il tipo di segno coinvolto).

ESEMPIO

Supponiamo che un funzionario del tesoro affermi che i penny post-1983 hanno pesi con una deviazione standard maggiore di 0,0230 g. Supponiamo che venga raccolto un semplice campione casuale di n = 25 penny pre-1983 e che il campione abbia una deviazione standard di 0,03910 g. Usa un livello di significatività 0,05 per verificare l'affermazione che i penny precedenti al 1983 hanno pesi con una deviazione standard maggiore di 0,0230 g. Sulla base di questi risultati campione, sembra che i pesi dei penny pre-1983 variano più di quelli dei penny post-1983?

COME RISOLVEREMO QUESTO?

Dobbiamo testare

\[\begin{align}{H}_{0}: \sigma \le {0.0230} \\ {{H}_{A}}: \sigma > {0.0230} \\ \end{align}\]

Il valore delle statistiche del Chi quadrato viene calcolato come

\[{{\chi }^{2}}=\frac{\left( n-1 \right){{s}^{2}}}{{{\sigma }^{2}}}=\frac{\left( 25-1 \right)\times {0.03910^2}}{0.0230^2}= {69.36}\]

Il valore critico superiore per \(\alpha = 0.05\) e df = 24 è

\[\chi _{upper}^{2}= {36.415}\]

il che significa che rifiutiamo l'ipotesi nulla.

Ciò significa che abbiamo prove sufficienti per sostenere l'affermazione che i pesi dei penny pre-1983 variano più di quelli dei penny post-1983, al livello di significatività 0,05.