Esperimenti multinomiali
Esempi di problemi di esperimenti multinomiali
Domanda 1: Il gestore di un Farmer Jack Super Market vorrebbe sapere se esiste una preferenza per il giorno della settimana in cui i clienti fanno la spesa. Un campione di 420 famiglie ha rivelato quanto segue. Al livello di significatività 0,05, c'è una differenza nella proporzione di clienti che preferiscono ogni giorno della settimana? Test del chi quadrato. Bontà di adattamento Uguali frequenze attese.
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Giorno della settimana |
Numero di persone |
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Monday
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20
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Tuesday
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30
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Wednesday
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20
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Thursday
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60
|
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Friday
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80
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Saturday
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130
|
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Sunday
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80
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Soluzione: È necessario verificare la seguente ipotesi nulla:
\[H_0:\,p_{1} = {1/7},\,\,\, p_{2} = {1/7},\,\,\, p_{3} = {1/7},\,\,\, p_{4} = {1/7},\,\,\, p_{5} = {1/7},\,\,\, p_{6} = {1/7},\,\,\, p_{7} = {1/7}\]
La prima attività è costruire la tabella con i valori previsti. Sulla base dei dati forniti troviamo:
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Categoria |
Osservato |
Previsto |
(fo - fe) ² / fe |
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Lunedi |
20 |
420 * 1/7 = 60 |
26.6667 |
|
martedì |
30 |
420 * 1/7 = 60 |
15 |
|
mercoledì |
20 |
420 * 1/7 = 60 |
26.6667 |
|
giovedi |
60 |
420 * 1/7 = 60 |
0 |
|
Venerdì |
80 |
420 * 1/7 = 60 |
6.6667 |
|
Sabato |
130 |
420 * 1/7 = 60 |
81.6667 |
|
Domenica |
80 |
420 * 1/7 = 60 |
6.6667 |
|
Somma = |
163.3333 |
Ciò significa che la statistica del chi quadrato viene calcolata come
\[{{\chi }^{2}}=\sum\limits_{i=1}^{n}{\frac{{{\left( {{O}_{i}}-{{E}_{i}} \right)}^{2}}}{{{E}_{i}}}}={26.6667} + {15} + {26.6667} + {0} + {6.6667} + {81.6667} + {6.6667}=163.3333\]
Il valore critico per \(\alpha =0.05\) e \(df = 6\) è dato da
\[\chi _{C}^{2}= {12.5916}\]
e il valore p corrispondente è
\[p=\Pr \left( {{\chi }^{2}}> {163.3333} \right) = {0.000}\]
Poiché il valore p è inferiore al livello di significatività \(\alpha = {0.05}\), rifiutiamo \({{H}_{0}}\). Ciò significa che abbiamo prove sufficienti per rifiutare l'ipotesi nulla di uguali proporzioni, al livello di significatività 0,05.
Domanda 2: La ricerca ha dimostrato che le persone tendono ad essere attratte da altri simili a loro stessi. Uno studio ha dimostrato che le persone sono sproporzionatamente più propense a sposare persone con cognomi che iniziano con la stessa ultima lettera del proprio (Jones, Pelham, Carvallo e Mirenberg, 2004). I ricercatori hanno iniziato esaminando i documenti di matrimonio e registrando il cognome di ogni sposo e il nome da nubile di ogni sposa. Da queste registrazioni è possibile calcolare la probabilità di abbinare casualmente una sposa e uno sposo i cui cognomi iniziano con la stessa lettera. Supponiamo che questa probabilità sia solo del 6,5%. Successivamente, viene selezionato un campione di n 200 coppie sposate e viene conteggiato il numero che condivideva la stessa ultima iniziale al momento del matrimonio. Le frequenze osservate risultanti sono le seguenti:
Queste date indicano che il numero di coppie con la stessa ultima iniziale è significativamente diverso da quello che ci si aspetterebbe se le coppie fossero abbinate casualmente? Prova con a = .05.
Soluzione: È necessario verificare la seguente ipotesi nulla:
\[H_0:\,p_{1} = {0.065},\,\,\, p_{2} = {0.935}\]
La prima attività è costruire la tabella con i valori previsti. Sulla base dei dati forniti troviamo:
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Categoria |
Osservato |
Previsto |
(fo - fe) ² / fe |
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Stessa iniziale |
19 |
200 * 0,065 = 13 |
2.7692 |
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Iniziali diverse |
181 |
200 * 0,935 = 187 |
0.1925 |
|
Somma = |
2.9617 |
Usando queste informazioni, otteniamo
\[{{\chi }^{2}}=\sum\limits_{i=1}^{n}{\frac{{{\left( {{O}_{i}}-{{E}_{i}} \right)}^{2}}}{{{E}_{i}}}}={2.7692} + {0.1925}=2.9617\]
Il valore critico per \(\alpha =0.05\) e \(df = 1\) è dato da
\[\chi _{C}^{2}= {3.8415}\]
e il valore p corrispondente è
\[p=\Pr \left( {{\chi }^{2}}> {2.9617} \right) = {0.0853}\]
Poiché il valore p è maggiore del livello di significatività \(\alpha = {0.05}\), non riusciamo a rifiutare \({{H}_{0}}\). Ciò significa che non abbiamo prove sufficienti per rifiutare l'ipotesi nulla delle proporzioni date, al livello di significatività 0,05.