Calcolo delle probabilità condizionali
Siano \(A\) e \(B\) eventi. La probabilità condizionale è definita come
\[ \Pr(A | B) = \frac{ \Pr(A \cap B) }{ \Pr(B) } \]fintanto che \(Pr(B) \ne 0 \).
Questa probabilità condizionata può essere interpretata come la probabilità che A accada supponendo di sapere che B è vero . In altre parole, questa probabilità condizionale è semplicemente la probabilità che A fornisca alcune informazioni extra su B.
Normalmente ci riferiamo a \(\Pr(A | B)\) come la probabilità di A dato B . Ciò significa che, supponendo che B sia vero, dobbiamo calcolare la probabilità di A.
Esempio: Uno studio mostra che se scegliamo una persona a caso, la probabilità che la persona esca in un centro commerciale durante il fine settimana è 0,74, la probabilità che la persona vada a prendere un gelato è 0,45 e la probabilità che la persona lo farà fare entrambe le cose è 0,34. Trova la probabilità che la persona riceva del gelato dato che andrà al centro commerciale.
Risposta : Definiamo i seguenti eventi
\[A = \{\text{The person gets ice cream}\}\] \[B = \{\text{The person gets goes out to a mall}\}\]Ciò significa che
\[\Pr(A | B) = \frac{\Pr(A \cap B)}{\Pr(B)} = \frac{\Pr(\text{The person goes to a mall and goes to eat ice cream})}{\Pr(\text{The person goes to a mall})}\] \[ = \frac{0.34}{0.74} = 0.459\]& gg; Un altro modo per utilizzare le probabilità condizionali
La formula della probabilità condizionale può essere scritta nel modo molto utile seguente:
\[ \Pr(A \cap B)= \Pr(A | B) Pr(B)\]Questa formula rende alcuni calcoli davvero semplici, come mostrato nell'esempio seguente:
Esempio di applicazione: Un'urna contiene 8 palline nere e 4 palline bianche. Due palline vengono prese dall'urna senza essere rimpiazzate. Calcola la probabilità che entrambe le palline siano bianche.
Risposta : Questo problema può essere complicato senza i preliminari adeguati. Per prima cosa definiamo i seguenti eventi:
\[A = \{\text{The second ball is white}\}\] \[B = \{\text{The first ball is white}\}\]Dobbiamo calcolare la probabilità che entrambe le palline siano bianche, il che significa che è necessario calcolare \(\Pr (A \cap B) \). Usando l'ultima formula per la probabilità condizionale:
\[\Pr(A \cap B)= \Pr(A | B) Pr(B) = \frac{3}{11}\times \frac{4}{12} = \frac{1}{11} = 0.0909\](Nota che se la prima pallina è bianca, rimangono solo 11 palline: 3 palline bianche e 8 palline nere)
Se sei interessato a ottenere soluzioni passo passo per la probabilità condizionale di eventi, puoi utilizzare il nostro Calcolatore di probabilità condizionale .