In questo tutorial presenteremo gli elementi chiave che definiscono una distribuzione di probabilità. Prima di tutto, dobbiamo iniziare con una definizione ampia e generale: una distribuzione di probabilità è una funzione che descrive il comportamento probabilistico di una variabile casuale X, in un modo che ci permette di calcolare le probabilità del verificarsi di tutte le possibili ( ben formati) eventi. In altre parole, una funzione di probabilità ci fornisce un meccanismo chiaro e inequivocabile per calcolare le probabilità associate a una certa variabile casuale X. Questo è ciò che voglio che tu tenga a mente per ora.

Notazione

Parliamo ora un po 'della notazione. Quindi, supponiamo che X sia una variabile casuale e stiamo lavorando con la sua distribuzione. Supponi che $f$ sia la distribuzione di X. Quindi, di solito, vedrai un riferimento a ${{f}_{X}}$, dove X appare indicando specificamente che $f$ è la distribuzione di X. Non sempre accade così, ma quando la funzione di distribuzione ha un pedice, significa riferirsi alla variabile casuale effettiva a cui corrisponde.

Distinzione tra variabili casuali discrete e continue

D'ora in poi dobbiamo essere precisi per quanto riguarda la notazione che usiamo. Il termine "distribuzione di probabilità" è una sorta di termine generico che viene usato con noncuranza in molti contesti, ma cercheremo di non essere troppo sciolti al riguardo, in modo da non confonderci. Quindi, registriamo questo nella nostra mente: quando una variabile casuale X è a variabile casuale continua , quindi useremo un file funzione di densità ${{f}_{X}}$ per calcolare le probabilità ad esso associate. D'altra parte, quando una variabile casuale Y è a variabile casuale discreta , quindi useremo un file funzione di probabilità ${{g}_{Y}}$ per calcolare le probabilità ad esso associate. Le funzioni di densità e le funzioni di probabilità funzionano in modo diverso, sebbene funzionino in modo COMPLETAMENTE analogo. Lo prometto.

Ricorda, le variabili casuali discrete usano funzioni di probabilità e l'uso di variabili casuali continue funzioni di densità . Quindi, ad esempio, una variabile casuale di Poisson utilizza una funzione di probabilità e una variabile casuale binomiale utilizza una funzione di probabilità. Oppure una variabile casuale distribuita normalmente utilizza una funzione di densità.

Proprietà che devono essere soddisfatte da TUTTE le funzioni di probabilità e densità

Abbiamo promesso che le funzioni di probabilità e le densità funzionano in modo diverso, ma completamente analogo. Adesso vedremo perché.

· Per densità

Guarda questo: una funzione di densità $f$ per una variabile casuale continua X soddisferà le due seguenti condizioni:

(1) $f\left( x \right)\ge 0$ per tutte le x in $\mathbb{R}$.

(2) $\int\limits_{-\infty }^{\infty }{f\left( x \right)dx} = 1$

Non rimaniamo troppo attaccati a quanto sopra. La condizione (1) sta dicendo che una funzione di densità non può essere negativa in nessun punto. Prende valori positivi o zero. La condizione (2) sta dicendo che l'integrale di una funzione di densità $f$ sull'intera linea reale deve essere 1. In parole povere, l'area totale sotto la curva è 1.

· Ora per le funzioni di probabilità

Una funzione di probabilità $g$ per una variabile casuale discreta X soddisferà le due condizioni seguenti:

(1) $g\left( x \right)\ge 0$ per tutti $x\in \left\{ {{a}_{1}},{{a}_{2}},....,{{a}_{n}},.... \right\}$.

(2) $\sum\limits_{i=1}^{\infty }{g\left( {{a}_{i}} \right)} = 1$

Si noti che $\left\{ {{a}_{1}},{{a}_{2}},....,{{a}_{n}},.... \right\}$ corrisponde a tutti i possibili valori che possono essere presi dalla variabile casuale $X$ (ricorda, stiamo assumendo che $X$ sia una variabile discreta). Per quanto posso vedere, (1) e (2) per le funzioni di probabilità hanno lo stesso aspetto (1) e (2) per le funzioni di densità. In effetti, in argomenti di matematica più avanzati, potresti vedere che (1) e (2) possono essere visti esattamente uguali per entrambi i casi, in un contesto più generale (Teoria della misura), ma non lo toccheremo qui. Quello che voglio che tu tenga a mente è che TUTTE le funzioni di probabilità e la funzione di densità soddisferanno queste 2 condizioni.

ESEMPIO 1

Sia X una variabile casuale che può assumere i valori 1, 2, 3 e 4. È

una funzione di probabilità per la variabile casuale X?

RISPOSTA:

Ora, vediamo se la condizione (2) è soddisfatta: ce l'abbiamo

$$\sum\limits_{i=1}^{4}{f\left( {{x}_{i}} \right)}=f\left( 1 \right)+f\left( 2 \right)+f\left( 3 \right)+f\left( 4 \right)=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=1$$

e quindi anche la condizione (2) è soddisfatta. Quindi la risposta finale è sì, $f\left( x \right)$ è una funzione di probabilità per la variabile casuale $X$.

ESEMPIO 2

Considera la funzione $f\left( x \right)={{x}^{2}}$ su [0,2], su 0 altrove. $f\left( x \right)$ è una funzione di densità?

RISPOSTA:

Vediamo, dobbiamo vedere se le condizioni (1) e (2) sono soddisfatte. Prima di tutto, nota che abbiamo $f\left( x \right)\ge 0$ per tutti $x$ da $f\left( x \right)={{x}^{2}}\ge 0$ su [0, 2] e $f=0$ altrove. Quindi la funzione non assume valori negativi e d'ora in poi la condizione (1) è soddisfatta.

Per la condizione (2), calcoliamo:

Quindi, la condizione (2) non è soddisfatta, e quindi $ f \ left (x \ right) $ NON è una funzione di densità.

Infine, come calcolare le probabilità con densità e funzioni di probabilità?

Questo è l'ultimo passaggio che stavamo cercando. Perché ci occupiamo di funzioni di probabilità e densità, comunque? Ebbene, c'è una buona ragione, è perché ci permettono di avere una procedura chiara e inequivocabile per calcolare le probabilità. In altre parole, una volta che conosci la densità corrispondente (funzione di probabilità) di una variabile casuale, allora sai TUTTO su una variabile casuale. Ti dà il POTERE.

Bello, ma come fai ??? Semplice. Come al solito, vediamo i due casi, per variabili casuali continue (usando le densità) e per variabili casuali discrete (usando funzioni di probabilità).

Probabilità di calcolo per variabili casuali continue

Sia X una variabile casuale continua. Una probabilità tipica è anche scritta come $X\in D$, dove $D\subseteq \mathbb{R}$. Ad esempio, un evento di interesse potrebbe essere che "X è minore o uguale a 5 ma maggiore o uguale a 1". È come dire che $X\in \left[ 1,5 \right]$, quindi in quel caso avremmo $D=\left[ 1,5 \right]$. Quindi, in altre parole, gli eventi di probabilità sono rappresentati da insiemi (tipicamente intervalli, ma non necessariamente sempre).

La probabilità che si verifichi l'evento $X\in D$ è

Ad esempio, se $D=\left[ 1,5 \right]$, abbiamo

Quindi è SUPER SEMPLICE. Integriamo la funzione di densità su un intervallo determinato dall'evento per il quale vogliamo calcolare la probabilità.

Probabilità di calcolo per variabili casuali discrete

Sia X una variabile casuale discreta. In questo caso, un evento di probabilità viene espresso anche come un insieme di valori, solo che in questo caso un evento è un sottoinsieme di $\left\{ {{a}_{1}},{{a}_{2}},....,{{a}_{n}},.... \right\}$, l'insieme di tutti i possibili valori che possono essere presi da $X$. Quindi lasciate $D\subseteq \left\{ {{a}_{1}},{{a}_{2}},....,{{a}_{n}},.... \right\}$, la probabilità che si verifichi l'evento $X\in D$ è

Ad esempio, supponiamo che X sia binomiale con i parametri $N = 10$ e $p = 0.5$. Quindi, se volessi calcolare la probabilità che X sia 1 o 2, ho bisogno di calcolare

$$\Pr \left( X\in \left\{ 1,2 \right\} \right)=f\left( 1 \right)+f\left( 2 \right)$$

dove $f$ è la funzione di probabilità corrispondente per una distribuzione binomiale con parametri $N = 10$ e $p = 0.5$. Quindi, è SUPER SEMPLICE TROPPO. Sommiamo i valori della funzione di probabilità valutati nei punti dell'evento per cui stiamo calcolando la probabilità.