Domanda 1: Un tipo di batteria al litio è in fase di valutazione per la sua durata. Il responsabile della produzione ha selezionato un campione casuale di 10 batterie e ha registrato le seguenti durate negli anni: {3.25, 4.0, 3.1, 3.7, 3.5, 4.2, 4.75, 2.3, 5.5, 3.7}. Rispondi alla seguente supponendo che la popolazione sia normale.

un. Qual è la media del campione?

b. Qual è la deviazione standard del campione?

c. Spiegare come la media del campione è correlata alla media della popolazione.

d. Supponendo che tu non conosca la deviazione standard della popolazione, costruisci a

Intervallo di confidenza del 90% per $mu$.

e. Supponi di sapere che la deviazione standard della popolazione è $\sigma$ = 0,7; costruire un intervallo di confidenza del 90% per $\sigma$. (Mostra formula o comando della calcolatrice)

f. Interpretare l'intervallo di confidenza nella parte e.

Soluzione: (a) Viene fornita la seguente tabella

La media campionaria è 3,8

(b) La deviazione standard campionaria è 0,891.

(c) La media campionaria è la stima puntuale per la media della popolazione.

(d) La deviazione standard della popolazione è sconosciuta, quindi utilizzeremo le statistiche t. L'intervallo di confidenza del 90% è dato da

$$CI=\left( \bar{X}-{{t}_{\alpha /2}}\times \frac{s}{\sqrt{n}},\,\,\bar{X}+{{t}_{\alpha /2}}\times \frac{s}{\sqrt{n}} \right)$$

In questo caso abbiamo ${{t}_{\alpha /2}}$ è il valore t critico a due code, per i gradi di libertà $\alpha =0.10$ e $n-1 = 9$. Pertanto, lo otteniamo

$$CI=\left( {3.8}-1.833\times \frac{0.891}{\sqrt{10}},\,\,{3.8}+1.833\times \frac{0.891}{\sqrt{10}} \right)=\left( {3.2835},\,\,{4.3165} \right)$$

L'interpretazione è che siamo sicuri al 90% che la media della popolazione effettiva $\mu$ sia contenuta nell'intervallo $\left( {3.2835},\,\text{ }{4.3165} \right)$.

(d) È disponibile la deviazione standard della popolazione, quindi è possibile utilizzare la distribuzione normale. Pertanto, otteniamo che viene fornito l'intervallo di confidenza del 90%

$$CI=\left( \bar{X}-{{z}_{\alpha /2}}\times \frac{\sigma}{\sqrt{n}},\,\,\bar{X}+{{z}_{\alpha /2}}\times \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$$

dove ${{z}_{\alpha /2}}$ corrisponde al valore z critico a due code per $\alpha =0.10$. Pertanto, lo troviamo

$$CI=\left( {3.8}-{1.6449}\times \frac{0.7}{\sqrt{10}},\,\,{3.8}+{1.6449}\times \frac{0.7}{\sqrt{10}} \right)=\left( {3.4359},\,\,{4.1641} \right)$$

(e) L'interpretazione è che siamo sicuri al 90% che la media effettiva della popolazione $\mu$ sia contenuta nell'intervallo (3.4359, 4.1641).

Domanda 2: Un campione casuale di 56 lampadine fluorescenti ha una durata media di 645 ore con una deviazione standard di 31 ore. Costruisci un intervallo di confidenza al 95% per la media della popolazione.

Soluzione: L'intervallo di confidenza al 95% per la media della popolazione è dato da

$$CI=\left( \bar{X}-{{z}_{\alpha /2}}\times \frac{s}{\sqrt{n}},\text{ }\bar{X}+{{z}_{\alpha /2}}\times \frac{s}{\sqrt{n}} \right)=\left( 645-1.96\times \frac{31}{\sqrt{56}},\text{ }645+1.96\times \frac{31}{\sqrt{56}} \right)$$

$$=\left( 636.8806,\text{ }653.1194 \right)$$

Domanda 3: Si deve prelevare un semplice campione casuale da una popolazione di 1200 persone. Per avere una certezza del 90% che l'errore di campionamento nella stima di $p$ non sia superiore a 0,03, quale dimensione del campione sarà necessaria?

Soluzione: L'intervallo di confidenza del 90% è dato da

$$CI=\left( \hat{p}-{{z}_{\alpha /2}}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}},\text{ }\hat{p}+{{z}_{\alpha /2}}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \right)$$

dove ${{z}_{\alpha /2}}=1.645$. Pertanto, il margine di errore è

$$MOE=1.645\times \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$$

Vogliamo che il margine di errore non sia superiore a 0,03. Ciò significa che

$$1.645\times \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\le 0.03\Leftrightarrow \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\le 0.018237$$

$$\Leftrightarrow \frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}\le 0.000332591\Leftrightarrow n\ge \frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{0.000332591}$$

Ma $\hat{p}$ assume valori compresi tra 0 e 1, quindi il valore massimo di $\hat{p}(1-\hat{p})$ viene raggiunto quando $\hat{p}=\frac{1}{2}$. Pertanto, la condizione che dobbiamo soddisfare è

$$n\ge \frac{1}{4}\times \frac{1}{0.000332591}=751.674$$

Ciò significa che la dimensione del campione dovrebbe essere almeno $n=752$.