समाधानकर्ताओं बीजगणित

त्रिकोणमितीय समीकरण कैलकुलेटर

सराय: आपके द्वारा प्रदान किए गए त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के लिए कैलकुलेटर का उपयोग करें, जिसमें सभी चरण दिखाए गए हैं। कृपया नीचे दिए गए बॉक्स में वह त्रिकोणमितीय समीकरण टाइप करें जिसे आप पूरा करना चाहते हैं।

इस त्रिकोणमितीय समीकरण कैलकुलेटर के बारे में

यह कैलकुलेटर आपको त्रिकोणमिति समीकरणों को हल करने की अनुमति देगा, जो सभी चरणों को दिखाएगा। आपको बस एक अज्ञात (x) के साथ एक वैध त्रिकोणमितीय समीकरण प्रदान करना है। यह कुछ सरल हो सकता है जैसे 'sin(x) = 1/2', या कुछ अधिक जटिल जैसे 'sin^2(x) = cos(x) + tan(x)'।

एक बार जब आप अपना समीकरण टाइप करना समाप्त कर लें, तो बस आगे बढ़ें और समाधान खोजने की प्रक्रियाओं के सभी विवरण प्राप्त करने के लिए "हल करें" पर क्लिक करें, यदि समाधान पाया जा सकता है।

त्रिकोणमितीय गुण और नियम लगभग हमेशा अधिकांश त्रिकोणमितीय समीकरणों को सरल समीकरणों में बदलने की अनुमति देते हैं, इसलिए इस प्रकार का समीकरण एक ऐसा प्रकार है जो अक्सर समाधान की ओर ले जाता है, लेकिन कभी-कभी यह बेहद बोझिल हो सकता है।

त्रिकोणमितीय समीकरण क्या है?

एक त्रिकोणमितीय समीकरण, सरलतम संभव शब्दों में, एक है गणित समीकरण जहां अज्ञात x एक त्रिकोणमितीय अभिव्यक्ति के अंदर है।

उदाहरण के लिए, निम्नलिखित अभिव्यक्ति एक त्रिकोणमितीय समीकरण है:

\[\displaystyle \sin(x) = 1\]

क्यों? सिर्फ इसलिए कि x ट्रिग एक्सप्रेशन साइन के अंदर दिखाई देता है। या उदाहरण के लिए:

\[\displaystyle \tan(x) = x\]

अब, ये दोनों त्रिकोणमिति समीकरण हैं, लेकिन दोनों के बीच अंतर यह है कि पहले वाले के लिए, x केवल साइन के अंदर दिखाई देता है, जबकि दूसरे में x त्रिकोणमिति फलन (स्पर्शरेखा) के अंदर दिखाई देता है, लेकिन यह बाहर भी दिखाई देता है। इससे आमतौर पर समीकरण को हल करना कठिन (या असंभव) हो जाएगा।

त्रिकोणमितीय समीकरण कैसे हल करें

Letsunt 1: सुनिश्चित करें कि आप त्रिकोणमितीय समीकरण से निपट रहे हैं। गैर-त्रिकोणमितीय समीकरणों के लिए संभवतः एक अलग दृष्टिकोण की आवश्यकता होगी
Their दो दो: सुनिश्चित करें कि अज्ञात x इसके अंदर है त्रिकोणमितीय अभिव्यक्तियाँ , लेकिन x ट्रिग एक्सप्रेशन के बाहर प्रकट नहीं होता है। यदि ऐसा है, तो संभव है कि आप प्राथमिक तरीकों से समीकरण को हल नहीं कर पाएंगे
Theirण 3: पहले समीकरण में मौजूद सभी त्रिकोणमितीय कार्यों को एक प्रकार (आमतौर पर साइन) में व्यक्त करके एक उचित प्रतिस्थापन का संचालन करें, और फिर साइन से जुड़े प्रतिस्थापन का उपयोग करें
च ४: ४: थोड़े से भाग्य के साथ और यदि आपने सही प्रतिस्थापन किया, तो आपने मूल त्रिकोणमितीय समीकरण को घटाकर a कर दिया है हल करने के लिए बहुपद समीकरण ।

प्रमुख ट्रिगर नियमों में से एक आपको किसी भी निश्चित त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन के संदर्भ में सभी त्रिकोणमितीय कार्यों को व्यक्त करने की क्षमता का उपयोग करने की आवश्यकता है। उदाहरण के लिए, हम कोज्या को ज्या के रूप में लिख सकते हैं:

\[\displaystyle \cos(x) = \pm \sqrt{1 - \sin^2 x} \]

त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन

इस मामले में त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं और प्रतिस्थापनों का उपयोग करना आपका रास्ता है। उदाहरण के लिए, मान लीजिए आप इसे हल करना चाहते हैं:

\[\displaystyle \sin x = \cos x \]

तो हम जानते हैं कि यह एक त्रिकोणमिति समीकरण है, और हम जानते हैं कि हम कोज्या को ज्या के रूप में लिख सकते हैं, इसलिए हम ऐसा करते हैं:

\[\displaystyle \sin x = \pm \sqrt{1 - \sin^2 x} \]

अब क्या? खैर, हम प्रतिस्थापन का उपयोग कर सकते हैं: \(u = \sin x\), इसलिए उपरोक्त समीकरण बन जाता है:

\[\displaystyle u = \pm \sqrt{1 - u} \]

जो कि है तर्कसंगत समीकरण , जो सरल का उपयोग करके बीजगणितीय हेरफेर इसका मतलब है कि हमें इसकी आवश्यकता है एक बहुपद rurण को हल हल क मूल त्रिकोणमिति समीकरण को हल करने के लिए।

त्रिकोणमिति का अनुप्रयोग

                                    
                                                Letsunt 1:
                                            
                                            सभी चीज़ें यांत्रिक: यांत्रिक भागों के निर्माण में वृत्त और त्रिकोणमिति महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं
                                        
                                                Their दो दो:
                                            
                                            आवधिक कार्यों का विश्लेषण: कई घटनाएं आवधिकता से गहराई से जुड़ी हुई हैं, वह बिंदु जिस पर त्रिकोणमिति खेल में आती है
                                        
                                                Theirण 3:
                                            
                                            उन्नत गणित: गणितज्ञों को उनकी फूरियर श्रृंखला और ट्रांसफॉर्म पसंद है, जो वर्णक्रमीय विश्लेषण में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं

वास्तविक जीवन में वृत्त और उनकी सभी समरूपता वास्तव में बहुत महत्वपूर्ण हैं, और त्रिकोणमिति वह भाषा है जिसके द्वारा हम वृत्त और उसके संबंधों को माप सकते हैं। त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करना गणित के केंद्र में है।

आप त्रिकोणमितीय समीकरण क्यों हल करेंगे?

त्रिकोणमितीय समीकरण व्यवहार में विशेष रूप से इंजीनियरिंग में बहुत महत्व रखते हैं। जैसे उल्लेखनीय गुण अवधि और आवृत्ति अनुप्रयोगों का एक पूरा स्पेक्ट्रम खोलें।

आज हम जो भी यांत्रिक उपयोग करते हैं उनमें वृत्ताकार संरचनाएँ महत्वपूर्ण भूमिका निभाती हैं। वृत्त त्रिकोणमिति का पर्याय हैं और त्रिकोणमितीय समीकरण इसके केंद्र में हैं।

उदाहरण: सरल त्रिकोणमिति समीकरणों को हल करना

हल करें: \(\sin(x) = \frac{1}{2}\)

समाधान:

हमें निम्नलिखित दिए गए त्रिकोणमितीय समीकरण समीकरण को हल करने की आवश्यकता है:

\[\sin\left(x\right)=\frac{1}{2}\]

निम्नलिखित प्राप्त होता है:

\( \displaystyle \sin\left(x\right)=\frac{1}{2}\)

We apply the inverse trigonometric function \(\arcsin(\cdot)\), so we get that

\( \displaystyle \,\,\)

\(\displaystyle \arcsin\left(\sin\left(x\right)\right)=\arcsin\left(\frac{1}{2}\right)\)

so then we get

\( \displaystyle \,\,\)

\(\displaystyle x =\arcsin\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{6}\pi{}\)

व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन \( \arcsin(\cdot)\) के गुणों के साथ-साथ त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन \( \sin\left(x\right)\) के गुणों के प्रत्यक्ष अनुप्रयोग द्वारा, हम इसे प्राप्त करते हैं

\[x_1=\frac{5}{6}\pi{}+2\pi{}K_1 \text{ , for } K_1 \text{ an arbitrary integer constant}\] \[ = ... \, -\frac{7}{6}\pi{}, \, \,\, \frac{5}{6}\pi{}, \,\, \, \frac{17}{6}\pi{}, \, \, \, \frac{29}{6}\pi{} \, ...\]
\[x_2=\frac{1}{6}\pi{}+2\pi{}K_2 \text{ , for } K_2 \text{ an arbitrary integer constant}\] \[ = ... \, -\frac{11}{6}\pi{}, \, \,\, \frac{1}{6}\pi{}, \,\, \, \frac{13}{6}\pi{}, \, \, \, \frac{25}{6}\pi{} \, ...\]

इसलिए, दिए गए समीकरण के लिए \(x\) को हल करने से \(K_1, K_2\) मनमाने पूर्णांक स्थिरांक के लिए \(x=\frac{5}{6}\pi{}+2\pi{}K_1,\,\,x=\frac{1}{6}\pi{}+2\pi{}K_2\) का समाधान प्राप्त होता है।

अधिक समीकरण कैलकुलेटर

हमारी चरणों के साथ त्रिकोणमितीय समीकरण विशिष्ट संरचना वाले समीकरणों से निपटने में यह काम आएगा। यदि आप इस बारे में अनिश्चित हैं कि आप किस प्रकार के समीकरण से निपट रहे हैं, तो आप हमारे सामान्य का उपयोग कर सकते हैं समीकरण सॉल्वर , जो दिए गए समीकरण की संरचना का पता लगाएगा, और एक उपयुक्त दृष्टिकोण ढूंढेगा।

समीकरणों को हल करने में मुख्य कठिनाई वह नहीं है रोटी या बहुपद rayrण बात यह है कि अनुसरण करने के लिए कोई विशिष्ट मार्ग नहीं है, न ही इसकी कोई गारंटी है कि आपको समाधान मिलेगा।

आमतौर पर, रणनीति में शामिल होते हैं Reyr अभिव जितना संभव हो सके, और ऐसा करने के बाद, यह आमतौर पर कहीं नहीं होता है, जहां आपको जो भी उपयुक्त लगता है उसे आज़माने की ज़रूरत होती है।

स्वाभाविक रूप से, विचार कुछ प्रकार के प्रतिस्थापन और बहु-चरणीय प्रक्रिया का उपयोग करके समीकरण को एक सरल समीकरण में कम करने का प्रयास करना है, जहां आप पहले एक सहायक समाधान का समाधान ढूंढते हैं, जो आपको मूल समीकरण के लिए उम्मीदवार देता है। आप एक हल करना चाहेंगे रोटी , या यहां तक कि ए तमाम , लेकिन शायद आपको मिलने वाली कटौती थोड़ी कम उदार होगी।