बीजगणित समीकरण

इसमें कोई संदेह नहीं कि समीकरण बीजगणित में ध्यान देने योग्य मुख्य तत्वों में से एक हैं। यह कैलकुलेटर आपको आपके द्वारा प्रदान किए गए बीजगणित समीकरण को हल करने की अनुमति देगा, चाहे वह रैखिक या गैर-रैखिक हो

आपको बस टाइप करना या पेस्ट करना है वह समीकरण जिसे आप हल करना चाहते हैं , और दिखाए गए समाधान के सभी चरणों को देखने के लिए "हल करें" बटन पर क्लिक करें।

एक चेतावनी, सभी बीजगणित समीकरण आसानी से हल नहीं होंगे, और उनमें से कुछ बिल्कुल भी हल नहीं होंगे। बेशक, कुछ आसान उदाहरण जैसे रोटी या तमाम बिल्कुल सीधे हैं, लेकिन बस इतना ही।

जो कुछ भी उन श्रेणियों में फिट नहीं बैठता है, उसे हल करने के लिए कोई मानक/सीधी विधि नहीं होगी। इसका मतलब यह नहीं है कि आप उन्हें हल नहीं कर सकते, इसका मतलब यह है कि इसके लिए कोई "रोडमैप" नहीं है।

बीजगणित समीकरण क्या है?

बीजगणित समीकरण, जिसे बीजगणितीय समीकरण के रूप में भी जाना जाता है, विभिन्न प्रकार के गणित समीकरणों को संदर्भित करने के लिए एक व्यापक शब्द है जो आपको बीजगणित के साथ काम करते समय मिलेगा।

वे जैसे तुच्छ रैखिक समीकरणों से लेकर होंगे

\[\displaystyle \frac{1}{2} x + \frac{2}{3} = \frac{5}{6} \]

जैसे अधिक जटिल समीकरणों के लिए

\[\displaystyle \sin \left(\frac{1}{2} x^2 + x + 1 \right)= \frac{\sqrt{2}}{2} \]

ऐसे समीकरणों के लिए जिन्हें प्राथमिक तरीकों से हल नहीं किया जा सकता, जैसे

\[\displaystyle x e^x = \sin x \]

बीजगणित के मूल समीकरण/सूत्र क्या हैं?

उल्लेख करने के लिए बहुत सारे, शायद बहुत अधिक हैं:

• Letsunt 1: हमारे पास विभिन्न प्रकार के समीकरण हैं, जैसे रैखिक, द्विघात और बहुपद समीकरण
• Their दो दो: समीकरणों के अलावा (जो x के केवल कुछ मानों से संतुष्ट होते हैं), हमारे पास अलग-अलग बीजीय सर्वसमिकाएँ हैं, जो सभी मानों के लिए मान्य हैं
• Theirण 3: बीजगणित में मूल पहचान द्विपद विस्तार (ए+बी) हैं ² = ए ² + 2एबी + बी ² , वर्गों का अंतर: ए ² - बी ² = (ए+बी)(एबी), बस कुछ का उल्लेख करने के लिए

बीजगणित समीकरणों और सर्वसमिकाओं के बीच बड़ा अंतर यह है कि सर्वसमिकाएँ ऐसे भाव हैं जो आपके द्वारा प्लग किए गए सभी मानों के लिए मान्य होते हैं, जबकि समीकरण केवल चयनित कुछ मानों के लिए ही मान्य होते हैं। आमतौर पर, आप समीकरणों को हल करने के लिए सर्वसमिकाओं का उपयोग करेंगे।

बुनियादी बीजगणित समीकरण क्या है?

कई प्रकार के बीजगणित समीकरण हैं जिनमें सबसे बुनियादी बीजगणित समीकरण रैखिक समीकरण है। उदाहरण के लिए, एक चर के लिए, रोटी है:

\[\displaystyle a x + b = c \]

ध्यान दें कि बाईं ओर \(ax + b\) से मेल खाता है, जो एक रैखिक फलन है। इस प्रकार के फ़ंक्शन की एक मजबूत ज्यामितीय व्याख्या होती है, क्योंकि यह एक ज्यामितीय रेखा से निकटता से संबंधित है, जहां \(a\) से मेल खाता है तमाम , और \(b\) को Y- अंत ।

बीजगणित समीकरणों के कुछ उपयोग क्या हैं?

• Letsunt 1: बीजगणित समीकरण चरों के बीच संबंध को संपुटित करते हैं। किसी समीकरण को हल करने से आमतौर पर तत्वों की परस्पर क्रिया में एक बहुत ही विलक्षण बिंदु प्राप्त होता है
• Their दो दो: समीकरणों का उपयोग करके, हम चीजों को परिमाणित कर पाते हैं, और चरों के बारे में विशिष्ट बात करने में सक्षम होते हैं
• Theirण 3: समीकरण आम तौर पर महान चीजों की कुंजी होते हैं: संतुलन के बिंदु, अधिकतम लाभ के बिंदु, कम से कम प्रतिरोध के बिंदु, आदि।

इसलिए, हम समीकरण चाहते हैं। एक छोटी सी समस्या यह है कि समीकरणों को हल करना कठिन हो सकता है। एक का उपयोग करना चरणों के साथ समीकरण सॉल्वर कठिन समीकरणों से निपटने के समय यह महत्वपूर्ण साबित हो सकता है जो हमें अनिवार्य रूप से मिलेंगे।

बीजगणित में सबसे लोकप्रिय समीकरण कौन सा है?

यह इस पर निर्भर करता है कि कौन पूछता है। कुछ लोगों के लिए, सबसे लोकप्रिय समीकरण वह सबसे आसान समीकरण है, जो निस्संदेह रैखिक समीकरण है। लेकिन अगर आप किसी गणितज्ञ से पूछें, तो वे आपको कुछ और ही बताएंगे।

कुछ शुद्धतावादी आपको बताएंगे कि यह बीजगणित में सबसे लोकप्रिय सूत्र है:

\[\displaystyle e^{-i \pi} + 1 = 0 \]

क्योंकि यह सभी सबसे महत्वपूर्ण गणित प्रतीकों का उपयोग करता है। दृष्टिकोण के बिंदु, हुह?

उदाहरण: रैखिक समीकरण

निम्नलिखित रैखिक समीकरण को हल करें: \(2x + 3y = \frac{1}{6}\)

तमाम: हमें निम्नलिखित दिए गए रैखिक समीकरण को हल करने की आवश्यकता है:

\[2x+3y=\frac{1}{6}\]

रैखिक समीकरण में दो चर हैं, जो \(x\) और \(x\) हैं, इसलिए उद्देश्य \(x\) को हल करना है।

बाएं हाथ की तरफ \(y\) और \(x\) और दाहिने हाथ की तरफ स्थिर

\[\displaystyle 3y = -2x + \frac{1}{6}\]

अब, \(y\)के लिए हल करना, समीकरण के दोनों किनारों को \(3\)द्वारा विभाजित करके, निम्नलिखित प्राप्त किया गया है

\[\displaystyle y=-\frac{2}{3}x+\frac{\frac{1}{6}}{3}\]

और सरलीकरण करते हुए हम अंत में निम्नलिखित प्राप्त करते हैं

\[\displaystyle y=-\frac{2}{3}x+\frac{1}{18}\]

इसलिए, दिए गए रैखिक समीकरण के लिए \(x\) को हल करने पर \(y=-\frac{2}{3}x+\frac{1}{18}\) प्राप्त होता है।

उदाहरण: द्विघात समीकरण

निम्नलिखित द्विघात समीकरण को हल करें: \(2x^2 + \frac{5}{4}x - \frac{1}{6} = 0\)

तमाम: हमें निम्नलिखित दिए गए बहुपद समीकरण को हल करने की आवश्यकता है:

\[2x^2+\frac{5}{4}x-\frac{1}{6}=0\]

जिस समीकरण को हमें हल करना है उसमें केवल एक चर है, जो \(x\) है, इसलिए उद्देश्य इसे हल करना है।

देखें कि दिए गए बहुपद की डिग्री \(\displaystyle deg(p) = 2\)है, इसका प्रमुख गुणांक \(\displaystyle a_{2} = 2\)है और इसका निरंतर गुणांक \(\displaystyle a_0 = -\frac{1}{6}\)है।

हमें निम्नलिखित दिए गए द्विघात समीकरण \(\displaystyle 2x^2+\frac{5}{4}x-\frac{1}{6}=0\)को हल करने की आवश्यकता है।

द्विघात सूत्र का उपयोग करना

फार्म \(a x^2 + bx + c = 0\)के एक द्विघात समीकरण के लिए, जड़ों को निम्न सूत्र का उपयोग करके गणना की जाती है:

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

इस मामले में, हमारे पास है कि हमें जिस समीकरण को हल करने की आवश्यकता है वह \(\displaystyle 2x^2+\frac{5}{4}x-\frac{1}{6} = 0\)है, जिसका अर्थ है कि संबंधित गुणांक हैं:

\[a = 2\] \[b = \frac{5}{4}\] \[c = -\frac{1}{6}\]

सबसे पहले, हम जड़ों की प्रकृति का आकलन करने के लिए भेदभाव की गणना करेंगे।भेदभाव की गणना की जाती है:

\[\Delta = b^2 - 4ac = \displaystyle \left( \frac{5}{4}\right)^2 - 4 \cdot \left(2\right)\cdot \left(-\frac{1}{6}\right) = \frac{139}{48}\]

चूंकि इस मामले में हमें भेदभावपूर्ण \(\Delta = \displaystyle \frac{139}{48} > 0\)है, जो सकारात्मक है, हम जानते हैं कि समीकरण में दो अलग -अलग वास्तविक जड़ें हैं।

अब, इन मूल्यों को जड़ों के लिए सूत्र में प्लग करना:

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \displaystyle \frac{-\frac{5}{4} \pm \sqrt{\left(\frac{5}{4}\right)^2-4\left(2\right)\left(-\frac{1}{6}\right)}}{2\cdot 2} = \displaystyle \frac{-\frac{5}{4} \pm \sqrt{\frac{139}{48}}}{4}\]

तो फिर, हम पाते हैं कि:

\[ {x}_1 = -\frac{\frac{5}{4}}{4}-\frac{1}{4}\sqrt{\frac{139}{48}}=\frac{-5}{4\cdot 4}-\frac{1}{4}\sqrt{\frac{139}{48}}=-\frac{5}{16}-\frac{1}{4}\sqrt{\frac{139}{48}}=-\frac{1}{48}\sqrt{139}\sqrt{3}-\frac{5}{16} \] \[{x}_2 = -\frac{\frac{5}{4}}{4}+\frac{1}{4}\sqrt{\frac{139}{48}}=\frac{-5}{4\cdot 4}+\frac{1}{4}\sqrt{\frac{139}{48}}=-\frac{5}{16}+\frac{1}{4}\sqrt{\frac{139}{48}}=\frac{1}{48}\sqrt{139}\sqrt{3}-\frac{5}{16}\]

इस मामले में, द्विघात समीकरण \( \displaystyle 2x^2+\frac{5}{4}x-\frac{1}{6} = 0 \), की दो वास्तविक जड़ें हैं, इसलिए फिर:

\[\displaystyle 2x^2+\frac{5}{4}x-\frac{1}{6} = 2 \left(x+\frac{1}{48}\sqrt{139}\sqrt{3}+\frac{5}{16}\right)\left(x-\frac{1}{48}\sqrt{139}\sqrt{3}+\frac{5}{16}\right)\]

तो फिर मूल बहुपद \(\displaystyle p(x) = 2x^2+\frac{5}{4}x-\frac{1}{6} = 2 \left(x+\frac{1}{48}\sqrt{139}\sqrt{3}+\frac{5}{16}\right)\left(x-\frac{1}{48}\sqrt{139}\sqrt{3}+\frac{5}{16}\right) \)के रूप में फैक्टर किया जाता है, जो कारक को पूरा करता है।

तिहाई : इसलिए, अंतिम कारक जो हम प्राप्त करते हैं वह है:

\[\displaystyle p(x) = 2x^2+\frac{5}{4}x-\frac{1}{6} = 2 \left(x+\frac{1}{48}\sqrt{139}\sqrt{3}+\frac{5}{16}\right)\left(x-\frac{1}{48}\sqrt{139}\sqrt{3}+\frac{5}{16}\right)\]

गुणनखंडन प्रक्रिया का उपयोग करके पाई गई जड़ें \(-\frac{1}{48}\sqrt{139}\sqrt{3}-\frac{5}{16}\) और \(\frac{1}{48}\sqrt{139}\sqrt{3}-\frac{5}{16}\) हैं।

इसलिए, दिए गए बहुपद समीकरण के लिए \(x\) को हल करने से गुणनखंड गणित का उपयोग करके \(x = \, \)\(-\frac{1}{48}\sqrt{139}\sqrt{3}-\frac{5}{16}\), \(\frac{1}{48}\sqrt{139}\sqrt{3}-\frac{5}{16}\) समाधान प्राप्त होता है।

अन्य उपयोगी समीकरण कैलकुलेटर कैलकुलेटर

रैखिक समीकरण अब तक के सबसे आसान समीकरण हैं। आपको बहुत अधिक कठिनाइयाँ मिलेंगी त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करना , या कोई गैर-रैखिक समीकरण जो नहीं है बहुपद rayrण , हालांकि बहुपद समीकरणों को हल करना अभी भी बहुत कठिन हो सकता है।

आप सीखेंगे कि विभिन्न प्रकार के समीकरण विभिन्न नियमों का पालन करते हैं। उदाहरण के लिए आप इसका उपयोग कर सकते हैं घातीय समीकरण कैलकुलेटर ताकि विशिष्ट समीकरणों को हल करने के लिए घातांकों के गुणों का उपयोग किया जा सके।

यदि आप प्रयास करते हैं तो वैसा ही होता है एक लघुगणकीय समीकरण हल करें , जहां लॉगरिदमिक फ़ंक्शन की विशिष्ट संरचनाएं समीकरण को हल करने की प्रक्रिया को आसान बना देंगी।