बहुपद समीकरण कैलकुलेटर

यह बहुपद समीकरण सॉल्वर आपके द्वारा प्रदान किए गए बहुपद समीकरणों को हल करने में आपकी सहायता करेगा, जैसे उदाहरण के लिए '3x^2 - 2/3 x + 1/4 = 0', जो एक सरल है तमाम , या उच्च क्रम के बहुपद समीकरण जैसे 'x^5 - x^2 + 1 = 0', आदि।

यदि आप दिए गए व्यंजक में समानता चिह्न "=" नहीं जोड़ते हैं, तो कैलकुलेटर स्वचालित रूप से इसमें "= 0" जोड़ देगा ताकि इसे एक समीकरण में परिवर्तित किया जा सके।

एक बार वैध बहुपद समीकरण प्रदान कर दिए जाने के बाद, आप "गणना करें" बटन पर क्लिक कर सकते हैं, और फिर आपको समीकरण समाधानों की चरण-दर-चरण गणना प्रस्तुत की जाएगी।

बहुपद समीकरण एक प्रकार का बीजगणित समीकरण है, और सबसे सरल प्रकारों में से एक है, जिसे वर्जित किया गया है रोटी . तथ्य यह है कि बहुपद समीकरण सरल होते हैं, इसका मतलब यह नहीं है कि उन्हें हल करना आसान है, और वास्तव में, कभी-कभी उन्हें हल करने में काफी समय लगता है, यदि उन्हें हल किया जा सकता है।

मैं बहुपद को कैसे हल कर सकता हूँ?

यद्यपि बहुपद सरल व्यंजक, हल करने वाले होते हैं बहुपद rayrण वास्तव में जटिल हो सकता है, विशेषकर के लिए बहुपद 2 से अधिक.

द्विघात समीकरणों के लिए, समाधान केवल द्विघात सूत्र का उपयोग करके पाए जाते हैं। निश्चित रूप से, आप सोच सकते हैं कि सूत्रों को याद रखना कठिन है, लेकिन कम से कम एक सूत्र तो है।

क्यूबिक (डिग्री 3) और क्वार्टिक (डिग्री 4) के लिए, उपयोग करने के लिए कुछ बहुत ही चतुर समीकरण हैं, लेकिन उनका उपयोग करना या याद रखना किसी भी तरह से आसान नहीं है। डिग्री 5 और उससे अधिक के पॉली समीकरणों के लिए कोई सूत्र नहीं है।

इसका मतलब यह नहीं है कि हम इसे ढूंढ नहीं सकते बहुपद जड़ें उन समीकरणों के लिए, लेकिन हमारे पास इसके लिए कोई सूत्र नहीं है, और कोई सूत्र मौजूद नहीं है (यदि आप इसके बारे में उत्सुक हैं, तो ऐसे निष्कर्ष 18 वीं शताब्दी के अंत में आधुनिक गणित की मुख्य सफलताओं में से एक थे।

बहुपद समीकरण का हल ढूंढने के चरण

ऐसे कई व्यवस्थित चरण हैं जिनका पालन करके आप बहुपद समीकरण का समाधान ढूंढने की सर्वोत्तम संभावनाएं प्राप्त कर सकते हैं, लेकिन सावधान रहें कि हो सकता है कि आपको कोई समाधान न मिले, विशेष रूप से उच्च डिग्री समीकरणों के लिए।

• Letsunt 1: ध्यान रखें कि सिद्धांत रूप में घात \(n\) वाले बहुपद समीकरण के \(n\) समाधान होते हैं। लेकिन वे समाधान वास्तविक या जटिल हो सकते हैं, और डिग्री 4 से परे, उनके लिए कोई सूत्र नहीं है
• Their दो दो: बहुपद पदों का गुणनखंड करने का प्रयास करें। सभी पदों को समीकरण के एक तरफ रखें और इसका तरीका देखें बहुपद व्यंजक का गुणनखंडन कीजिए . फैक्टरिंग द्वारा आप प्रत्येक कारक का समाधान ढूंढने का प्रयास कर सकते हैं, जिससे समस्या कम हो सकती है
• Theirण 3: पहले इसका उपयोग करके तर्कसंगत/पूर्णांक समाधान खोजने का प्रयास करें सरायस . यह स्थिर पद के पूर्णांक गुणनखंडों को खोजकर, उन्हें अग्रणी पद (वह जो उच्चतम घात के साथ जाता है) के गुणनखंडों से विभाजित करके प्राप्त किया जाता है।
• च ४: ४: इन तर्कसंगत उम्मीदवारों का उपयोग करते हुए, आप एक-एक करके उनका परीक्षण करते हैं (उनमें से कई हो सकते हैं), इस उम्मीद में कि आपको समाधान मिल जाएगा। यदि संयोग से आपको डिग्री \(n\) के समीकरण का \(n\) समाधान मिल गया, तो आप समाप्त कर लें
• च ५: ५: यदि आपको एक या अधिक परिमेय मूल मिलते हैं, लेकिन सभी नहीं, तो आप \(x - \alpha\) पदों का गुणन बनाते हैं, जहां \(\alpha\) एक परिमेय मूल पाया जाता है। उन पदों को गुणा करें, एक बहुपद बनाएं और फिर मूल समीकरण के बहुपद को \(x - \alpha\) पदों वाले इस गुणनफल से विभाजित करें। शेष मूल ज्ञात करने के लिए, आपको विभाजन के परिणाम के मूल ज्ञात करने होंगे (जिनकी डिग्री मूल बहुपद से कम होगी)।

यह कठिन लगता है, और ईमानदारी से कहूँ तो यह है। यह एक बोझिल प्रक्रिया है, जिसके लिए बहुत अधिक गणनाओं की आवश्यकता होती है। इसीलिए आपको एक का उपयोग करना चाहिए समीकरण कैलकुलेटर यह आपको चरण दिखाएगा, क्योंकि आपका बहुत सारा समय बचेगा और गणना में त्रुटि होने की संभावना कम हो जाएगी।

आप बहुपद का समीकरण कैसे ज्ञात करते हैं?

हल बहुपद rayrण निश्चित रूप से यह कोई मामूली काम नहीं है. आप इसे सामान्य रूप से नहीं कर पाएंगे, क्योंकि सभी बहुपदों को हल करने के लिए कोई सामान्य समीकरण नहीं है। बीजगणित के मौलिक प्रमेय के आधार पर हम जानते हैं कि डिग्री \(n\) वाले बहुपद समीकरण के \(n\) समाधान होते हैं।

जैसा कि नाम से पता चलता है, ये परिणाम एक बड़ी उपलब्धि है क्योंकि यह हमें बताता है कि हम कितने समाधान तलाश रहे हैं। उदाहरण के लिए, यदि हमारे पास समीकरण \(x^4 = x^6\) है, तो हमारे पास घात 6 का समीकरण है (क्योंकि यह उच्चतम बहुपद घात है जो वहां पाई जा सकती है)। इसलिए, बीजगणित के मौलिक प्रमेय से, हम जानते हैं कि 6 समाधान हैं।

अब, यह मुश्किल हो सकता है क्योंकि सभी समाधान वास्तविक नहीं होंगे, कुछ जटिल हो सकते हैं, और कुछ दोहराए जा सकते हैं। यदि हमने डिग्री \(n\) का बहुपद कहा होता, तो हम जानते हैं कि \(n\) समाधान होते हैं, और इस प्रमेय द्वारा बताई गई एक और उल्लेखनीय बात यह है कि बहुपद भाग को इस प्रकार लिखा जा सकता है

\[\displaystyle p(x) = (x - \alpha_1) (x - \alpha_2) (x - \alpha_3) \cdot\cdot\cdot (x - \alpha_n) \]

जहां \(\alpha_1\), ..., \(\alpha_n\) समाधान हैं। लेकिन ऐसा भी हो सकता है कि सभी समाधान अलग-अलग न हों. वास्तव में, हमारे पास कुछ ऐसा हो सकता है

\[ p = (x - \alpha)^n\]

यह दर्शाता है कि सभी n समाधान समान हैं।

बहुपद के नियम क्या हैं?

• Letsunt 1: बहुपद \(x^k\) रूप के व्यंजकों के रैखिक संयोजन हैं
• Their दो दो: जिन बहुपदों में हमारी रुचि है वे पद \(x^k\) वाले हैं, केवल \(k\) पूर्णांक वाले हैं
• Theirण 3: बहुपद एक सरल प्रकार के कार्य हैं जिन्हें जोड़ा, घटाया, गुणा और विभाजित किया जा सकता है।

उसका अवलोकन करो अँगुला बंद नहीं हैं. ध्यान दें कि बहुपदों को जोड़ने, घटाने और गुणा करने पर परिणाम हमेशा बहुपद ही होगा। लेकिन बहुपदों को विभाजित करते समय, परिणाम आवश्यक रूप से बहुपद नहीं होगा, हालाँकि विभाजन और शेषफल बहुपद होंगे। जाँचें बहुपद दीर्घ विभाजन एल्गोरिथ्म ।

बहुपद समीकरण क्या है और हम इसे कैसे हल करते हैं?

सरल शब्दों में कहें तो बहुपद समीकरण एक गणित समीकरण है जिसमें समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्ष के पद बहुपद होते हैं। आमतौर पर, ये समीकरण दाहिनी ओर एक स्थिरांक के साथ दिए जाते हैं, लेकिन हमेशा ऐसा नहीं होता है।

उदाहरण के लिए, \(x^2 + 3x = 2\) एक बहुपद समीकरण है, क्योंकि समीकरण के दोनों पक्षों के पद बहुपद हैं (अचर '2' क्रम 0 का एक बहुपद है)।

लेकिन, \(x^2 + \sin(x) = 2x\) एक बहुपद समीकरण नहीं है, क्योंकि बाईं ओर का पद एक बहुपद नहीं है (\(\sin(x)\) पद की उपस्थिति के कारण)।

उदाहरण: बहुपद समीकरणों के समाधान की गणना करना

इसके समाधान की गणना करें: \(x^2 = x^4\)

समाधान:

हमें निम्नलिखित दिए गए बहुपद समीकरण को हल करने की आवश्यकता है:

\[x^2=x^4\]

जिस समीकरण को हमें हल करना है उसमें केवल एक चर है, जो \(x\) है, इसलिए उद्देश्य इसे हल करना है।

देखें कि दिए गए बहुपद की डिग्री \(\displaystyle deg(p) = 4\)है, इसका प्रमुख गुणांक \(\displaystyle a_{4} = -1\)है और इसका निरंतर गुणांक \(\displaystyle a_0 = 0\)है।

चूँकि \(p(x)\) में गैर-शून्य गुणांक वाला पहला पद \(x^2\) है, इसलिए हम इस पद को गुणनखंडित करके प्राप्त कर सकते हैं:

\[\displaystyle p(x) = -x^4+x^2 = x^2 \left(\displaystyle -x^2+1 \right) \]

लेकिन कोष्ठक में शब्द की डिग्री 2 है, और हमें यह देखने की ज़रूरत है कि क्या इसे और अधिक गुणनखंडित किया जा सकता है।

हमें निम्नलिखित दिए गए द्विघात समीकरण \(\displaystyle -x^2+1=0\)को हल करने की आवश्यकता है।

फार्म \(a x^2 + bx + c = 0\)के एक द्विघात समीकरण के लिए, जड़ों को निम्न सूत्र का उपयोग करके गणना की जाती है:

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

इस मामले में, हमारे पास है कि हमें जिस समीकरण को हल करने की आवश्यकता है वह \(\displaystyle -x^2+1 = 0\)है, जिसका अर्थ है कि संबंधित गुणांक हैं:

\[a = -1\] \[b = 0\] \[c = 1\]

सबसे पहले, हम जड़ों की प्रकृति का आकलन करने के लिए भेदभाव की गणना करेंगे।भेदभाव की गणना की जाती है:

\[\Delta = b^2 - 4ac = \displaystyle \left( 0\right)^2 - 4 \cdot \left(-1\right)\cdot \left(1\right) = 4\]

चूंकि इस मामले में हमें भेदभावपूर्ण \(\Delta = \displaystyle 4 > 0\)है, जो सकारात्मक है, हम जानते हैं कि समीकरण में दो अलग -अलग वास्तविक जड़ें हैं।

अब, इन मूल्यों को जड़ों के लिए सूत्र में प्लग करना:

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \displaystyle \frac{0 \pm \sqrt{\left(0\right)^2-4\left(-1\right)\left(1\right)}}{2\cdot -1} = \displaystyle \frac{0 \pm \sqrt{4}}{-2}\]

तो फिर, हम पाते हैं कि:

\[ {x}_1 = \frac{0}{-2}-\frac{1}{-2}\sqrt{4}=\frac{0}{-2}-\left(-1\right)=1 \] \[{x}_2 = \frac{0}{-2}+\frac{1}{-2}\sqrt{4}=\frac{0}{-2}-1=-1\]

इस मामले में, द्विघात समीकरण \( \displaystyle -x^2+1 = 0 \), की दो वास्तविक जड़ें हैं, इसलिए फिर:

\[\displaystyle -x^2+1 = - \left(x-1\right)\left(x+1\right)\]

तो फिर मूल बहुपद \(\displaystyle p(x) = -x^4+x^2 = - x^2 \left(x-1\right)\left(x+1\right) \)के रूप में फैक्टर किया जाता है, जो कारक को पूरा करता है।

तिहाई : इसलिए, अंतिम कारक जो हम प्राप्त करते हैं वह है:

\[\displaystyle p(x) = -x^4+x^2 = - x^2\left(x-1\right)\left(x+1\right)\]

गुणनखंडन प्रक्रिया का उपयोग करके पाई गई जड़ें \(0\), \(1\), और \(-1\) हैं।

अन्य उपयोगी समीकरण कैलकुलेटर

समीकरण हल करने वाले गणित में वास्तव में महत्वपूर्ण हैं, क्योंकि समीकरण आमतौर पर वह तरीका है जिससे हम संबंधित मात्राओं के बीच संबंध व्यक्त करते हैं। समीकरणों को हल करने में सक्षम होने से कुछ विशेष बिंदु उजागर होंगे जो कुछ विशिष्ट समानता को संतुष्ट करते हैं।

सामान्य कैलकुलेटर को प्राप्त करना कठिन है क्योंकि विभिन्न समीकरण संरचनाओं के लिए अलग-अलग समाधान रणनीतियों की आवश्यकता होगी। ए त्रिकोणमितीय समीकरण कैलकुलेटर आमतौर पर समाधान खोजने के लिए विभिन्न त्रिकोणमितीय कार्यों के बीच संबंधों का उपयोग उसी तरह किया जाएगा घातीय समीकरण और लघुगणकीय समीकरण क्रमशः घातांक और लघुगणक द्वारा रखे गए प्रमुख गुणों के आधार पर उनके अपने दृष्टिकोण होंगे। .

अधिकांश बीजगणित समस्याओं का प्रतिनिधित्व किया जा सकता है, इसलिए समीकरणों को हल करके हम उन बीजगणित समस्याओं की कुंजी ढूंढ रहे हैं, वे विशेष बिंदु जो रुचि के विशिष्ट गुणों को संतुष्ट करते हैं।

सामान्यतः समीकरणों को हल करना आसान नहीं है। आप कुछ उपयोगी रणनीतियों का पालन कर सकते हैं, जैसे समीकरणों को पुनर्व्यवस्थित करना, फैक्टरिंग करना, या Reyr अभिव . लेकिन अंततः, प्रत्येक प्रकार का समीकरण आपको एक प्रकार की संरचना देगा जो इसके समाधान का मार्ग प्रशस्त करेगा

उदाहरण के लिए, मूल समीकरणों के लिए आपको निश्चित रूप से उस पद को हल करने की आवश्यकता है जिसका एक मूल है, और मूल को खत्म करने के लिए एक शक्ति का उपयोग करें, इसे एक बहुपद समीकरण में बदल दें। लेकिन वह मार्ग, जो एक रेडिकल समीकरण के लिए पूरी तरह से काम करता है, उदाहरण के लिए त्रिकोणमितीय समीकरण के लिए काम नहीं कर सकता है।