حلول الجبر

حاسبة الحدود الحدود

عاليما: استخدم هذه الآلة الحاسبة كثير الحدود لحساب وتبسيط أي عملية كثير الحدود التي تقدمها , مما يوضح جميع الخطوات.يرجى كتابة التعبير متعدد الحدود الذي تريد تبسيطه في مربع النموذج أدناه.

حاسبة الحدود الحدود

ستسمح لك هذه الآلة الحاسبة بإجراء حسابات متعدد الحدود وتبسيطات , للتعبير متعدد الحدود الذي تقدمه , مثل 3x^2 - 2/3 X + 1/4 + 5/4 - 3/4 X^2 , إلخ.

يمكنك أيضًا توفير تعبيرات متعددة الحدود أكثر تعقيدًا مثل 2/3 x^2 (x - 3/4) + 5/4 , شريطة أن تكون النتيجة تعبيرًا متعدد الحدود صالح.

بمجرد إعطاء متعدد الحدود , يمكنك النقر فوق "حساب" وسيتم عرض نتائج الحساب والتبسيط , مما يوضح جميع خطوات العملية.

سيتم تنفيذ الحسابات باستخدام المعتاد عزيزير بيمداس , للأولوية و Trtitieb وبعد

كيف تحسب متعدد الحدود؟

على الرغم من حقيقة أن الحدود الحدودية يمكن أن تبدو مخيفة , إلا أنها قابلة للإلغاء تجاه الحسابات السهلة , مع الأخذ في الاعتبار طبيعتها الخطية.متعدد الحدود من الدرجة \(n\) لديه الصيغة التالية

\[f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + ... + a_n x^n \]

ما هي خطوات القيام بالحساب متعدد الحدود؟

الخطوة 1: تحديد التعبير متعدد الحدود الذي تحتاجه لحساب وتبسيط
الخطوة 2: قم بفحص الاتساق للعثور على علامات واضحة على أن الوظيفة ليست متعددة الحدود.إذا كان هذا هو الحال , فأنت تتوقف
الخطوة 3: توسيع وتبسيط المصطلحات الموجودة داخل التعبير متعدد الحدود باتباع قاعدة PEMDAS
الخطوة 4: توسيع وتبسيط حتى لا يمكن إجراء مزيد من التبسيط

لاحظ أن الحدود الحدود لها خصائص إغلاق أنيقة حقًا.هذا , إذا قمت بإضافة أو طرحت متعدد الحدود , فستحصل أيضًا على متعدد الحدود.أيضا , إذا كنت مضاعفة متعدد الحدود , فإن الإخراج هو متعدد الحدود أيضًا.هذا ليس صحيحا بالضرورة لتقسيم الحدود.

التقسيم متعدد الحدود

التقسيم هو عملية واحدة بدون خاصية الإغلاق.هذا , إذا قمت بتقسيم اثنين من الحدود , فإن النتيجة لا يجب أن تكون بالضرورة متعددة الحدود.يمكن أن يكون متعدد الحدود , لكنه لا يجب أن يكون بالضرورة واحدة.

على سبيل المثال , تقوم بتقسيم الحدود \(f(x) = x^3 + 9x^2 + 27x +27\) بواسطة الحدود \(g(x) = x + 3 \) , ثم النتيجة هي متعددة الحدود أخرى:

\[\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)} = \displaystyle \frac{x^3 + 9x^2 + 27x +27}{x + 3} = x^2 + 6x + 9 \]

ولكن بعد ذلك , إذا قمت بتقسيم متعدد الحدود \(f(x) = x^3 + 9x^2 + 27x +28\) من قبل الحدود \(g(x) = x + 3 \) , فإن النتيجة ليست متعددة الحدود.

لماذا تعتبر الحدود المهمة؟

كثير الحدود هي كائن طبيعي للغاية يظهر في التطبيقات.على سبيل المثال , المعادلات التربيعية هي كثير الحدود للنظام (درجة) 2. لذلك , من الطبيعي فقط العمل مع متعدد الحدود أعلى من 2.

صحيح ان وراثى انتقل دورًا مركزيًا أكبر في التطبيقات في الجبر الأساسي , لكن هذا لا يعني أن العديد من الحدود العليا ليس لها مكان راقٍ.

مثال: حساب متعدد الحدود

توسيع وتبسيط ما يلي: \(f(x) = 3x^2 - \frac{2}{3} x + \frac{1}{4} + \frac{5}{4} - \frac{3}{4} x^2\)

الملم: يتم تزويدنا بالتعبير التالي: \(\displaystyle 3x^2 - \frac{2}{3} x + \frac{1}{4} + \frac{5}{4} - \frac{3}{4} x^2\).

يتم الحصول على الحساب التالي:

\( \displaystyle 3x^2-\frac{2}{3}x+\frac{1}{4}+\frac{5}{4}-\frac{3}{4}x^2\)

Putting together the terms with \(x^2\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle -\frac{2}{3}x+\left(3-\frac{3}{4}\right)x^2+\frac{1}{4}+\frac{5}{4}\)

Putting the fractions together and simplifying the terms that were grouped with \(x^2\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle -\frac{2}{3}x+\frac{9}{4}x^2+\frac{1}{4}+\frac{5}{4}\)

Grouping and operating all the integer terms and fractions: \(\displaystyle \frac{ 1}{ 4}+\frac{ 5}{ 4}=\frac{ 1+5}{ 4}=\frac{ 6}{ 4}=\frac{ 2 \times 3}{ 2 \times 2}=\frac{ \cancel{ 2} \times 3}{ \cancel{ 2} \times 2}=\frac{ 3}{ 2}\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle -\frac{2}{3}x+\frac{9}{4}x^2+\frac{3}{2}\)

Reorganizing/simplifying/expanding the expression

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{9}{4}x^2-\frac{2}{3}x+\frac{3}{2}\)

الذي يخلص إلى عملية التبسيط.

مثال: مثال على الحاسبة الحجم متعدد الحدود

احسب ما يلي: \(f(x) = \frac{1}{3} x \left( \frac{5}{4}x - \frac{5}{6}\right)+x\)

الملم: الآن لدينا التعبير متعدد الحدود: \(\displaystyle \frac{1}{3}x\left(\frac{5}{4}x-\frac{5}{6}\right)+x\).

يتم الحصول على التبسيط التالي:

\( \displaystyle \frac{1}{3}x\left(\frac{5}{4}x-\frac{5}{6}\right)+x\)

Observe that \((\frac{1}{3}x) \cdot (\frac{5}{4}x-\frac{5}{6}) = \frac{1}{3}x\cdot\frac{5}{4}x-\frac{5}{6}\cdot\frac{1}{3}x = \frac{5}{12}x^2-\frac{5}{18}x\), by using the distributive property on each term of the expression on the left, with respect to the terms on the right

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{5}{12}x^2-\frac{5}{18}x+x\)

Aggregating those terms with \(x\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \left(- \frac{ 5}{ 18}+1\right)x+\frac{5}{12}x^2\)

Operating the terms that were grouped with \(x\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{13}{18}x+\frac{5}{12}x^2\)

وهذا هو كيف يمكنك تحويل الفوضى الساخنة إلى فوضى شبه حارة!تم الوصول إلى نهاية التبسيط.

مثال: مثال على حاسبة متعدد الحدود

توسيع وتبسيط \( f(x) = \left(\frac{2}{3}x - \frac{6}{5} \right)+ \frac{2}{5}x + 3 \).

الملم: لدينا الآن \(\displaystyle \left(\frac{2}{3}x-\frac{6}{5}\right)+\frac{2}{5}x+3\).

نريد تبسيط هذا:

\( \displaystyle \frac{2}{3}x-\frac{6}{5}+\frac{2}{5}x+3\)

Grouping the terms with \(x\)

\( = \,\,\)

\(\displaystyle \left(\frac{2}{3}+\frac{2}{5}\right)x+3-\frac{6}{5}\)

Grouping together numerical values and fractions and simplifying the terms that were grouped with \(x\)

\( = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{16}{15}x+3-\frac{6}{5}\)

Grouping and operating all the integer terms and fractions: \(\displaystyle 3-\frac{ 6}{ 5}=3 \times \frac{ 5}{ 5}-\frac{ 6}{ 5}=\frac{ 3 \times 5-6}{ 5}=\frac{ 15-6}{ 5}=\frac{ 9}{ 5}\)

\( = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{16}{15}x+\frac{9}{5}\)

الذي ينهي الحساب.