المحللين الجبر

اختبار الخط الأفقي

تعليمات: استخدم هذه الآلة الحاسبة لإجراء اختبار الخط الأفقي, موضحًا جميع الخطوات. يرجى كتابة الوظيفة التي تريد تحليلها في النموذج أدناه.

اختبار الخط الأفقي

ستسمح لك هذه الآلة الحاسبة بإجراء اختبار الخط الأفقي لأي دالة معينة تقدمها, مع عرض الخطوات. يمكن أن تكون الوظيفة التي تقدمها شيئًا مثل 'y = 2x - 1', وهي أبسط أنواعها دالة خطية يمكنك العثور على, أو يمكنك توفير دالة أكثر تعقيدًا مثل 'y = (2x-1)/(x+1)' والتي تتضمن وظيفة عقلانية .

بمجرد تقديم دالة صالحة, يمكنك النقر على زر "احسب", وسيتم تزويدك بجميع خطوات العملية, مع الإشارة إلى ما إذا كانت الدالة اجتازت اختبار الخط الأفقي (HLT) أم لا.

الطريقة التي تعمل بها هذه الآلة الحاسبة هي عن طريق تعيين خط أفقي عام, والتحقق من عدد المرات (إن وجدت) التي يعبر فيها الخط هذا الخط الأفقي التعسفي المحدد. هذا ينطوي على حل ل x المعادلة ص = و(س).

ما هو اختبار الخط الأفقي؟

اختبار HLT هو اختبار يسمح لك بتقييم ما إذا كانت الوظيفة فردية أم لا. يتكون من رسم خطوط أفقية على ارتفاعات مختلفة ورؤية مكان تقاطعها مع الرسم البياني للدالة المعطاة f(x), إذا كانت تتقاطع على الإطلاق.

إذا لم يكن هناك خط أفقي يمكنك تخيله سيتقاطع مع الرسم البياني للدالة f(x) أكثر من مرة, إذن الوظيفة هي واحد لواحد . من ناحية أخرى, إذا تمكنت من العثور على خط أفقي يعبر الرسم البياني للدالة f(x) أكثر من مرة, فقد أثبتت أن الدالة ليست واحدًا لواحد

إذن ربما تفكر "انتظر لحظة", فهذه الأداة لا تعمل حقًا لإثبات أن دالة ما هي دالة فردية باستخدام اختبار الخط الأفقي, بل تثبت أنها ليست فردية باستخدامها .

لأنه من الناحية العملية, لا يمكنني رسم جميع الخطوط الأفقية الموجودة للتحقق من عدد المرات التي تعبر فيها الرسم البياني لـ f(x), ولكن إذا وجدت خطًا أفقيًا واحدًا يعبر الرسم البياني لـ f(x) عدة مرات, ثم أعلم أنه ليس واحدًا لواحد. لذلك, تفكير جيد, أنت على شيء جيد هناك.

استخدام اختبار الخط الأفقي في التطبيق العملي

على سبيل المثال, إذا كانت لديك الدالة \(f(x) = x^2\), فسيبدو الرسم البياني كما يلي تقريبًا:

في هذه الحالة, نلاحظ على الفور أن هذه الدالة فشلت في اختبار الخط الأفقي. لماذا, لأن الخط الأفقي y = 10 الموضح في الرسم البياني أدناه يتقاطع مع الرسم البياني لـ f(x) مرتين (أكثر من مرة)

في هذه الحالة, تفشل الدالة \(f(x) = x^2\) في اختبار الخط الأفقي, وبالتالي فهي ليست وظيفة واحدة لواحدة .

الآن, نظرًا لأنه من المستحيل اختبار جميع الخطوط الأفقية الممكنة, يحتاج HLT إلى محاولة استخدام الوسائل الجبرية, إلا إذا رأيت بصريًا حالة واضحة لخط أفقي من شأنه أن يجعل الدالة تفشل في الاختبار.

استخدام اختبار الخط الأفقي (تحليلياً)

الخطوة 1: ابدأ بوظيفة صالحة معينة f(x), وستقوم بتعيين مستوى الخط الأفقي بقيمة عشوائية قدرها y
الخطوة 2: لذلك قمت بتعيين المعادلة: y = f(x), والهدف هو حل x
الخطوه 3: لا توجد استراتيجية واحدة لذلك حل هذه المعادلة حيث أن ذلك يعتمد على طبيعة الدالة f(x). إذا كانت f(x) دالة خطية أو تربيعية بسيطة, فمن السهل جدًا حلها من أجل x. إذا لم يكن الأمر كذلك, فيجب اختبار طرق مختلفة
الخطوة 4: إذا وجدت عند حل x أكثر من حل واحد لـ y عشوائيًا, فستفشل الدالة في HLT. وإلا فإذا كان هناك حل واحد أو لم يكن هناك حل فإنه يمرره.

يتم استخلاص الكسور التي تم استخلاصها فقط بمجموع الكسور: لطرح الكسور , يمكنك فقط مضاعفة الثانية من -1 , وإضافتها إلى الأول .

هل يمكن للخط الأفقي أن يأخذ قيمًا سالبة أو موجبة؟

المفتاح الرئيسي للتنفيذ التحليلي لـ HLT هو اختيار خط أفقي تعسفي. يمكن أن تكون قيمة تعسفية, إما إيجابية أو سلبية. بعد ذلك, قد تحدد القيمة التعسفية لـ y المستخدمة ما إذا كانت الحلول المقترحة محددة جيدًا أم لا, ولكن هذا لا يضيف المزيد من الحلول, بل يمكن أن يطرح الحلول بدلاً من ذلك.

على سبيل المثال, عندما تبدأ بـ \(f(x)= \frac{2x+1}{x-1}\), وتحل لـ x هذا: \(y = \frac{2x+1}{x-1}\), فسوف تصل إلى

\(x = \frac{y+1}{y-2}\)

مما يعني أنه بالنسبة لـ \(y\) لديك حل واحد على الأكثر. لماذا حل واحد على الأكثر؟ لأنه عندما تكون y = 2 لا يوجد حل فعليًا, ولأي y أخرى, يوجد حل واحد. يعمل هذا بشكل رائع لإظهار أن الوظيفة تجتاز اختبار الخط الأفقي.

مثال: اجتياز hlt

هل تمر الوظيفة التالية بـ HLT: \(f(x) = \frac{1}{3} x + \frac{5}{4}\) ؟

حل:

الوظيفة التي تم توفيرها هي:

\[f\left(x\right) = \frac13x+\frac54\]

بعد ذلك, من أجل تقييم ما إذا كانت الدالة المعطاة قد اجتازت اختبار الخط الأفقي أم لا, نحتاج إلى حل \(x\) وتحديد ما إذا كان لا يوجد حل, أو حل واحد, أو حلول متعددة. معادلة البداية هي

\[y=\frac{1}{3}x+\frac{5}{4}\]

حل المعادلة الخطية

وضع \(x\) على الجانب الأيسر و \(y\) والثابت على الجانب الأيمن الذي نحصل عليه

\[\displaystyle -\frac{1}{3}x = -y -\left(-\frac{5}{4}\right)\]

الآن , حل \(x\), من خلال تقسيم جانبي المعادلة بواسطة \(-\frac{1}{3}\), يتم الحصول على ما يلي

\[\displaystyle x=-\frac{1}{-\frac{1}{3}}y+\frac{\frac{5}{4}}{-\frac{1}{3}}\]

وتبسيط نحصل أخيرًا على ما يلي

\[\displaystyle x=3y-\frac{15}{4}\]

ولذلك, فإن حل \(x\) لمعادلة خطية معينة يؤدي إلى \(x = 3y-\frac{15}{4}\).

نجد أنه عند حل \(x\) نجد حلاً وهو حل واحد فقط, فإن الدالة المعطاة تجتاز اختبار الخط الأفقي.

نتائج اختبار الخط الأفقي

بناءً على العمل الموضح أعلاه, يمكن استنتاج أن الوظيفة المحددة اجتازت اختبار الخط الأفقي.

بيانيا, يتم تصوير الوضع على النحو التالي:

مثال: هل هذه الدالة واحد لواحد؟

باستخدام اختبار الخط الأفقي, حدد ما إذا كانت الوظيفة التالية واحدة لواحد: \(f(x) = x^3 - 1\)

حل: من أجل تقييم ما إذا كانت الدالة المعطاة تجتاز اختبار الخط الأفقي أم لا, نحتاج إلى حل المعادلة \(y = x^3 - 1\) لـ \(x\) وتحديد ما إذا كان لا يوجد حل, أو حل واحد, أو حلول متعددة.

خطوة أولية: في هذه الحالة, نحتاج أولاً إلى تبسيط المعادلة المعطاة, وللقيام بذلك, نقوم بخطوات التبسيط التالية:

\( \displaystyle y-\left(x^3-1\right) = 0\)

The multiplication by -1 gets distributed as follows: \(-\left(-1+x^3\right) = 1-x^3\)

\( \displaystyle \Rightarrow \,\, \,\,\)

\(\displaystyle y+1-x^3 = 0\)

\( \displaystyle -x^3+y+1 = 0\)

Keeping the term with \(x\) on one side and the rest on the other side

\( \displaystyle \,\,\)

\(\displaystyle \Rightarrow \,\,\,\,-x^3 = -y-1\)

Multiplying both sides of the equation by -1

\( \displaystyle \,\,\)

\(\displaystyle \Rightarrow \,\,\,\,x^3 = y+1\)

Cancelling the cubed power on the variable x

\( \displaystyle \,\,\)

\(\displaystyle \Rightarrow \,\,\,\,x=\left(y+1\right)^{\frac{1}{3}}, \,\,x=\frac{1}{2}\left(y+1\right)^{\frac{1}{3}}\left(i\sqrt{3}-1\right), \,\,x=-\frac{1}{2}\left(y+1\right)^{\frac{1}{3}}\left(i\sqrt{3}+1\right)\)

ومن ثم نحصل على الحلول:

\[x_1=\left(y+1\right)^{\frac{1}{3}} \] \[x_2=\frac{1}{2}\left(y+1\right)^{\frac{1}{3}}\left(i\sqrt{3}-1\right) \] \[x_3=-\frac{1}{2}\left(y+1\right)^{\frac{1}{3}}\left(i\sqrt{3}+1\right) \]

من بين هذه الحلول, لدينا حل حقيقي واحد فقط, وهو \(x_1=\left(y+1\right)^{\frac{1}{3}}\). لذلك, وبما أنه عند حل \(x\) نجد حلاً وهو حل حقيقي واحد فقط, فإن الدالة المعطاة تجتاز اختبار الخط الأفقي.

                                    
                                        نتيجة اختبار الخط الأفقي
                                    
                                    Based on what was found above, it can be concluded that the given function passes the Horizontal Line Test.