Ulteriori informazioni sui derivati
Nella seconda parte di questo tutorial, lavoreremo su altri esempi leggermente più complicati.
Esempio: Data la funzione \(f(x) = x^3 + 2x+1\), calcola la derivata \(f'(x)\) per ogni punto in cui è definita.
Soluzione: Si noti che in questo problema non ci danno un punto specifico in cui calcolare la derivata. Dobbiamo calcolare in un punto arbitrario \(x_0\). Come lo facciamo? Bene, seguiamo solo la definizione:
\[f'(x_0) = \lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\]e ora usiamo la definizione di \(f(x)\). Otteniamo infatti:
\[f'(x_0) = \lim_{x\to x_0} \frac{(x^3+2x+1)-(x_0^3+2x_0 +1)}{x-x_0} =\lim_{x\to 0} \frac{x^3+2x+1-x_0^3-2x_0 -1}{x-x_0} \] \[= \lim_{x\to x_0} \frac{x^3-x_0^3 + 2x-2x_0}{x-x_0} \]Ora usiamo un piccolo e preciso trucco algebrico:
\[x^3 - x_0^3 = (x-x_0)(x^2+xx_0+x_0^2)\]Adesso fai attenzione. Usiamo questo piccolo trucco nell'ultima parte del calcolo della derivata e lo troviamo
\[f'(x_0) = \lim_{x\to x_0} \frac{x^3-x_0^3 + 2x-2x_0}{x-x_0} = \lim_{x\to 0} \frac{(x-x_0)(x^2+xx_0+x_0^2) + 2x-2x_0}{x-x_0} \]Come puoi osservare, possiamo annullare \(x-x_0\) e finalmente otteniamo
\[f'(x_0) = \lim_{x\to x_0} (x^2+xx_0+x_0^2 + 2) = x_0^2 + x_0^2+x_0^2+2 = 3x_0^2 +2\]In altre parole, la funzione derivativa è \(f'(x) = 3x^2+2\). Vedi? Questo è ciò che intendevo quando ho detto che anche la derivata è una funzione. In questo caso, la derivata è ben definita per tutti \(x\in \mathbb R\).
Sì, è vero che avevamo bisogno di alcuni accorgimenti per calcolare la derivata. Allora, come lo farai ?? Lascia che ti dica una cosa, non calcolerai derivati a mano in quel modo la maggior parte del tempo. Nel prossimo tutorial, te ne presenterò alcuni strumenti che rendono molto facile il calcolo dei derivati .
Quindi, aspetta fino al prossimo.