Domanda 1: In uno studio classico sull'attaccamento infantile, Harlow (1959) mise scimmie neonate in gabbie con due madri surrogate artificiali. Una "madre" era fatta di rete metallica nuda e conteneva un biberon da cui i bambini potevano nutrirsi. L'altra madre era in morbida spugna e non forniva alcun accesso al cibo. Harlow ha osservato le scimmie neonate e ha registrato quanto tempo al giorno veniva trascorso con ciascuna madre. In una giornata tipo, i bambini hanno trascorso un totale di 18 ore aggrappati a una delle due madri. Se non ci fosse preferenza tra i due, ti aspetteresti che il tempo sia diviso equamente, con una media di µ = 9 ore per ciascuna delle madri. Tuttavia, la tipica scimmia trascorreva circa 15 ore al giorno con la madre in spugna, indicando una forte preferenza per la madre morbida e coccolona. Supponiamo che un campione di n = 9 scimmie neonate abbia una media di M = 15,3 ore al giorno con SS = 216 con la madre in spugna. Questo risultato è sufficiente per concludere che le scimmie trascorrevano molto più tempo con la madre più morbida di quanto ci si aspetterebbe se non ci fossero preferenze? Utilizza un test a due code con \(\alpha = .05\).

Soluzione: Vogliamo testare quanto segue ipotesi nulle e alternative

\[\begin{align}{{H}_{0}}:\mu {=} {9}\, \\ {{H}_{A}}:\mu {\ne} {9} \\ \end{align}\]

Poiché la deviazione standard della popolazione $ \ sigma $ è sconosciuta, dobbiamo utilizzare un test t con la seguente formula:

\[t=\frac{M-\mu }{s/\sqrt{n}}\]

Ciò corrisponde a un test t a due code.

\[s=\sqrt{\frac{SS}{n-1}}=\sqrt{27}=5.196152\]

La statistica t è calcolata dalla seguente formula:

\[t=\frac{M-\mu }{s/\sqrt{n}}=\frac{15.3-9}{5.1962/\sqrt{9}}=3.6373\]

Il valore critico per \(\alpha = 0.05\) e per df = n- 1 = 9-1 = 8 gradi di libertà per questo test a due code è \(t_{c} = 2.31\). La regione di rifiuto è data da

\[R=\left\{ t:\,\,\,|t|>{2.31} \right\}\]

Poiché \(|t| = 3.6373 {>} t_c = 2.31\), rifiutiamo l'ipotesi nulla H ₀ .

Quindi, abbiamo prove sufficienti per sostenere l'affermazione che le scimmie trascorrevano molto più tempo con la madre più morbida di quanto ci si aspetterebbe se non ci fossero preferenze.

Domanda 2: Data una dimensione del campione di 38, con media campionaria 660,3 e deviazione standard campionaria 95,9, dobbiamo eseguire il seguente test di ipotesi.

Ipotesi nulla H0: μ = 700

Ipotesi alternativa H0: μ ≠ 700

A livello di significatività 0,05

un. Calcola le statistiche del test
(Suggerimento: questo è il caso in cui testiamo l'affermazione sulla media della popolazione con deviazione standard della popolazione non nota; 95,9 è una deviazione standard del campione e non una deviazione standard della popolazione).

b. Utilizzare la Tabella A-3 per trovare il valore critico per questo test e prendere una decisione:
rifiutare o non rifiutare l'ipotesi nulla

Soluzione: a) Il nostro interesse è verificare le seguenti ipotesi nulle e alternative

\[\begin{align}{{H}_{0}}:\mu {=} {700}\, \\ {{H}_{A}}:\mu {\ne} {700} \\ \end{align}\]

Poiché la deviazione standard della popolazione \(\sigma\) è sconosciuta, dobbiamo utilizzare un test t con la seguente espressione:

\[t =\frac{\bar{X}-\mu }{s / \sqrt{n}}\]

Ciò corrisponde a un test t a due code. La statistica t è calcolata dalla seguente formula:

\[t=\frac{\bar{X}-\mu }{s /\sqrt{n}}=\frac{{660.3}-700}{95.9/\sqrt{38}}={-2.5519}\]

b) Il valore critico per \(\alpha = 0.05\) e per \(df = n- 1 = 38 -1 = 37\) gradi di libertà per questo test a due code è \(t_{c} = 2.026\). La regione di rifiuto è data da

\[R=\left\{ t:\,\,\,|t|>{2.026} \right\}\]

Poiché \(|t| = 2.5519 {>} t_c = 2.026\), rifiutiamo l'ipotesi nulla H ₀ .

Quindi, abbiamo prove sufficienti per sostenere l'affermazione che la media della popolazione è diversa da 700.

Domanda 3: Un agente immobiliare desidera determinare se i periti fiscali e i periti immobiliari concordano sui valori delle case. Un campione casuale dei due gruppi ha valutato 10 case. I dati sono mostrati qui. C'è una differenza significativa nei valori delle case per ogni gruppo? Usa a = 0,05.

	Periti immobiliari	Tax assessors
Mean	$ 83.256	$ 88.354
Deviazione standard	$ 3256	$ 2340
Sample size	10	10

Soluzione: Siamo interessati ai test

\[\begin{align}{{H}_{0}}:{{\mu }_{1}} {=} {{\mu }_{2}} \\ {{H}_{A}}:{{\mu }_{1}} {\ne} {{\mu }_{2}} \\ \end{align}\]

che corrisponde a un test t di campioni indipendenti a due code. Prima di applicare il test t, è necessario verificare se le varianze possono essere presunte uguali o meno. Dobbiamo testare

\[\begin{align}{{H}_{0}}:\sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2} \\{{H}_{A}}:\sigma _{1}^{2}\ne \sigma _{2}^{2} \\ \end{align}\]

La statistica F viene calcolata come

\[F=\frac{s_{1}^{2}}{s_{2}^{2}}=\frac{{3256}^{2}}{{2340}^{2}}=1.9361\]

I valori critici inferiore e superiore per \(\alpha =0.05\) e df ₁ = 9 e df ₂ = 9 sono

\[{{F}_{lower}}=0.2484,\,\,\,{{F}_{upper}}=4.026\]

il che significa che non riusciamo a rifiutare l'ipotesi nulla di varianze uguali. Osserva che stiamo assumendo che le varianze siano uguali, quindi la statistica t è calcolata come:

\[t=\frac{{{{\bar{X}}}_{1}}-{{{\bar{X}}}_{2}}}{{{s}_{p}}\sqrt{\frac{1}{{{n}_{1}}}+\frac{1}{{{n}_{2}}}}}\]

dove la deviazione standard aggregata viene calcolata come

\[{{s}_{p}}=\sqrt{\frac{\left( {{n}_{1}}-1 \right)s_{1}^{2}+\left( {{n}_{2}}-1 \right)s_{2}^{2}}{{{n}_{1}}+{{n}_{2}}-2}}=\sqrt{ \frac{9\times {3256}^{2}+9 \times {2340}^{2}}{9+9}}= {2835.2369}\]

Ciò significa che la statistica t è

\[t=\frac{{{{\bar{X}}}_{1}}-{{{\bar{X}}}_{2}}}{{{s}_{p}}\sqrt{\frac{1}{{{n}_{1}}}+\frac{1}{{{n}_{2}}}}}=\frac{{83256}-{88354}}{2835.2369\sqrt{\frac{1}{10}+\frac{1}{10}}}={-4.0206}\]

Il valore critico per \(\alpha = 0.05\) e per \(df = 18\) gradi di libertà per questo test a due code è \(t_{c} = 2.1\). La regione di rifiuto è data da

\[R=\left\{ t:\,\,\,|t|>{2.1} \right\}\]

Poiché \(|t| = 4.0206 {>} t_c = 2.1\), rifiutiamo l'ipotesi nulla H ₀ .

Quindi, abbiamo prove sufficienti per sostenere l'affermazione che c'è una differenza significativa nei valori delle case per ogni gruppo.