Подробнее о вторых производных

Этот калькулятор поможет вам вычислить вторую производную любой заданной вами функции, показывая все этапы процесса. Все, что вам нужно сделать, это предоставить действительную дифференцируемую функцию.

Допустимой функцией может быть f(x) = x*tan(x), или f(x) = 3x^3 + 2x - 1 и т. д. Это может быть любая действительная функция, и она не обязательно должна быть упрощенной, поскольку калькулятор упростит ее, если это потребуется.

После того, как вы предоставили действительную функцию, вы можете нажать кнопку "Рассчитать", чтобы получить все вычисления и шаги, показанные на рисунке.

Вторые производные имеют огромное практическое значение во многих приложениях, особенно в Calculus, с тестом второй производной на максимизацию и минимизацию, чтобы оценить, является ли критическая точка максимумом, минимумом или нет.

Что такое вторая производная

Проще говоря, вторая производная - это просто производная от производной. Таким образом, процесс вычисления второй производной включает в себя вычисление производной один раз, а затем другой раз, используя общую формулу Правила производных . Вторая производная функции \(f(x)\) обычно записывается как \(f''(x)\).

Идея второй производной также применима к частные производные и соответствует производной дважды, но в этом случае она может быть вычислена относительно разных переменных.

Этапы вычисления второй производной

• Шаг 1: Определите функцию f(x), которую вы хотите дифференцировать дважды, и упростить как можно раньше
• Шаг 2: Продифференцируем один раз, чтобы получить производную f'(x). При необходимости упростите полученную производную.
• Шаг 3: Дифференцируйте теперь f'(x), чтобы получить вторую производную f''(x)

Шаги кажутся простыми, но в зависимости от заданной функции, количество алгебраические вычисления может быть большим.

Обозначение второй производной

Наиболее распространенное обозначение для второй производной - \(f''(x)\), что хорошо отражает тот факт, что операция производной, обозначаемая ', применяется к функции дважды.

Существует и другая нотация для второй производной, которая особенно полезна, когда функция \(f(x)\) обозначается как 'y = y(x)'. Тогда мы используем следующее обозначение для второй производной.

\[\displaystyle \frac{d^2y}{dx^2} = \displaystyle \frac{d}{dx} \left(\frac{dy}{dx}\right) \]

Этапы вычисления вторых производных для неявных функций

• Шаг 1: Определите уравнение, включающее x и y
• Шаг 2: Дифференцируйте обе части равенства. Каждая сторона потенциально может зависеть от x, y и y'. Упростите очевидные термины, но это не обязательно
• Шаг 3: Снова продифференцируем обе части равенства. Каждая сторона потенциально может зависеть от x, y, y' и y''. Затем найдите y''

Обычно гораздо проще вычислить вторую производную путем неявного дифференцирования, чем сначала решать y по x, а затем дифференцировать, в случае, если x и y определяются неявно уравнением, как \(x^2 + y^2 = 1\).

Вторая производная в точке

Как и производная, вторая производная - это функция, определяемая по точкам. Обратите внимание, что распространенной ошибкой студентов является мысль о том, что раз я хочу дифференцировать в точке, а функция, оцениваемая в точке, постоянна, то и ее производная должна быть постоянной. НЕВЕРНО. Сначала вычислить производную , а потом оцениваете.

Пример: вычисление второй производной

Вычислите вторую производную от : \(f(x) = \cos(x^2)\)

Отвечать: В этом примере мы вычислим вторую производную функции \(\displaystyle f(x)=\cos\left(x^2\right)\).

Вторая Производная: Теперь продифференцируем полученную таким образом производную, чтобы получить вторую производную:

Окончательное Заключение : Находим, что искомая вторая производная имеет вид:

\[f''(x) = -4x^2\cos\left(x^2\right)-2\sin\left(x^2\right)\]

Пример: больше вторых производных

Для следующей функции : \(f(x) = x \cos(x)\), вычислите ее вторую производную

Отвечать: Теперь проделаем то же самое в tis \(\displaystyle f(x)=x\cos\left(x\right)\), для которого нужно вычислить его производную.

Функция уже упрощена, поэтому мы можем перейти непосредственно к вычислению ее производной:

Вычисление Второй Производной: Следующим шагом является дифференцирование производной, полученной на предыдущих этапах:

Вывод Второй Производной : Делаем вывод, что вторая производная данной функции равна a:

\[f''(x) = -x\cos\left(x\right)-2\sin\left(x\right)\]

Пример: вторая производная и неявное дифференцирование

Используя неявное дифференцирование, вычислите вторую производную y по x для \( x^2 + y^2 = 1\).

Отвечать: Применяем неявное дифференцирование, предполагая, что y зависит от x, и дифференцируем обе части равенства:

\[ \frac{d}{dx}\left(x^2 + y^2\right) = \frac{d}{dx} (1) \] \[ \Rightarrow 2x + 2yy' = 0 \]

Теперь снова применим неявное дифференцирование:

\[ \frac{d}{dx}\left( 2x + 2yy' \right) = \frac{d}{dx} 0 \] \[ \Rightarrow 2 + 2y'^2+2yy'' = 0 \] \[ \Rightarrow 2y'^2 + 2yy'' = -2\] \[ \Rightarrow yy'' = -1 - y'^2 \] \[ \Rightarrow y'' = \frac{-1 - y'^2}{y} \]

чем завершается расчет.

Другие производные калькуляторы

Когда нахождение производной функции, естественно подумать о том, чтобы повторить процесс, который заключается в нахождении производной производной, и это именно то, что это калькулятор второй производной делает.

Понятие второй производной весьма полезно в исчислении, особенно во время максимизации или минимизации функций. Вторая производная дает вам информацию о вогнутости функции, что также важно в то время, чтобы понять форму график функции .

Вторые производные можно вычислять как для обычных производных, так и для неявное дифференцирование , в котором вы дважды вычисляете правило неявного дифференцирования.