Калькулятор градиента

Этот калькулятор градиента с шагами поможет вам найти вектор градиента данной многомерной функции, которую вы предоставляете. Эта функция должна быть допустимой, дифференцируемой функцией с 2 или более переменными.

Предоставляемая вами функция должна сопровождаться полным определением имени переменной и функции, например f(x, y) = x^2 + y^2 или f(x,y,z) = xy+z*sin. (ху) и т. д.

Как только действительная функция с несколькими переменными предоставлена, все, что осталось сделать, это нажать кнопку "Рассчитать", чтобы получить все показанные шаги.

Градиенты представляют собой естественное расширение производных для ситуации с несколькими переменными, в которой скорость изменения лучше определяется вектором, чем числом.

Что такое градиент

Проще говоря, градиент — это вектор, содержащий все частные производные первого порядка функции многих переменных \(f\). Тогда для функции двух переменных \(f(x, y)\) ее градиент будет двумерным вектором \(\nabla f(x, y) = \displaystyle \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}\right)\).

Точно так же для функции трех переменных \(f(x, y, z\) ее градиентом будет трехмерный вектор \(\nabla f(x, y, z) = \displaystyle \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}\right)\) и так далее.

Шаги для вычисления градиента

• Шаг 1: Определите функцию f, с которой вы хотите работать, и укажите количество задействованных переменных.
• Шаг 2: Найдите первый заказ Частичная производная по каждой из переменных
• Шаг 3: Создайте градиент как вектор, который содержит все частные производные первого порядка, найденные на шаге 2.

При желании вы можете упростить, если это возможно, после завершения шага 3. Затем с помощью градиента у вас есть версия того, что является производной для одномерной функции, в данном случае для многомерной функции.

Применение градиента

Так же, как и в случае одномерных функций при поиске критических точек нам нужно найти точки, в которых производная равна нулю, для многомерных функций нам нужно искать точки, в которых градиент равен нулю, чтобы найти критические точки.

Кроме того, эквивалент тестов второй производной представлен в виде правила Гессе для многомерных функций.

Советы и рекомендации

Помните, что Градиент определяется для многомерных функций с двумя или более переменными. Также имейте в виду, что градиент — это вектор, где каждый из компонентов — это функция. Точнее, каждый из его компонентов представляет собой Частичная производная первого порядка.

В качестве проверки своей работы не забывайте, что градиент — это вектор, размерность которого равна количеству независимых переменных, определенных в функции.

Пример: калькулятор градиента

Найдите градиент, связанный с функцией: \(f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2\)

Отвечать: Мы рассматриваем следующую многомерную функцию: \(\displaystyle f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2\), поэтому нам нужно вычислить ее градиент.

Дифференцирование по \(x\)

Дифференцирование по \(y\)

Дифференцирование по \(z\)

Заключение: Следовательно, можно сделать вывод, что градиент заданной функции \(\displaystyle f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2 \) равен:

\[ \nabla f = \left(2x,2y,2z\right)\]

Пример расчета градиента

Для следующей функции: \(f(x, y) = xy\) найдите ее градиент.

Отвечать: Для этого примера у нас есть функция двух переменных x и y: \(\displaystyle f(x,y)=xy\).

Во-первых, дифференцируя по x

Теперь продифференцируем по y

Заключение: Непосредственно получаем, что градиент функции \(\displaystyle f(x,y)=xy \) равен:

\[ \nabla f = \left(y, x\right)\]

Еще примеры градиентов

Вычислите соответствующий градиент \( f(x, y) = x^2 - y^2 - xy \).

Отвечать: Наконец, в этом примере необходимо проанализировать следующую функцию: \(\displaystyle f(x,y)=x^2-y^2-xy\). Поскольку это многомерная функция, имеет смысл вычислить ее градиент.

Шаг 2: Найдите производную относительно \(x\)

Шаг 2: Найдите производную относительно \(y\)

Заключение: Следовательно, можно сделать вывод, что градиент заданной функции \(\displaystyle f(x,y)=x^2-y^2-xy \) равен:

\[ \nabla f = \left(2x-y,-x-2y\right)\]

Другие производные калькуляторы

Используя производный калькулятор определенно может облегчить вашу жизнь, поскольку позволит вам отслеживать все Правила производных .

Большинство из правила дифференциации используемые для одномерных функций, имеют эквивалент для многомерных функций. Таким образом, Правило цепи , Правило Продукта а также правило квоты также будет работать для многомерной функции, учитывая правильные размеры.