उत्पाद नियम पर अधिक
यह कैलकुलेटर आपको उत्पाद नियम का उपयोग करके कार्यों के व्युत्पन्न को खोजने में मदद करेगा।कैलकुलेटर का उपयोग करने के लिए, आपको एक वैध फ़ंक्शन प्रदान करने की आवश्यकता है जिसके लिए कोई उत्पाद शामिल है।
एक मान्य फ़ंक्शन का एक उदाहरण कुछ f (x) = x*sin (x), या G (x) = sin (x)*cos (x) की तरह कुछ हो सकता है, बस कुछ का उल्लेख करने के लिए।
फिर, हम उस फ़ंक्शन को टाइप कर रहे हैं जिसके लिए आप उत्पाद नियम का उपयोग करना चाहते हैं, फिर आपको क्लिक करना होगा, आपको बस "गणना" बटन पर क्लिक करने की आवश्यकता है, और गणना के सभी चरण प्रदान किए जाएंगे।आपको।
व्युत्पन्न के पहले नियम में से एक जो आप सीखेंगे, वह वास्तव में उत्पाद नियम है, क्योंकि आप जो कार्य प्राथमिक कार्यों से निर्मित करते हैं, उनमें से अधिकांश कार्यों के उत्पाद का उपयोग करते हैं।
उत्पाद नियम सूत्र
सीखने के बारे में
वmuntumam नियम
शायद पहला है जब आप सीखेंगे कि कैसे सीखें
तमाम
एक समारोह का।और एक पहला नियम जो आप सीखेंगे, वह है उत्पाद नियम, एक शक के बिना।
उत्पाद नियम, बस डाल दिया, एक नियम है जो आपको कार्यों के उत्पाद के व्युत्पन्न की गणना करने में मदद करता है।उत्पाद नियम सूत्र है:
\[\displaystyle (f(x) g(x))' = f'(x) g(x) + f(x) g'(x) \]
उत्पाद नियम का उपयोग करने के लिए कदम
-
Letsunt 1:
स्पष्ट रूप से फ़ंक्शंस f (x) और g (x) को पहचानें जो आपके साथ काम कर रहे उत्पाद को बनाते हैं
-
Therur the:
उत्पाद संरचना को ध्यान में रखते हुए, यदि आवश्यक हो तो सरलीकरण करें
-
Theirण 3:
उत्पाद नियम सूत्र का उपयोग करें: \((f(x) g(x))' = f'(x) g(x) + f(x) g'(x) \) जिसमें फ़ंक्शंस f (x) और g (x) के मान को प्लग करना शामिल है, साथ ही इसके डेरिवेटिव f '(x) और g' (x)
एक उत्पाद नियम व्युत्पन्न के साथ काम करके, आप अनिवार्य रूप से व्यक्तिगत कार्यों और उनके डेरिवेटिव के ज्ञान के आधार पर उत्पाद का व्युत्पन्न प्राप्त कर रहे हैं।
अन्य व्युत्पन्न नियम क्या हैं?
उत्पाद नियम के अलावा, अन्य महत्वपूर्ण नियम हैं जैसे कि रैखिकता नियम,
तंग
जो बताता है कि \(\frac{d}{dx} \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) = \frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}\), और
तिहाई
, जो बताता है कि \(\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x))g'(x)\)।
आपको अन्य नियम भी मिलेंगे, जैसे कि शक्ति नियम, जो इंगित करता है कि \(\frac{d}{dx} x^n = n x^{n-1}\), एक स्थिर \(n\) के लिए।
युक्तियाँ और चालें
उत्पाद नियम को एक व्युत्पन्न गुणा नियम के रूप में माना जा सकता है, और उत्पाद नियम कैलकुलस में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है, इसलिए यह इसे अच्छी तरह से सीखने के लिए भुगतान करता है।
ध्यान दें कि बहु -परिवर्तनीय कार्यों के मामले में, आप उत्पाद नियम को संचालित करने के लिए मैट्रिक्स गुणन के नियम का उपयोग कर सकते हैं।
उदाहरण: उत्पाद नियम का उपयोग करना
की गणना: \(f(x) = (x-1)(2x+1) \)
तमाम:
हम निम्नलिखित फ़ंक्शन पर विचार करते हैं \(\displaystyle f(x)=\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\), जिसे विभेदित करने की आवश्यकता है।
\( \displaystyle \frac{d}{dx}\left(\left(2x+1\right)\left(x-1\right)\right)\)
By using the Product Rule: \(\frac{d}{dx}\left( \left(2x+1\right)\left(x-1\right) \right) = \frac{d}{dx}\left(2x+1\right) \cdot \left(x-1\right)+\left(2x+1 \right) \cdot \frac{d}{dx}\left(x-1\right)\)
\( \displaystyle = \,\,\)
\(\displaystyle \frac{d}{dx}\left(2x+1\right) \cdot \left(x-1\right)+\left(2x+1 \right) \cdot \frac{d}{dx}\left(x-1\right)\)
By linearity, we know \(\frac{d}{dx}\left( x-1 \right) = \frac{d}{dx}\left(x\right)-\frac{d}{dx}\left(1\right)\) and \(\frac{d}{dx}\left( 2x+1 \right) = \frac{d}{dx}\left(2x\right)+\frac{d}{dx}\left(1\right)\), so plugging that in:
\( \displaystyle = \,\,\)
\(\displaystyle \left(\frac{d}{dx}\left(2x\right)+\frac{d}{dx}\left(1\right)\right) \left(x-1\right)+\left(2x+1 \right) \left(\frac{d}{dx}\left(x\right)-\frac{d}{dx}\left(1\right)\right)\)
Since the derivative of a constant is 0, we find that:
\( \displaystyle = \,\,\)
\(\displaystyle \left(\frac{d}{dx}\left(2x\right)\right) \left(x-1\right)+\left(2x+1 \right) \left(\frac{d}{dx}\left(x\right)\right)\)
It is known that \(\frac{d}{dx}\left(x\right) = 1\)
\( \displaystyle = \,\,\)
\(\displaystyle \left(\frac{d}{dx}\left(2x\right)\right) \left(x-1\right)+\left(2x+1 \right)\)
So, we directly get: \(\frac{d}{dx}\left( 2x \right) = 2\)
\( \displaystyle = \,\,\)
\(\displaystyle \left(2\right) \left(x-1\right)+\left(2x+1 \right)\)
\( \displaystyle = \,\,\)
\(\displaystyle 2x+1+2\left(x-1\right)\)
Note that \((2) \cdot (x-1) = 2x-2\cdot 1 = 2x-2\), due to the fact that we can use the distributive property on each term of the expression on the left, with respect to the terms on the right
\( \displaystyle = \,\,\)
\(\displaystyle 2x+1+2x-2\)
Grouping the terms with \(x\)
\( \displaystyle = \,\,\)
\(\displaystyle \left(2+2\right)x+1-2\)
Grouping together numerical values and operating the terms that were grouped with \(x\)
\( \displaystyle = \,\,\)
\(\displaystyle 4x+1-2\)
Reducing the integers that can be subtracted together: \(\displaystyle 1-2 = -1\)
\( \displaystyle = \,\,\)
\(\displaystyle 4x-1\)
तिहाई
: इसलिए, यह निष्कर्ष निकाला गया है कि फ़ंक्शन का व्युत्पन्न है:
\[f'(x) = 4x-1\]
ग्राफिक रूप से, निम्नलिखित कथानक स्थिति को दर्शाता है:
उत्पाद नियम उदाहरण
का व्युत्पन्न खोजें: \(f(x) = x \sin(x)\)
तमाम:
इस उदाहरण में दिया गया फ़ंक्शन \(\displaystyle f(x)=x\sin\left(x\right)\) है।चलो इसके व्युत्पन्न को खोजते हैं
\( \displaystyle \frac{d}{dx}\left(x\sin\left(x\right)\right)\)
हम उत्पाद नियम का उपयोग करते हैं: \(\frac{d}{dx}\left( x\sin\left(x\right) \right) = \frac{d}{dx}\left(x\right) \cdot \sin\left(x\right)+x \cdot \frac{d}{dx}\left(\sin\left(x\right)\right)\)
\( \displaystyle = \,\,\)
\(\displaystyle \frac{d}{dx}\left(x\right) \cdot \sin\left(x\right)+x \cdot \frac{d}{dx}\left(\sin\left(x\right)\right)\)
सीधे विभेदित करके हम पाते हैं: \(\frac{d}{dx}\left( \sin\left(x\right) \right) = \cos\left(x\right)\)
\( \displaystyle = \,\,\)
\(\displaystyle \frac{d}{dx}\left(x\right) \cdot \sin\left(x\right)+x \cdot \cos\left(x\right)\)
तो फिर सरल बनाने के बाद हमें वह मिलता है:
\( \displaystyle = \,\,\)
\(\displaystyle x\cos\left(x\right)+\sin\left(x\right)\)
तमाम
।
\[f'(x) = x\cos\left(x\right)+\sin\left(x\right)\]
निमthas गthaun kanirchaman फ़ंक kirraman फ़ंक r औ r इसके व व लिए लिए लिए लिए लिए लिए लिए लिए लिए लिए लिए लिए लिए लिए लिए लिए लिए
Vayraurण: एक अन अन अन अन उत
निमmun फ़ंक e को अलग अलग क क क क क क क क क क क अलग अलग अलग अलग अलग
सता:
अंत में, इस kasaurण के लिए लिए लिए kasa yaura yaura yagza \(\displaystyle f(x)=x\left(x+1\right)^2\)
\( \displaystyle \frac{d}{dx}\left(\left(x+1\right)^2x\right)\)
हम उत्पाद नियम का उपयोग करते हैं: \(\frac{d}{dx}\left( \left(x+1\right)^2x \right) = \frac{d}{dx}\left(\left(x+1\right)^2\right) \cdot x+\left(x+1\right)^2 \cdot \frac{d}{dx}\left(x\right)\)
\( \displaystyle = \,\,\)
\(\displaystyle \frac{d}{dx}\left(\left(x+1\right)^2\right) \cdot x+\left(x+1\right)^2 \cdot \frac{d}{dx}\left(x\right)\)
हम जानते हैं कि \(\frac{d}{dx}\left(x\right) = 1\)
\( \displaystyle = \,\,\)
\(\displaystyle \frac{d}{dx}\left(\left(x+1\right)^2\right) \cdot x+\left(x+1\right)^2 \)
एक निरंतर घातांक के लिए शक्ति नियम का उपयोग करना: \(\frac{d}{dx}\left( \left(x+1\right)^2 \right) = 2x+1\cdot \frac{d}{dx}\left(x+1\right)\)
\( \displaystyle = \,\,\)
\(\displaystyle \left(2x+1\cdot \frac{d}{dx}\left(x+1\right)\right) x+\left(x+1\right)^2 \)
रैखिकता से, हम जानते हैं \(\frac{d}{dx}\left( x+1 \right) = \frac{d}{dx}\left(x\right)+\frac{d}{dx}\left(1\right)\), इसलिए प्लगिंग में:
\( \displaystyle = \,\,\)
\(\displaystyle \left(2x+1\left(\frac{d}{dx}\left(x\right)+\frac{d}{dx}\left(1\right)\right)\right) x+\left(x+1\right)^2 \)
एक स्थिरांक का व्युत्पन्न 0 है, तो तो:
\( \displaystyle = \,\,\)
\(\displaystyle \left(2x+1\left(\frac{d}{dx}\left(x\right)\right)\right) x+\left(x+1\right)^2 \)
हम जानते हैं कि \(\frac{d}{dx}\left(x\right) = 1\)
\( \displaystyle = \,\,\)
\(\displaystyle \left(2x+1\right) x+\left(x+1\right)^2 \)
\( \displaystyle = \,\,\)
\(\displaystyle \left(x+1\right)^2+2\left(x+1\right)x\)
शर्तों का विस्तार: \(\left(x+1\right)^2 = \left(x+1\right)\left(x+1\right)\)
\( \displaystyle = \,\,\)
\(\displaystyle \left(x+1\right)\left(x+1\right)+2\left(x+1\right)x\)
निरीक्षण करें कि \((x+1) \cdot (x+1) = x^2+1x+1x+1^2 = x^2+2x+1\), जैसा कि हम दाईं ओर की शर्तों के संबंध में बाईं ओर अभिव्यक्ति के प्रत्येक शब्द पर वितरण संपत्ति का उपयोग कर सकते हैं
\( \displaystyle = \,\,\)
\(\displaystyle x^2+2x+1+2\left(x+1\right)x\)
ध्यान दें कि \((x+1) \cdot (x) = x^2+1x = x^2+x\), इस तथ्य के कारण कि हम बाईं ओर अभिव्यक्ति के प्रत्येक शब्द पर वितरण संपत्ति का उपयोग कर सकते हैं, दाईं ओर शर्तों के संबंध में
\( \displaystyle = \,\,\)
\(\displaystyle x^2+2x+1+2\left(x^2+x\right)\)
हम \((2) \cdot (x^2+x) = 2x^2+2x = 2x^2+2x\), बाईं ओर अभिव्यक्ति के प्रत्येक शब्द पर वितरण संपत्ति का उपयोग करके, दाईं ओर शर्तों के संबंध में, दाईं ओर की शर्तों के संबंध में
\( \displaystyle = \,\,\)
\(\displaystyle x^2+2x+1+2x^2+2x\)
\(x\), \(x^2\) के साथ शर्तों को समूहित करना
\( \displaystyle = \,\,\)
\(\displaystyle \left(2+2\right)x+\left(1+2\right)x^2+1\)
पूर्णांक को एक साथ रखना और उन शर्तों को सरल बनाना जो \(x\), \(x^2\) के साथ समूहीकृत किए गए थे
\( \displaystyle = \,\,\)
\(\displaystyle 4x+3x^2+1\)
\( \displaystyle = \,\,\)
\(\displaystyle \left(3x+1\right)\left(x+1\right)\)
तमाम
: ऊपर जो गणना की गई थी, उसके आधार पर, यह पाया जाता है कि इसी व्युत्पन्न है:
\[f'(x) = \left(3x+1\right)\left(x+1\right)\]
निमthas पthलॉट को दिए गए फ़ंक फ़ंक ktun के लिए लिए लिए rabirauth r प r प raniramaumaumaumataumataumathaumatamathauramautaumathas
व वmumautaun kryr
कुछ लोग इस बात से असहमत होंगे कि एकीकरण और कैलकुलस के केंद्रीय बिंदु के साथ भेदभाव।
अफ़सि
महत arecurcuth कौशल है जिसे आपको आपको कैलकुलस कैलकुलस कैलकुलस कैलकुलस कैलकुलस कैलकुलस कैलकुलस कैलकुलस raytaur के सीखने की की की की की की
आप kask के अलग -अलग 'स स सीख सीख सीख सकते सकते सकते सकते सकते सकते सकते सकते सकते सकते सीख सीख सीख
तंग
तंग
तंग
।
अनुपthurयोगों में kana हैं हैं
तमाम
तंग, अफ़रिश्र
रोटी
, Kasha ही kanaut उच kraur per डे rirिवेटिव kayrिवेटिव kasta उपयोग
तड़प
।
