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आंशिक व्युत्पन्न कैलकुलेटर

सराय: इस आंशिक व्युत्पन्न कैलकुलेटर का उपयोग एक से अधिक चर के एक फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को खोजने के लिए करें जो आप एक विशिष्ट चर के संबंध में प्रदान करते हैं, प्रक्रिया के सभी चरणों को दिखाते हैं।कृपया उस फ़ंक्शन को टाइप करें जिसे आप नीचे दिए गए बॉक्स में व्युत्पन्न की गणना करना चाहते हैं।

आंशिक व्युत्पन्न के बारे में

यह कैलकुलेटर आपको किसी दिए गए चर के संबंध में आपके द्वारा प्रदान किए गए किसी भी मान्य विभाज्य फ़ंक्शन के आंशिक व्युत्पन्न की गणना करने की अनुमति देगा।

आपके द्वारा प्रदान किए जाने वाले फ़ंक्शन को एक फ़ंक्शन परिभाषा के साथ आने की आवश्यकता होती है, जैसे f (x, y) = x^3 + y^2।यदि आप XY+x^2 की तरह कुछ लिखते हैं, तो पूरी परिभाषा के बिना, यह माना जाएगा कि दो चर X और y का एक फ़ंक्शन प्रदान किया गया है।

एक बार जब आप एक मान्य विभाज्य फ़ंक्शन और एक मान्य चर प्रदान करते हैं, तो अगला चरण प्रक्रिया के सभी चरणों को दिखाने के लिए "गणना" बटन पर क्लिक करना है, सभी के साथ, सभी के साथ वmuntumam नियम , स्पष्ट रूप से कहा गया है।

तमाम , और कई चर आंशिक डेरिवेटिव के लिए उनके प्राकृतिक विस्तार गणित, अवधि में अध्ययन के सबसे महत्वपूर्ण विषयों में से हैं।ऐसा इसलिए है क्योंकि वे कई मॉडलों के परिवर्तन और प्रवाह की दर से निपटते हैं जो अक्सर अनुप्रयोगों में दिखाई देते हैं।

आंशिक व्युत्पन्न क्या है?

सरल शब्दों में, एक आंशिक व्युत्पन्न में एक चर के संबंध में एक नियमित भेदभाव के रूप में एक ही संचालन होता है, यह मानते हुए कि बाकी चर स्थिर हैं।

यदि हम औपचारिक रूप से एक आंशिक व्युत्पन्न को परिभाषित करते हैं, तो इसे आसान बनाते हैं और इसे दो चर के एक समारोह के लिए करते हैं, \(x\) और \(y\)।\(x\) के संबंध में आंशिक व्युत्पन्न \((x_0, y_0)\) है

\[\frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0) = \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h, y_0) - f(x_0, y_0)}{h} \]

इसलिए, जैसा कि हम देख सकते हैं, यह अनिवार्य रूप से नियमित व्युत्पन्न की परिभाषा के समान है, केवल यह कि एक और चर है, लेकिन यह गणना की प्रक्रिया में स्थिर रहता है।

इसी तरह, \(y\) के संबंध में आंशिक व्युत्पन्न \((x_0, y_0)\) है

\[\frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0) = \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0, y_0 + h) - f(x_0, y_0)}{h} \]

सभी आंशिक डेरिवेटिव के वेक्टर को ग्रेडिएंट कहा जाता है।यदि आपको वास्तव में सभी आंशिक डेरिवेटिव प्राप्त करने की आवश्यकता है, तो आप इसका उपयोग कर सकते हैं सराय ।

आंशिक डेरिवेटिव की गणना के लिए कदम

Letsunt 1: उस फ़ंक्शन को पहचानें जिसे आप आंशिक व्युत्पन्न की गणना करना चाहते हैं।पहले इसे सरल बनाना सुनिश्चित करें
Therur the: निरीक्षण करें कि सभी फ़ंक्शन अलग -अलग नहीं हैं, इसलिए आपको यह सुनिश्चित करने की आवश्यकता है कि इसमें शामिल फ़ंक्शन वास्तव में अलग है
Theirण 3: फ़ंक्शन के लिए सभी उपयुक्त व्युत्पन्न नियमों का उपयोग करें, और फ़ंक्शन को अलग करें जैसा कि आप सामान्य रूप से अलग -अलग चर के संबंध में करेंगे, और किसी भी अन्य चर को स्थिर मानते हैं

इस तरह, जब हम 'x^2+y^2' जैसी किसी चीज़ के लिए x के संबंध में आंशिक व्युत्पन्न करते हैं, तो x के संबंध में आंशिक भेदभाव की प्रक्रिया में, चर y को एक स्थिर के रूप में माना जाता है।तो हम मिलेंगे

\[\frac{\partial (x^2+y^2)}{\partial x} = \frac{\partial (x^2)}{\partial x} + \frac{\partial (y^2)}{\partial x} = 2x \]

और इस मामले में \(\frac{\partial (y^2)}{\partial x} = 0\) क्योंकि y x के संबंध में निरंतर माना जाता है।

आंशिक व्युत्पन्न कैलकुलेटर का उपयोग क्यों करें

आंशिक डेरिवेटिव की गणना अपेक्षाकृत सरल व्यायाम हो सकती है, लेकिन इसका मतलब यह नहीं है कि जरूरी आसान है।इसी को लागू करने के समय बहुत व्यवस्थित होना महत्वपूर्ण है वmuntumam नियम ।

चरणों के साथ एक आंशिक व्युत्पन्न कैलकुलेटर का उपयोग करने से आपको कम से कम अपने परिणाम की जांच करने में मदद मिल सकती है और यह देखने में सक्षम हो सकता है कि सही चरण क्या हैं और व्युत्पन्न नियमों का उपयोग करने की आवश्यकता है।

विशेष रूप से जटिल समस्याओं में, बीजगणितीय रूप से जटिल अभिव्यक्ति के साथ एक कैलकुलेटर वास्तव में काम में आ सकता है।

आंशिक डेरिवेटिव के लिए व्युत्पन्न नियम क्या हैं?

वे नियमित डेरिवेटिव के लिए बिल्कुल वैसा ही हैं।आंशिक डेरिवेटिव के लिए हमारे पास रैखिकता है, पmurauguth नियम , तिहाई और यह तंग ।आमतौर पर, आप अधिक जटिल व्युत्पन्न उदाहरणों के लिए उन सभी नियमों के संयोजन का उपयोग करके समाप्त कर देंगे।

अंतर्निहित भेदभाव क्या है

ऐसी स्थिति होती है जब एक से अधिक चर शामिल होते हैं जिसमें हम उदाहरण के लिए यह नहीं मानते हैं कि y x के साथ बदलता है, जैसे हम आंशिक डेरिवेटिव में करते हैं।कुछ मामलों में, जब चर को जोड़ने वाला एक समीकरण होता है, तो हम मानते हैं कि y और x के बीच एक अंतर्निहित संबंध है, और हम y = y (x) लिखते हैं।

यह संदर्भ है अँगुला , जो आंशिक भेदभाव और नियमित भेदभाव के बीच एक हाइब्रिड की तरह है।

और वास्तव में एक चीज है जिसे ओवरस्टेट नहीं किया जा सकता है: आंशिक डेरिवेटिव वास्तव में इंजीनियरिंग, भौतिकी और अर्थशास्त्र में उपयोग किए जाने वाले मुख्य उपकरणों में से एक है।

उदाहरण: आंशिक व्युत्पन्न गणना

आंशिक व्युत्पन्न की गणना करें \(\frac{\partial f}{\partial y}\) के लिए: \(f(x,y) = \sin(xy)\)

समाधान:

जो गणना का समापन करता है।

उदाहरण: आंशिक भेदभाव

\(x\) के संबंध में आंशिक व्युत्पन्न की गणना करें: \(f(x, y) = x^2 + y^2\)

तमाम: जो फ़ंक्शन प्रदान करता है वह है: \(\displaystyle f(x,y)=x^2+y^2\), जिसके लिए हमें चर \(x\) के संबंध में इसके आंशिक व्युत्पन्न की गणना करने की आवश्यकता है।

फ़ंक्शन को और सरलीकरण की आवश्यकता नहीं है, इसलिए हम सीधे इसके आंशिक व्युत्पन्न की गणना करने के लिए आगे बढ़ सकते हैं:

\( \displaystyle \frac{\partial }{\partial x}\left(x^2+y^2\right)\)

By linearity, we know \(\frac{\partial }{\partial x}\left( x^2+y^2 \right) = \frac{\partial }{\partial x}\left(x^2\right)+\frac{\partial }{\partial x}\left(y^2\right)\), so plugging that in:

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{\partial }{\partial x}\left(x^2\right)+\frac{\partial }{\partial x}\left(y^2\right)\)

The derivative of a constant with respect to \(x\) is 0, so then:

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{\partial }{\partial x}\left(x^2\right)\)

Using the Power Rule for polynomial terms: \(\frac{\partial }{\partial x}\left( x^2 \right) = 2x\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle 2x\)

उदाहरण: एक और आंशिक व्युत्पन्न उदाहरण

फ़ंक्शन पर विचार करें \(f(x, y) = \frac{xy}{x^2+y^2}\), इसके आंशिक डेरिवेटिव्स \(\frac{\partial f}{\partial x}\) और \(\frac{\partial f}{\partial y}\) का पता लगाएं।

तमाम: इस मामले में, फ़ंक्शन है: \(\displaystyle f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2}\), जिसके लिए हमें इसके आंशिक डेरिवेटिव की गणना करने की आवश्यकता है।

फ़ंक्शन पहले से ही सरल हो गया, इसलिए हम सीधे आगे बढ़ सकते हैं:

\( \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{xy}{x^2+y^2}\right)\)

Directly applying Quotient Rule: \(\frac{\partial }{\partial x}\left( \frac{xy}{x^2+y^2} \right) = \frac{\left(x^2+y^2\right) \cdot \frac{\partial }{\partial x}\left(xy\right)-xy\cdot \frac{\partial }{\partial x}\left(x^2+y^2\right)}{\left(x^2+y^2\right)^2}\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{\left(x^2+y^2\right) \cdot \frac{\partial }{\partial x}\left(xy\right)-xy\cdot \frac{\partial }{\partial x}\left(x^2+y^2\right)}{\left(x^2+y^2\right)^2}\)

The linearity property indicates that \(\frac{\partial }{\partial x}\left( x^2+y^2 \right) = \frac{\partial }{\partial x}\left(x^2\right)+\frac{\partial }{\partial x}\left(y^2\right)\), so plugging that in:

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{\left(x^2+y^2\right) \cdot \frac{\partial }{\partial x}\left(xy\right)-xy\left(\frac{\partial }{\partial x}\left(x^2\right)+\frac{\partial }{\partial x}\left(y^2\right)\right)}{\left(x^2+y^2\right)^2}\)

But we know that the derivative of a constant with respect to \(x\) is equal to 0, so then we get that:

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{\left(x^2+y^2\right) \cdot \frac{\partial }{\partial x}\left(xy\right)-xy\left(\frac{\partial }{\partial x}\left(x^2\right)\right)}{\left(x^2+y^2\right)^2}\)

Applying the Power Rule for polynomial terms: \(\frac{\partial }{\partial x}\left( x^2 \right) = 2x\) and directly we get: \(\frac{\partial }{\partial x}\left( xy \right) = y\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{\left(x^2+y^2\right) \cdot y-xy\left(2x\right)}{\left(x^2+y^2\right)^2}\)

and consequently

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{y\left(x^2+y^2\right)-xy\cdot 2x}{\left(x^2+y^2\right)^2}\)

We can put the integers together and then we can group the terms with \(x\) in the term \(\left(-1\right)xy\cdot 2x\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{y\left(x^2+y^2\right)+2\cdot \left(-1\right)x^2y}{\left(x^2+y^2\right)^2}\)

Simplifying: \(\displaystyle 2\times(-1) = -2\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{y\left(x^2+y^2\right)-2x^2y}{\left(x^2+y^2\right)^2}\)

Observe the following: \(y \cdot (x^2+y^2) = yx^2+yy^2 = x^2y+y^3\), by using the distributive property on each term of the expression on the left, with respect to the terms on the right

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{x^2y+y^3-2x^2y}{\left(x^2+y^2\right)^2}\)

Hence, we find

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{-\left(x+y\right)\left(x-y\right)y}{\left(x^2+y^2\right)^2}\)

अब, दूसरी ओर:

\( \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{xy}{x^2+y^2}\right)\)

Using the Quotient Rule: \(\frac{\partial }{\partial y}\left( \frac{xy}{x^2+y^2} \right) = \frac{\left(x^2+y^2\right) \cdot \frac{\partial }{\partial y}\left(xy\right)-xy\cdot \frac{\partial }{\partial y}\left(x^2+y^2\right)}{\left(x^2+y^2\right)^2}\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{\left(x^2+y^2\right) \cdot \frac{\partial }{\partial y}\left(xy\right)-xy\cdot \frac{\partial }{\partial y}\left(x^2+y^2\right)}{\left(x^2+y^2\right)^2}\)

By linearity, we know \(\frac{\partial }{\partial y}\left( x^2+y^2 \right) = \frac{\partial }{\partial y}\left(x^2\right)+\frac{\partial }{\partial y}\left(y^2\right)\), so plugging that in:

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{\left(x^2+y^2\right) \cdot \frac{\partial }{\partial y}\left(xy\right)-xy\left(\frac{\partial }{\partial y}\left(x^2\right)+\frac{\partial }{\partial y}\left(y^2\right)\right)}{\left(x^2+y^2\right)^2}\)

Since the derivative of a constant with respect to \(y\) is 0, we find that:

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{\left(x^2+y^2\right) \cdot \frac{\partial }{\partial y}\left(xy\right)-xy\left(\frac{\partial }{\partial y}\left(y^2\right)\right)}{\left(x^2+y^2\right)^2}\)

Using the Power Rule for polynomial terms: \(\frac{\partial }{\partial y}\left( y^2 \right) = 2y\) and directly we get: \(\frac{\partial }{\partial y}\left( xy \right) = x\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{\left(x^2+y^2\right) \cdot x-xy\left(2y\right)}{\left(x^2+y^2\right)^2}\)

and then we find

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{x\left(x^2+y^2\right)-xy\cdot 2y}{\left(x^2+y^2\right)^2}\)

Putting together the numerical values and grouping the terms with \(y\) in the term \(\left(-1\right)xy\cdot 2y\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{x\left(x^2+y^2\right)+2\cdot \left(-1\right)y^2x}{\left(x^2+y^2\right)^2}\)

Reducing integers that can be multiplied: \(\displaystyle 2\times(-1) = -2\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{x\left(x^2+y^2\right)-2y^2x}{\left(x^2+y^2\right)^2}\)

We find that \((x) \cdot (x^2+y^2) = xx^2+xy^2 = x^3+xy^2\), due to the fact that we can use the distributive property on each term of the expression on the left, with respect to the terms on the right

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{x^3+xy^2-2y^2x}{\left(x^2+y^2\right)^2}\)

Reorganizing/simplifying/expanding the expression

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{\left(x+y\right)\left(x-y\right)x}{\left(x^2+y^2\right)^2}\)

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व्युत्पन्न की अवधारणा कैलकुलस के केंद्र में है, और एक का उपयोग वthaumaumaut r कैलकुलेटry अनुकूलन सहित कई अलग -अलग कैलकुलस अनुप्रयोगों में आपकी बहुत सहायता कर सकते हैं, 'बिगगिस' में से एक।

वthaumautaur kanair कई r च r के kask फ़ंक फ़ंक के kastamasamasaunasaunasaunasaunasaunahasaunahasaunahasaunahasauta विस विस स kastamasamashasatauma विस विस विस स t स स व व mumautaun kryr एक नियमित व्युत्पन्न के रूप में ऐसा ही करेगा, लेकिन अब केवल एक चर को अलग -अलग माना जाता है, जबकि अन्य चर को निश्चित रूप से लिया जाता है।

अकthuraur, t आप kanak कि कि \(y\) \(x\) Xyzb >> तंग एक अभिव्यक्ति प्राप्त करने के लिए डेरिवेटिव के नियमों का उपयोग करने के लिए जिसके लिए आप फिर व्युत्पन्न \(\frac{d f}{d x}\) के लिए हल कर सकते हैं।