حاسبة التدرج
ستساعدك حاسبة التدرج هذه ذات الخطوات في العثور على متجه التدرج لوظيفة متعددة المتغيرات معينة تقدمها.يجب أن تكون هذه الوظيفة دالة صالحة يمكن اختلافها مع 2 أو أكثر من المتغيرات.
تحتاج الوظيفة التي تقدمها إلى تعريف كامل لاسمها ووظيفة متغيرها , على سبيل المثال F (x , y) = x^2 + y^2 , أو f (x , y , z) = xy + z*sin(xy) , إلخ.
بمجرد توفير وظيفة متعددة المتغيرات صالحة , كل ما تبقى هو النقر على زر "حساب" , من أجل الحصول على جميع الخطوات المعروضة.
تمثل التدرجات التمديد الطبيعي للمشتقات للوضع متعدد المتغيرات , حيث يتم تعريف معدل التغيير بشكل أفضل بواسطة ناقل من عدد.
ما هو التدرج
بعبارات بسيطة , فإن التدرج هو متجه يحتوي على جميع المشتقات الجزئية من الدرجة الأولى من وظيفة متعددة المتغيرات \(f\).إذن , للحصول على وظيفة من اثنين من المتغيرين \(f(x, y)\) , سيكون تدرجه متجهًا ثنائي الأبعاد \(\nabla f(x, y) = \displaystyle \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}\right)\).
وبالمثل , بالنسبة لدالة ثلاثة متغيرات \(f(x, y, z\) , سيكون التدرج المتجه ثلاثي الأبعاد \(\nabla f(x, y, z) = \displaystyle \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}\right)\) , وهكذا دواليك.
خطوات لحساب التدرج
-
الظهر 1:
حدد الوظيفة F التي تريد العمل معها , وتحديد عدد المتغيرات المعنية
-
ال alخطoة 2:
ابحث عن الترتيب الأول
شtقaق جزئy
فيما يتعلق بكل من المتغيرات
-
الله 3:
قم ببناء التدرج باعتباره المتجه الذي يحتوي على جميع المشتقات الجزئية من الدرجة الأولى الموجودة في الخطوة 2
اختياريا , يمكنك تبسيط , إن أمكن , بعد الانتهاء من الخطوة 3. ثم , مع التدرج , لديك نسخة من المشتق لوظيفة أحادية المتغير , في هذه الحالة للحصول على وظيفة متعددة المتغيرات.
تطبيقات التدرج
كما في حالة الوظائف أحادية المتغير عند البحث عن نقاط حرجة , نحتاج إلى العثور على النقاط التي يكون فيها المشتق صفراً , للوظائف متعددة المتغيرات , نحتاج إلى البحث عن النقاط التي يساوي التدرج عليها صفرًا لإيجاد نقاط حرجة.
أيضا , فإن ما يعادل الاختبارات المشتقة الثانية يأتي في شكل قاعدة هيسيان للوظائف متعددة المتغيرات.
النصائح والحيل
تذكر أن
الاكنتشرار
يتم تعريفه للوظائف متعددة المتغيرات , مع اثنين أو أكثر من المتغيرات.أيضًا , ضع في اعتبارك أن التدرج هو متجه , حيث يكون كل من المكونات وظيفة.بتعبير أدق , كل من مكوناته هو أ
شtقaق جزئy
من الدرجة الأولى.
كوسيلة للتحقق من عملك , لا تنس أن التدرج هو متجه مع البعد يساوي عدد المتغيرات المستقلة المحددة في الوظيفة.
مثال: حاسبة التدرج
ابحث عن التدرج المرتبط بالوظيفة: \(f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2\)
الملم:
نحن نعتبر الوظيفة المتعددة المتغيرات التالية: \(\displaystyle f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2\) , لذلك نحتاج إلى حساب تدرجها.
التمييز فيما يتعلق \(x\)
\( \displaystyle \frac{\partial }{\partial x}\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
By linearity, we know \(\frac{\partial }{\partial x}\left( x^2+y^2+z^2 \right) = \frac{\partial }{\partial x}\left(x^2\right)+\frac{\partial }{\partial x}\left(y^2\right)+\frac{\partial }{\partial x}\left(z^2\right)\), so plugging that in:
\( \displaystyle = \,\,\)
\(\displaystyle \frac{\partial }{\partial x}\left(x^2\right)+\frac{\partial }{\partial x}\left(y^2\right)+\frac{\partial }{\partial x}\left(z^2\right)\)
Since the derivative of a constant with respect to \(x\) is 0, we get that:
\( \displaystyle = \,\,\)
\(\displaystyle \frac{\partial }{\partial x}\left(x^2\right)\)
We can use the Power Rule for polynomial terms: \(\frac{\partial }{\partial x}\left( x^2 \right) = 2x\)
\( \displaystyle = \,\,\)
\(\displaystyle 2x\)
التمييز فيما يتعلق \(y\)
\( \displaystyle \frac{\partial }{\partial y}\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
By linearity, we know \(\frac{\partial }{\partial y}\left( x^2+y^2+z^2 \right) = \frac{\partial }{\partial y}\left(x^2\right)+\frac{\partial }{\partial y}\left(y^2\right)+\frac{\partial }{\partial y}\left(z^2\right)\), so plugging that in:
\( \displaystyle = \,\,\)
\(\displaystyle \frac{\partial }{\partial y}\left(x^2\right)+\frac{\partial }{\partial y}\left(y^2\right)+\frac{\partial }{\partial y}\left(z^2\right)\)
Since the derivative of a constant with respect to \(y\) is 0, we find that:
\( \displaystyle = \,\,\)
\(\displaystyle \frac{\partial }{\partial y}\left(y^2\right)\)
We use the Power Rule for polynomial terms: \(\frac{\partial }{\partial y}\left( y^2 \right) = 2y\)
\( \displaystyle = \,\,\)
\(\displaystyle 2y\)
التمييز فيما يتعلق \(z\)
\( \displaystyle \frac{\partial }{\partial z}\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
By linearity, we know \(\frac{\partial }{\partial z}\left( x^2+y^2+z^2 \right) = \frac{\partial }{\partial z}\left(x^2\right)+\frac{\partial }{\partial z}\left(y^2\right)+\frac{\partial }{\partial z}\left(z^2\right)\), so plugging that in:
\( \displaystyle = \,\,\)
\(\displaystyle \frac{\partial }{\partial z}\left(x^2\right)+\frac{\partial }{\partial z}\left(y^2\right)+\frac{\partial }{\partial z}\left(z^2\right)\)
The derivative of a constant with respect to \(z\) is 0, so then:
\( \displaystyle = \,\,\)
\(\displaystyle \frac{\partial }{\partial z}\left(z^2\right)\)
We use the Power Rule for polynomial terms: \(\frac{\partial }{\partial z}\left( z^2 \right) = 2z\)
\( \displaystyle = \,\,\)
\(\displaystyle 2z\)
تاسنتا:
لذلك , يمكننا أن نستنتج أن تدرج الوظيفة المعطاة \(\displaystyle f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2 \) يساوي:
\[ \nabla f = \left(2x,2y,2z\right)\]
مثال حساب التدرج
للوظيفة التالية: \(f(x, y) = xy\) , ابحث عن التدرج.
الملم:
في هذا المثال , لدينا وظيفة من متغيرين x و y: \(\displaystyle f(x,y)=xy\).
أولاً , التمييز فيما يتعلق بـ x
\( \displaystyle \frac{\partial }{\partial x}\left(xy\right)\)
نظرًا لأنها أوقات ثابتة \(x\) , نحصل مباشرة على: \(\frac{\partial }{\partial x}\left( xy \right) = y\)
\( \displaystyle = \,\,\)
\(\displaystyle y\)
الآن , التفريق فيما يتعلق y
\( \displaystyle \frac{\partial }{\partial y}\left(xy\right)\)
نظرًا لأنها أوقات ثابتة \(y\) , نحصل مباشرة على: \(\frac{\partial }{\partial y}\left( xy \right) = x\)
\( \displaystyle = \,\,\)
\(\displaystyle x\)
تاسنتا:
نحصل ميبازر إيهن آره تدري
\[ \nabla f = \left(y, x\right)\]
الملم الله
حstab altderج hlmقabl mn \( f(x, y) = x^2 - y^2 - xy \).
الملم:
أخireًa , yجb tحhile aloظyفة altalyة ف hذa tlmثal: \(\displaystyle f(x,y)=x^2-y^2-xy\).
الخطوة 2: ابحث عن المشتق فيما يتعلق بـ \(x\)
\( \displaystyle \frac{\partial }{\partial x}\left(x^2-xy-y^2\right)\)
عن طريق الخطية , نحن نعرف \(\frac{\partial }{\partial x}\left( x^2-xy-y^2 \right) = \frac{\partial }{\partial x}\left(x^2\right)-\frac{\partial }{\partial x}\left(xy\right)-\frac{\partial }{\partial x}\left(y^2\right)\) , لذلك توصيل ذلك في:
\( \displaystyle = \,\,\)
\(\displaystyle \frac{\partial }{\partial x}\left(x^2\right)-\frac{\partial }{\partial x}\left(xy\right)-\frac{\partial }{\partial x}\left(y^2\right)\)
مشتق ثابت فيما يتعلق بـ \(x\) هو 0 , إذن:
\( \displaystyle = \,\,\)
\(\displaystyle \frac{\partial }{\partial x}\left(x^2\right)-\frac{\partial }{\partial x}\left(xy\right)\)
نظرًا لأن الأوقات الثابتة \(x\) , نحصل مباشرة على: \(\frac{\partial }{\partial x}\left( xy \right) = y\) ويمكننا استخدام قاعدة الطاقة للمصطلحات كثير الحدود: \(\frac{\partial }{\partial x}\left( x^2 \right) = 2x\)
\( \displaystyle = \,\,\)
\(\displaystyle 2x-y\)
الخطوة 2: ابحث عن المشتق فيما يتعلق بـ \(y\)
\( \displaystyle \frac{\partial }{\partial y}\left(x^2-xy-y^2\right)\)
عن طريق الخطية , نحن نعرف \(\frac{\partial }{\partial y}\left( x^2-xy-y^2 \right) = \frac{\partial }{\partial y}\left(x^2\right)-\frac{\partial }{\partial y}\left(xy\right)-\frac{\partial }{\partial y}\left(y^2\right)\) , لذلك توصيل ذلك في:
\( \displaystyle = \,\,\)
\(\displaystyle \frac{\partial }{\partial y}\left(x^2\right)-\frac{\partial }{\partial y}\left(xy\right)-\frac{\partial }{\partial y}\left(y^2\right)\)
نحن نستخدم قاعدة الطاقة للمصطلحات متعدد الحدود: \(\frac{\partial }{\partial y}\left( y^2 \right) = 2y\) ولأنها أوقات ثابتة \(y\) , نحصل مباشرة على: \(\frac{\partial }{\partial y}\left( xy \right) = x\)
\( \displaystyle = \,\,\)
\(\displaystyle \frac{\partial }{\partial y}\left(x^2\right)-x-2y\)
\( \displaystyle = \,\,\)
\(\displaystyle 0-x-2y\)
من خلال إعادة تنظيم/تبسيط/توسيع المصطلحات القابلة
\( \displaystyle = \,\,\)
\(\displaystyle -x-2y\)
تاسنتا:
alذlك , ymكnna أnnnntج أn tdraج hloظiفة chawطaة \(\displaystyle f(x,y)=x^2-y^2-xy \) istaoy:
\[ \nabla f = \left(2x-y,-x-2y\right)\]
الملم الله
باستومام
ح asb ة m ش t قة
ymكn ب.
ق oaudd am ش t قة
وبدند.
آر مان
ق Oaud altmai ز
tttخadm llloظazئف أحadiة chlmtغyer alha ama yudalha
ق ud ة السلم
ب
سيدا
و
ق aud ة ح A ص l
يعقمة أyضًa ublى و ظeiفة mtudadة chlmtغieraT , عى الله
