水平线测试

本计算器可让您对提供的任何给定函数进行水平线测试,并显示步骤。您提供的函数可以是类似于 "y = 2x - 1 "的函数,这是最简单的一种函数。 线性函数 或者你可以提供一个更复杂的函数,如 "y = (2x-1)/(x+1)",其中涉及一个 有理函数 .

提供有效函数后,点击 "计算 "按钮,就会显示计算过程的所有步骤,并显示函数是否通过水平线测试（HLT）。

该计算器的工作方式是设置一条通用水平线,然后检查这条线与这条任意水平线相交的次数（如果有的话）。这涉及 求解 x 方程 y = f（x）。

什么是水平线测试？

HLT 是一种可以评估函数是否一一对应的测试。它包括绘制不同高度的水平线,并观察它们与给定函数 f(x) 的图形交叉的位置（如果交叉的话）。

如果你所能想象的任何水平线都不会与函数 f(x) 的图形相交一次以上,那么 函数是一一对应的 .另一方面,如果您能找到一条与函数 f(x) 的图形相交多次的水平线,那么您就证明了函数不是一一对应的。

那么你可能会想 "等一下",这个工具并不是真的用来证明函数是一一对应的,而是用来证明函数不是一一对应的。

因为,在实际操作中,我不可能把所有的水平线都画成图来检查它们与 f(x) 的图形相交的次数,但如果我发现有一条水平线与 f(x) 的图形相交的次数过多,那么我就知道它不是一一对应的。所以,你想得很好,你发现了一些好东西。

在实践中使用水平线测试法

例如,如果您有一个函数 \(f(x) = x^2\),那么图形看起来差不多是这样：

在这种情况下,我们一眼就能看出这个函数没有通过水平线检验。为什么呢,因为下图中的水平线 y = 10 与 f(x) 的图形相交两次（不止一次）。

在这种情况下,函数 \(f(x) = x^2\) 未通过水平线测试,因此它不是一个 单射 .

现在,由于不可能测试所有可能的水平线,因此需要使用代数方法来尝试 HLT,除非你能直观地看到一条明显的水平线会使函数无法通过测试。

使用水平线测试（分析法）

• 步骤1： 从给定的有效函数 f(x) 开始,将水平线设置为任意的 y 值
• 第2步： 因此,您设定了方程：y = f(x),目标是求解 x
• 第3步： 没有一种战略可以 解方程 这取决于函数 f(x) 的性质。如果 f(x) 是一个简单的线性或二次函数,那么求解 x 就很容易。
• 第4步： 如果在求解 x 时发现任意 y 的解不止一个,那么函数将无法通过 HLT。否则,如果只有一个解或没有解,则通过。

减去分数只是由分数之和得出。 要减去两个分数,你只需将第二个分数乘以-1,然后将其与第一个分数相加。 .

水平线可以取负值或正值吗？

分析实现 HLT 的主要关键在于选择一条任意的水平线。它可以是任意值,既可以是正值,也可以是负值。然后,使用 y 的任意值来确定所提出的解决方案是否定义明确,但这并不会增加更多解决方案,反而有可能减少解决方案。

例如,从 \(f(x)= \frac{2x+1}{x-1}\) 开始,用下面的方法求解 x：\(y = \frac{2x+1}{x-1}\),就会得出

\(x = \frac{y+1}{y-2}\)

也就是说,对于给定的 \(y\),你最多只有一个解。为什么最多只有一个解？因为当 y = 2 时实际上没有解,而对于任何其他 y,都有一个解。这很好地证明了函数通过了水平线测试。

举例说明：通过 hlt

以下函数是否通过 HLT：\(f(x) = \frac{1}{3} x + \frac{5}{4}\) ?

解决方案：

提供的功能是

\[f\left(x\right) = \frac13x+\frac54\]

然后,为了评估给定函数是否通过水平线测试,我们需要求解 \(x\),并确定是无解,一解还是多解。起始方程为

\[y=\frac{1}{3}x+\frac{5}{4}\]

解线性方程

将 \(x\) 放在左侧,将 \(y\) 和常数放在右侧,我们得到

\[\displaystyle -\frac{1}{3}x = -y -\left(-\frac{5}{4}\right)\]

现在,用方程两边除以 \(-\frac{1}{3}\),求解 \(x\),得到如下结果

\[\displaystyle x=-\frac{1}{-\frac{1}{3}}y+\frac{\frac{5}{4}}{-\frac{1}{3}}\]

并简化我们最终得到以下

\[\displaystyle x=3y-\frac{15}{4}\]

因此,对给定的线性方程求解 \(x\) 就会得到 \(x = 3y-\frac{15}{4}\)。

我们发现,在求解 \(x\) 时,我们找到了一个解,而且只有一个解,因此给定函数通过了水平线测试。

水平线测试结果

根据上述工作,可以得出结论：给定函数通过了水平线测试。

具体情况如下：

举例说明：这个功能是一对一的吗？

使用水平线检验法,指出下列函数是否一一对应：\(f(x) = x^3 - 1\)

解决方案： 为了评估给定函数是否通过水平线测试,我们需要求出方程 \(y = x^3 - 1\) 的 \(x\) 解,并确定是无解,一解还是多解。

最初的步骤。 在这种情况下,我们首先需要对给定方程进行化简,为此,我们要执行以下化简步骤：

然后,我们就得到了解决方案：

\[x_1=\left(y+1\right)^{\frac{1}{3}} \] \[x_2=\frac{1}{2}\left(y+1\right)^{\frac{1}{3}}\left(i\sqrt{3}-1\right) \] \[x_3=-\frac{1}{2}\left(y+1\right)^{\frac{1}{3}}\left(i\sqrt{3}+1\right) \]

在这些解中,我们只有一个实数解,即 \(x_1=\left(y+1\right)^{\frac{1}{3}}\)。因此,在求解 \(x\) 时,我们找到了一个解,而且只有一个实数解,所以给定函数通过了水平线检验。