关于线性函数的更多信息

这个线性函数计算器将允许你计算一个 线性函数 通过提供关于该功能的某些必要信息。

你有几种方法可以做到这一点。你可以(1)提供一个可以解出y的x和y的线性方程,或者(2)直接提供 坡度 和 Y-截距 ,或者（3）你可以提供斜率和直线经过的一个点,或者（4）你可以提供直线经过的两个点。

你将提供哪些信息？这主要取决于你有哪些信息,也取决于具体的案例。

一个常见的情况是寻找通过两个给定点的线性函数,但其他确定直线的方法也很常见。

什么是线性函数？

答案取决于你要考虑多少个变量,但对于一个变量x,线性函数是一个形式为

\[f(x) = a + b x \]

只是一个技术问题,在更高级的数学中,这是一个线性仿生函数,除非a=0,否则它不是严格意义上的线性,但这个想法超出了本讲座的范围。对我们来说,\(f(x) = a + b x \)是x的线性函数。

\(f(x) = a + b x \)中的a值被称为 Y-截距 ,而b则被称为 坡度 .有时你会看到惯例\(f(x) = mx + n \),其中m是斜率,n是y截距。

但这是名称上的约定,你只需记住,与变量x相乘的常数是斜率,另一个是y截距。为什么这么说呢？因为当x=0时,我们得到\(f(0) = m \cdot 0 + n = n\),这表明n正是为什么截距。

计算一个线性函数的步骤是什么？

• 第1步：确定你提供了什么类型的信息
• 第二步：如果你拥有的信息是x和y的线性方程,你需要求解y,然后你就会自动得到线性函数设定f(x) = y
• 第3步：如果你有斜率b和y截距a,那么线性函数直接为f(x)=a+b x
• 第5步：如果你有两个点\((x_1, y_1)\)和\((x_2, y_2)\),直线经过的地方,那么你可以使用公式。\(\displaystyle f(x) = y_1 + \left(\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \right)(x-x_1)\)为线性函数
• 第6步：如果你有一个点\((x_1, y_1)\),直线经过的地方和斜率,那么你可以使用公式。\(\displaystyle f(x) = y_1 + m(x-x_1)\)的线性函数

上面的步骤清单是一个全面的清单,考虑了所有可能的情况。最终,最简单的和涉及较少的情况对应于斜率和Y截距已知的情况,我们可以计算出 斜率截距形式 立即,但情况并非总是如此。

什么是线性函数公式

最终,不管你提供了什么信息,你都可以得出被称为斜截线形式的线性函数公式,即。

\[y = a + bx \]

现在,由于你在定义一个函数,你也可以写\(f(x) = a + b x\)。

寻找线性函数公式的步骤是什么？

• 第1步：识别提供的信息
• 第二步：得出相应的公式y=a+bx,确定斜率b和y截距a。
• 第3步：用f(x)代替y,写出f(x)=a+bx

在几何学上, 线性函数图 将是一条在点（0,a）处实际与y轴相交的直线,斜率b将反映该直线的倾斜程度。

为什么计算线性函数是有用的？

变量之间的线性关系在如此多的应用中是非常常见的,因此,那么充分了解线性函数的工作原理就变得不可或缺了。

而且我们还可以为更多的变量定义线性函数,这使得它们成为一个更加强大的对象。

例子。线性函数计算器

计算通过这些点的线性函数的方程。\( (\frac{22}{3}, \frac{7}{4})\)和\((-1, \frac{5}{6})\)。

解决方案： 主要目的是在可能的情况下,根据提供的信息构建一个线性函数。

提供的关于线的信息是线通过点\(\displaystyle \left( \frac{22}{3}, \frac{7}{4}\right)\)和\(\displaystyle \left( -1, \frac{5}{6}\right)\)

因此,第一步在于计算斜率。斜率的公式是：\[\displaystyle b = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \]

现在,通过插入相应的数字 is ,我们得到斜率为： \[\displaystyle b = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{ \displaystyle \frac{5}{6} - \frac{7}{4}}{ \displaystyle -1 - \frac{22}{3}} = \frac{ \displaystyle \frac{5}{6}-\frac{7}{4}}{ \displaystyle -1-\frac{22}{3}} = \frac{11}{100}\]

那么,现在我们知道斜率为 \(\displaystyle m = \frac{11}{100}\) 并且线通过点 \(\displaystyle \left( \frac{22}{3}, \frac{7}{4}\right)\)

因此,利用我们掌握的信息,我们可以直接构造线的点坡形式,即

\[\displaystyle y - y_1 = b \left(x - x_1\right)\]

然后插入 \(\displaystyle b = \frac{11}{100}\) 和 \(\displaystyle \left( x_1, y_1 \right) = \left( \frac{22}{3}, \frac{7}{4}\right)\) 的已知值,我们得到

\[\displaystyle y-\frac{7}{4} = \frac{11}{100} \left(x-\frac{22}{3}\right)\]

现在,我们需要通过分布斜率来扩展等式的右手边,所以我们得到 \[\displaystyle y = \frac{11}{100} x + \frac{11}{100} \left(-\frac{22}{3}\right) + \frac{7}{4}\]

并简化我们得到 \[\displaystyle y=\frac{11}{100}x+\frac{283}{300}\]

结论 :根据所提供的数据,我们得出结论：直线的方程是\(\displaystyle f(x)=\frac{11}{100}x+\frac{283}{300}\),它对应的直线的斜率是\(\displaystyle b = \frac{11}{100}\),y截距是\(\displaystyle a = \frac{283}{300}\)。

根据这些信息,该图是。

例子。另一个线性函数计算

计算与.有关的线性函数。\(\frac{1}{3}x + \frac{5}{4}y - \frac{5}{6} = 0\)的线性函数

解决方案：

现在,对于这个例子,我们定义线性函数的方式是通过一个一般的线性方程,由。

\[\displaystyle \frac{1}{3}x+\frac{5}{4}y-\frac{5}{6}=0\]

我们可以简化常数。

\[\displaystyle \frac{1}{3}x+\frac{5}{4}y-\frac{5}{6}=0\]

现在,把\(y\)放在左手边,\(x\)和常数放在右手边,我们可以得到

\[\displaystyle \frac{5}{4}y = -\frac{1}{3}x + \frac{5}{6}\]

现在,求解\(y\),通过将等式两边除以\(\frac{5}{4}\),得到以下结果

\[\displaystyle y=-\frac{\frac{1}{3}}{\frac{5}{4}}x+\frac{\frac{5}{6}}{\frac{5}{4}}\]

并简化我们最终得到以下

\[\displaystyle y=-\frac{4}{15}x+\frac{2}{3}\]

结论 现在我们可以说,根据提供的数据,结论是直线的方程是\(\displaystyle f(x)=-\frac{4}{15}x+\frac{2}{3}\),它对应的直线的斜率是\(\displaystyle b = -\frac{4}{15}\),y截距是\(\displaystyle a = \frac{2}{3}\)。

根据这些信息,该图是。

例子。更多线性函数计算器

计算斜率为m=0且与y轴交于点（0,4）的线性函数。

解决方案： 在这种情况下,我们已经给出了斜率,即m=0,和y-截距,即（0,4）。由于斜率为0,直线是水平的,所以在这种情况下,直线的方程是\(f(x) = 4\)。

更多线性函数计算器

有趣的计算器是斜率计算器和Y截距计算器。此外,你可能对以下内容感兴趣 寻找与给定直线的垂直线 .

该行的另一种常见形式是 标准格式 而且你可以确定从一种形式转换到另一种。