解答者代数

有理函数

指示： 使用此有理函数计算器计算有理函数的截距和图形,并显示步骤。请输入您要计算的有理函数。

有理函数

通过这个有理函数计算器,您可以分析所提供有理函数的最相关点,并显示所有步骤。通常,对于大多数有理函数,您都可以找到截距,垂直渐近线及其图形。某些特定的有理函数还有水平渐近线。

您可以提供的函数类型有 "f(x)=1/x - x",或者涉及高次多项式的函数,如 "f(x) = (x^3-1)/(x^2+x)

提供有效的有理函数后,点击计算按钮,所有步骤都会显示出来。

有理函数的主要特性之一是,你可以将计算简化为以下问题解多项式方程这是一种 "最简单 "的可以求解的方程 .

什么是有理函数

有理函数是一个涉及到两多项式之商 \(P(x)\) 和 \(Q(x)\),其中除数 \(Q(x)\) 不等于零多项式。因此,有理函数公式为

\[\displaystyle f(x) = \displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)} \]

例如,函数

\[\displaystyle f(x) = \displaystyle \frac{x^2-1}{x+1} \]

是有理函数,因为它正是两个多项式的商。但例如

\[\displaystyle g(x) = \displaystyle \frac{x^2+1}{\sin x} \]

不是有理数,因为除数不是多项式。请注意,当我们说除数 \(Q(x)\) 不等于零多项式时,并不是说 \(Q(x)\) 不能有零。例如,在 \(\displaystyle f(x) = \displaystyle \frac{x^2-1}{x+1} \) 这个例子中,除数是 \(Q(x) = x + 1\),它在 \(x = -1\) 处有一个零。

我们不希望出现以下情况

\[\displaystyle g(x) = \displaystyle \frac{x^2+1}{0} \]

因为虽然在这种情况下 \(Q(x) = 0\) 严格来说是一个多项式,但它是零多项式（在任何地方都为零）。

计算有理函数的步骤

步骤1： 首先,确保您确实有一个有理函数,您可以确定其分子 P(x) 和分母 Q(x)
第2步： 如果找不到严格意义上的上述结构,就停止。您可能需要通过代数还原 .
第3步： 您需要找到 P(x) 和 Q(x) 的实数零点（如果有的话）。找到的结论将与 P(x) 和 Q(x) 的零点紧密相关
第4步： 要找到 y-截距,需要通过计算 f(0),在零点对函数进行求值。如果 x = 0 不是 Q(x) 的零点,y-截距的定义将非常明确
第5步： 要找到 x 截点,需要得到 P(x) 的零点,而这些零点不是 Q(x) 的零点
第6步。 要找到垂直渐近线,需要找到 Q(x) 的零点,这些零点不是 P(x) 的零点
第7步。 要找到水平渐近线,需要 Q(x) 的阶数大于或等于 P(x) 的阶数。

观察发现,正如所料,分析有理函数取决于寻找多项式的零点 ......,然后把所有结论放在一起。.

请注意,有理函数的域是整条实线,除数 Q(x) 的零点除外。如果 Q(x) 的零点也是 P(x) 的零点,那么不连续点就可以修复。有理函数的范围取决于 P(x) 和 Q(x) 的度数。

为什么使用有理函数

使用有理函数是因为它们是多项式的自然延伸。我们可以把它们看作是函数复杂性的下一步。我们知道多项式表达式是我们能找到的最简单的函数之一,但也是最有用的函数之一。

有理方程通常会出现在更高级的混合问题中,但只要涉及的多项式足够简单,处理起来却出奇地简单。我们知道如何解一元二次方程但对于 3 度及以上的多项式,情况可能会更加棘手。

多项式函数也是有理函数吗？

是的,如果 P(x) 是多项式,那么 P(x) 也是有理数,因为我们可以这样写：

\[\displaystyle f(x) = \displaystyle \frac{P(x)}{1} \]

而 Q(x) = 1 是一个实际的多项式。反之则不然：有理函数不一定是多项式。为什么会这样呢？因为自然地,除非 Q(x) = 1,否则只要有 \(\displaystyle f(x) = \displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)} \),就不会有多项式定义所要求的所有项都是自由项。

更正式地说,使用剩余定理我们有

\[\displaystyle f(x) = \displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)} = d(x) + \frac{r(x)}{Q(x)}\]

其中 \(d(x)\) 是多项式,但 \frac{r(x)}{Q(x)} 不是,因为 r(x) 的阶数小于 Q(x) 的阶数。

范例：使用有理函数

求...的截距,渐近线和图形：\(f(x) = \frac{x^2-1}{x+1}\)

解决方案：

我们获得了以下功能：

\[f\left(x\right)=\frac{x^2-1}{x+1}\]

我们需要找到截距和渐近线（如果有的话）。之后,将呈现函数的图形。

让我们找出给定函数的零点。我们需要求解下面的有理方程：

\[\frac{x^2-1}{x+1}=0\]

注意,对于 \(x \ne -1\),我们可以简化为

\[\frac{x^2-1}{x+1} = 0 \Rightarrow \frac{(x-1)(x+1)}{x+1} = 0 \Rightarrow x-1 = 0\]

辅助分母公式

现在,我们将分子设为零并找出解。那么,那些没有使分母等于零的根就是有理方程的解。

要找到分子的根,需要解决以下问题：\(x^2-1=0\)

对于形式为 \(a x^2 + bx + c = 0\) 的一元二次方程,根的计算公式如下：

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

在这种情况下,我们需要求解的方程是 \(\displaystyle x^2-1 = 0\),这意味着相应的系数是：

\[a = 1\] \[b = 0\] \[c = -1\]

首先,我们将计算判别式以评估根的性质。判别式的计算方法是：。

\[\Delta = b^2 - 4ac = \displaystyle \left( 0\right)^2 - 4 \cdot \left(1\right)\cdot \left(-1\right) = 4\]

因为在这种情况下,我们得到的判别式是 \(\Delta = \displaystyle 4 > 0\),是正值,所以我们知道方程有两个不同的实数根。

现在,将这些数值插入到根的公式中,我们可以得到。

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \displaystyle \frac{0 \pm \sqrt{\left(0\right)^2-4\left(1\right)\left(-1\right)}}{2\cdot 1} = \displaystyle \frac{0 \pm \sqrt{4}}{2}\]

因此,我们发现。

\[ {x}_1 = \frac{0}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{4}=\frac{0}{2}-1=-1 \] \[{x}_2 = \frac{0}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{4}=\frac{0}{2}+1=1\]